数学人教A版选修2-2自我小测：1.4 生活中的优化问题举例 Word版含解析.doc
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数学人教A版选修2-2自我小测：1.4 生活中的优化问题举例 Word版含解析.doc
自我小测
1．某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用如下函数给出：y＝－eq \f(1,8)t3－eq \f(3,4)t2＋36t－eq \f(629,4).则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是( )
A．6时 B．7时 C．8时 D．9时
2．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x＞0)，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x＞0)，为使利润最大，应生产( )
A．6千台 B．7千台
C．8千台 D．9千台
3．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则其高为( )
A．eq \f(20,3) cm B．10 cm C．15 cm D．eq \f(20\r(3),3) cm
4．设有一个容积V一定的铝合金盖的圆柱形铁桶，已知单位面积铝合金的价格是铁的3倍，当总造价最少时，桶高为( )
A．eq \f(1,2)eq \r(3,\f(2V,π)) B．eq \f(1,2)eq \r(3,\f(V,2π))
C．2eq \r(3,\f(2V,π)) D．2eq \r(3,\f(V,2π))
5．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1 200＋eq \f(2,75)x3，产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为( )
A．20 B．25 C．30 D．45
6．如图所示，某厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌墙壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为__________．
INCLUDEPICTURE"K33.EPS"
7．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(x3,900)＋400x，0≤x≤390，,90 090，x>390，))则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是__________．
8．将边长为1的正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S＝eq \f((梯形的周长)2,梯形的面积)，则S的最小值是__________．
9．已知球的直径为d，求当其内接正四棱柱体积最大时，正四棱柱的高为多少？
10．某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a件，通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x(0＜x＜1)，那么月平均销售量减少的百分率为x2.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y(元)．
(1)写出y与x的函数关系式；
(2)改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大．
参考答案
1．解析：y′＝－eq \f(3,8)t2－eq \f(3,2)t＋36，令y′＝0解得t＝8或t＝－12(舍)，
当0＜t＜8时，y′＞0；当t＞8时，y′＜0，∴t＝8为函数的最大值点．
∴t＝8时，通过该路段用时最多．
答案：C
2．解析：设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x＞0)，
∴y′＝－6x2＋36x＝－6x(x－6)．
令y′＝0，解得x＝0或x＝6，经检验知x＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点．
答案：A
3．解析：设圆锥的高为x cm，则底面半径为eq \r(202－x2) cm，
其体积V＝eq \f(1,3)πx(202－x2)(0＜x＜20)，
V′＝eq \f(π,3)(400－3x2)，令V′＝0得x1＝eq \f(20\r(3),3)，x2＝－eq \f(20\r(3),3)(舍去)．
又当0＜x＜eq \f(20\r(3),3)时，V′＞0；eq \f(20\r(3),3)＜x＜20时，V′＜0，
∴当x＝eq \f(20\r(3),3) cm时，V取最大值．
答案：D
4．解析：设圆柱形铁桶的底面半径为r，高为h，总造价为y，单位面积铁的造价为a，则V＝πr2h，y＝πr2·3a＋πr2·a＋2πrh·a＝aπeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4r2＋\f(2V,πr)))，则y′＝aπeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8r－\f(2V,πr2))).
令y′＝0，得r＝eq \f(1,2)eq \r(3,\f(2V,π))，h＝eq \f(V,πr2)＝2eq \r(3,\f(2V,π)).
答案：C
5．解析：设产品单价为a元，产品单价的平方与产品件数x成反比，
即a2x＝k，由题知k＝250 000，则a2x＝250 000，
所以a＝eq \f(500,\r(x)).
总利润y＝500eq \r(x)－eq \f(2,75)x3－1 200(x＞0)，y′＝eq \f(250,\r(x))－eq \f(2,25)x2.
由y′＝0，得x＝25，当x∈(0,25)时，y′＞0，x∈(25，＋∞)时，y′＜0，所以x＝25时，y取最大值．
答案：B
6．解析：要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，设场地宽为x米，则长为eq \f(512,x)米，因此新墙壁总长度L＝2x＋eq \f(512,x)(x＞0)，则L′＝2－eq \f(512,x2).
令L′＝0，得x＝±16.
∵x＞0，∴x＝16.
当x＝16时，Lmin＝64，此时堆料场的长为eq \f(512,16)＝32(米)．
答案：32和16
7．解析：由题意得，总利润
P(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(x3,900)＋300x－20 000，0≤x≤390，,70 090－100x，x>390，))
当0≤x≤390时，P′(x)＝－eq \f(x2,300)＋300，令P′(x)＝0，解得x＝300；
当0≤x≤300时，P′(x)＞0；
当300＜x＜390时，P′(x)＜0.
所以当x＝300时，P(x)max＝40 000，而当x＞390时，P(x)＜40 000，
因此当x＝300时利润最大．
答案：300
8．解析：设剪成的上面一块正三角形的边长为x.
则S＝eq \f((3－x)2,\f(\r(3),4)－\f(\r(3),4)x2)＝eq \f(4\r(3),3)·eq \f((3－x)2,1－x2)(0＜x＜1)，
S′＝eq \f(4\r(3),3)·eq \f(－6x2＋20x－6,(1－x2)2)＝－eq \f(8\r(3),3)·eq \f((3x－1)(x－3),(1－x2)2)，
令S′＝0，得x＝eq \f(1,3)或x＝3(舍去)．
∴x＝eq \f(1,3)是S的极小值点且是最小值点．
∴Smin＝eq \f(4\r(3),3)×eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(1,3)))2,1－\f(1,9))＝eq \f(32\r(3),3).
答案：eq \f(32\r(3),3)
9．解：如图所示，设正四棱柱的底面边长为x，高为h，
由于x2＋x2＋h2＝d2，
INCLUDEPICTURE"K34.EPS"
所以x2＝eq \f(1,2)(d2－h2)．
所以球内接正四棱柱的体积为V＝x2·h＝eq \f(1,2)(d2h－h3),0＜h＜d.
令V′＝eq \f(1,2)(d2－3h2)＝0，所以h＝eq \f(\r(3),3)d.
在(0，d)上，当h变化时，V′，V的变化情况如下表：
heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)d))eq \f(\r(3),3)deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)d，d))V′＋0－V EMBED Equation.DSMT4 极大值 EMBED Equation.DSMT4 由上表知体积最大时，球内接正四棱柱的高为eq \f(\r(3),3)d.
10．解：(1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1＋x)元，月平均销售量为a(1－x2)件，
则月平均利润y＝a(1－x2)·[20(1＋x)－15]元，
所以y与x的函数关系式为y＝5a(1＋4x－x2－4x3)(0＜x＜1)．
(2)由y′＝5a(4－2x－12x2)＝0得x1＝eq \f(1,2)，x2＝－eq \f(2,3)(舍)．
当0＜x＜eq \f(1,2)时，y′＞0；eq \f(1,2)＜x＜1时y′＜0，
所以函数y＝5a(1＋4x－x2－4x3)(0＜x＜1)在x＝eq \f(1,2)处取得最大值．
故改进工艺后，产品的销售价为20eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))＝30(元)时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大．
自我小测
1．某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用如下函数给出：y＝－eq \f(1,8)t3－eq \f(3,4)t2＋36t－eq \f(629,4).则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是( )
A．6时 B．7时 C．8时 D．9时
2．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x＞0)，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x＞0)，为使利润最大，应生产( )
A．6千台 B．7千台
C．8千台 D．9千台
3．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则其高为( )
A．eq \f(20,3) cm B．10 cm C．15 cm D．eq \f(20\r(3),3) cm
4．设有一个容积V一定的铝合金盖的圆柱形铁桶，已知单位面积铝合金的价格是铁的3倍，当总造价最少时，桶高为( )
A．eq \f(1,2)eq \r(3,\f(2V,π)) B．eq \f(1,2)eq \r(3,\f(V,2π))
C．2eq \r(3,\f(2V,π)) D．2eq \r(3,\f(V,2π))
5．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1 200＋eq \f(2,75)x3，产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为( )
A．20 B．25 C．30 D．45
6．如图所示，某厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌墙壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为__________．
INCLUDEPICTURE"K33.EPS"
7．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(x3,900)＋400x，0≤x≤390，,90 090，x>390，))则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是__________．
8．将边长为1的正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S＝eq \f((梯形的周长)2,梯形的面积)，则S的最小值是__________．
9．已知球的直径为d，求当其内接正四棱柱体积最大时，正四棱柱的高为多少？
10．某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a件，通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x(0＜x＜1)，那么月平均销售量减少的百分率为x2.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y(元)．
(1)写出y与x的函数关系式；
(2)改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大．
参考答案
1．解析：y′＝－eq \f(3,8)t2－eq \f(3,2)t＋36，令y′＝0解得t＝8或t＝－12(舍)，
当0＜t＜8时，y′＞0；当t＞8时，y′＜0，∴t＝8为函数的最大值点．
∴t＝8时，通过该路段用时最多．
答案：C
2．解析：设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x＞0)，
∴y′＝－6x2＋36x＝－6x(x－6)．
令y′＝0，解得x＝0或x＝6，经检验知x＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点．
答案：A
3．解析：设圆锥的高为x cm，则底面半径为eq \r(202－x2) cm，
其体积V＝eq \f(1,3)πx(202－x2)(0＜x＜20)，
V′＝eq \f(π,3)(400－3x2)，令V′＝0得x1＝eq \f(20\r(3),3)，x2＝－eq \f(20\r(3),3)(舍去)．
又当0＜x＜eq \f(20\r(3),3)时，V′＞0；eq \f(20\r(3),3)＜x＜20时，V′＜0，
∴当x＝eq \f(20\r(3),3) cm时，V取最大值．
答案：D
4．解析：设圆柱形铁桶的底面半径为r，高为h，总造价为y，单位面积铁的造价为a，则V＝πr2h，y＝πr2·3a＋πr2·a＋2πrh·a＝aπeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4r2＋\f(2V,πr)))，则y′＝aπeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8r－\f(2V,πr2))).
令y′＝0，得r＝eq \f(1,2)eq \r(3,\f(2V,π))，h＝eq \f(V,πr2)＝2eq \r(3,\f(2V,π)).
答案：C
5．解析：设产品单价为a元，产品单价的平方与产品件数x成反比，
即a2x＝k，由题知k＝250 000，则a2x＝250 000，
所以a＝eq \f(500,\r(x)).
总利润y＝500eq \r(x)－eq \f(2,75)x3－1 200(x＞0)，y′＝eq \f(250,\r(x))－eq \f(2,25)x2.
由y′＝0，得x＝25，当x∈(0,25)时，y′＞0，x∈(25，＋∞)时，y′＜0，所以x＝25时，y取最大值．
答案：B
6．解析：要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，设场地宽为x米，则长为eq \f(512,x)米，因此新墙壁总长度L＝2x＋eq \f(512,x)(x＞0)，则L′＝2－eq \f(512,x2).
令L′＝0，得x＝±16.
∵x＞0，∴x＝16.
当x＝16时，Lmin＝64，此时堆料场的长为eq \f(512,16)＝32(米)．
答案：32和16
7．解析：由题意得，总利润
P(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(x3,900)＋300x－20 000，0≤x≤390，,70 090－100x，x>390，))
当0≤x≤390时，P′(x)＝－eq \f(x2,300)＋300，令P′(x)＝0，解得x＝300；
当0≤x≤300时，P′(x)＞0；
当300＜x＜390时，P′(x)＜0.
所以当x＝300时，P(x)max＝40 000，而当x＞390时，P(x)＜40 000，
因此当x＝300时利润最大．
答案：300
8．解析：设剪成的上面一块正三角形的边长为x.
则S＝eq \f((3－x)2,\f(\r(3),4)－\f(\r(3),4)x2)＝eq \f(4\r(3),3)·eq \f((3－x)2,1－x2)(0＜x＜1)，
S′＝eq \f(4\r(3),3)·eq \f(－6x2＋20x－6,(1－x2)2)＝－eq \f(8\r(3),3)·eq \f((3x－1)(x－3),(1－x2)2)，
令S′＝0，得x＝eq \f(1,3)或x＝3(舍去)．
∴x＝eq \f(1,3)是S的极小值点且是最小值点．
∴Smin＝eq \f(4\r(3),3)×eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(1,3)))2,1－\f(1,9))＝eq \f(32\r(3),3).
答案：eq \f(32\r(3),3)
9．解：如图所示，设正四棱柱的底面边长为x，高为h，
由于x2＋x2＋h2＝d2，
INCLUDEPICTURE"K34.EPS"
所以x2＝eq \f(1,2)(d2－h2)．
所以球内接正四棱柱的体积为V＝x2·h＝eq \f(1,2)(d2h－h3),0＜h＜d.
令V′＝eq \f(1,2)(d2－3h2)＝0，所以h＝eq \f(\r(3),3)d.
在(0，d)上，当h变化时，V′，V的变化情况如下表：
heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)d))eq \f(\r(3),3)deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)d，d))V′＋0－V EMBED Equation.DSMT4 极大值 EMBED Equation.DSMT4 由上表知体积最大时，球内接正四棱柱的高为eq \f(\r(3),3)d.
10．解：(1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1＋x)元，月平均销售量为a(1－x2)件，
则月平均利润y＝a(1－x2)·[20(1＋x)－15]元，
所以y与x的函数关系式为y＝5a(1＋4x－x2－4x3)(0＜x＜1)．
(2)由y′＝5a(4－2x－12x2)＝0得x1＝eq \f(1,2)，x2＝－eq \f(2,3)(舍)．
当0＜x＜eq \f(1,2)时，y′＞0；eq \f(1,2)＜x＜1时y′＜0，
所以函数y＝5a(1＋4x－x2－4x3)(0＜x＜1)在x＝eq \f(1,2)处取得最大值．
故改进工艺后，产品的销售价为20eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))＝30(元)时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大．