高中数学人教A版选修2-3练习：2.1.2 离散型随机变量的分布列 Word版含解析.doc

高中数学人教A版选修2-3练习：2.1.2 离散型随机变量的分布列 Word版含解析.doc
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．某一随机变量ξ的概率分布列如下表，且m＋2n＝1.2，则m－eq \f(n,2)的值为(　　)
ξ0123P0.1mn0.1A.－0.2　　　　　　B．0.2
C．0.1 D．－0.1
【解析】　由离散型随机变量分布列的性质可得m＋n＋0.2＝1，又m＋2n＝1.2，解得m＝n＝0.4，可得m－eq \f(n,2)＝0.2.
【答案】　B
2．下列问题中的随机变量不服从两点分布的是(　　)
A．抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量X
B．某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量X
C．从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1，取出白球0，取出红球))
D．某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X
【解析】　A中随机变量X的取值有6个，不服从两点分布，故选A.
【答案】　A
3．在15个村庄中，有7个村庄交通不太方便，现从中任意选10个村庄，用ξ表示10个村庄中交通不太方便的村庄数，下列概率中等于eq \f(C\o\al(4,7)C\o\al(6,8),C\o\al(10,15))的是(　　)
A．P(ξ＝2) B．P(ξ≤2)
C．P(ξ＝4) D．P(ξ≤4)
【解析】　A项，P(ξ＝2)＝eq \f(C\o\al(2,7)C\o\al(8,8),C\o\al(10,15))；
B项，P(ξ≤2)＝P(ξ＝2)≠eq \f(C\o\al(4,7)C\o\al(6,8),C\o\al(10,15))；
C项，P(ξ＝4)＝eq \f(C\o\al(4,7)C\o\al(6,8),C\o\al(10,15))；
D项，P(ξ≤4)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)>eq \f(C\o\al(4,7)C\o\al(6,8),C\o\al(10,15)).
【答案】　C
4．抛掷两颗骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P(X≤4)等于(　　)
A.eq \f(1,6)　　　B.eq \f(1,3)　　　
C.eq \f(1,2)　　　D.eq \f(2,3)
【解析】　根据题意，有P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)．抛掷两颗骰子，按所得的点数共36个基本事件，而X＝2对应(1,1)，X＝3对应(1,2)，(2,1)，X＝4对应(1,3)，(3,1)，(2,2)，
故P(X＝2)＝eq \f(1,36)，P(X＝3)＝eq \f(2,36)＝eq \f(1,18)，
P(X＝4)＝eq \f(3,36)＝eq \f(1,12)，所以P(X≤4)＝eq \f(1,36)＋eq \f(1,18)＋eq \f(1,12)＝eq \f(1,6).
【答案】　A
5．随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝n)＝eq \f(a,nn＋1)，n＝1,2,3,4，其中a是常数，则Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<ξ<\f(5,2)))的值为(　　)
A.eq \f(2,3) B.eq \f(3,4)
C.eq \f(4,5) D.eq \f(5,6)
【解析】　eq \f(a,1×2)＋eq \f(a,2×3)＋eq \f(a,3×4)＋eq \f(a,4×5)＝
aeq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,4)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－\f(1,5)))))
＝eq \f(4,5)a＝1.
∴a＝eq \f(5,4).
∴Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<ξ<\f(5,2)))＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)
＝eq \f(5,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1×2)＋\f(1,2×3)))＝eq \f(5,6).
【答案】　D
二、填空题
6．若随机变量X服从两点分布，则P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2.令Y＝3X－2，则P(Y＝－2)＝________.
【解析】　由Y＝－2，且Y＝3X－2，得X＝0，
∴P(Y＝－2)＝0.8.
【答案】　0.8
7．设离散型随机变量X的概率分布列为：
X－10123Peq \f(1,10)meq \f(1,10)eq \f(1,5)eq \f(2,5)则P(X≤2)＝________.
【解析】　P(X≤2)＝1－eq \f(2,5)＝eq \f(3,5).
【答案】　eq \f(3,5)
8．某篮球运动员在一次投篮训练中的得分X的分布列如下表，其中a，b，c成等差数列，且c＝ab，
X023Pabc则这名运动员得3分的概率是________．
【解析】　由题中条件，知2b＝a＋c，c＝ab，再由分布列的性质，知a＋b＋c＝1，且a，b，c都是非负数，由三个方程联立成方程组，可解得a＝eq \f(1,2)，b＝eq \f(1,3)，c＝eq \f(1,6)，所以得3分的概率是eq \f(1,6).
【答案】　eq \f(1,6)
三、解答题
9．一个袋中有形状、大小完全相同的3个白球和4个红球．
(1)从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，即X＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(0，摸出白球，1，摸出红球，))求X的分布列；
(2)从中任意摸出两个球，用“X＝0”表示两个球全是白球，用“X＝1”表示两个球不全是白球，求X的分布列．
【解】　(1)X的分布列如下表：
X01Peq \f(3,7)eq \f(4,7)(2)X的分布列如下表：
X01Peq \f(1,7)eq \f(6,7)10.(2016·大庆高二模拟)某校组织一次冬令营活动，有8名同学参加，其中有5名男同学，3名女同学，为了活动的需要，要从这8名同学中随机抽取3名同学去执行一项特殊任务，记其中有X名男同学．
(1)求X的分布列；
(2)求去执行任务的同学中有男有女的概率．
【解】　(1)X的可能取值为0,1,2,3.根据公式P(X＝k)＝eq \f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}算出其相应的概率．
即X的分布列为
X0123Peq \f(1,56)eq \f(15,56)eq \f(15,28)eq \f(5,28)(2)去执行任务的同学中有男有女的概率为P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝eq \f(15,56)＋eq \f(15,28)＝eq \f(45,56).
[能力提升]
1．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：
①X表示取出的最大号码；
②X表示取出的最小号码；
③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分；
④X表示取出的黑球个数．
这四种变量中服从超几何分布的是(　　)
A．①② B．③④
C．①②④ D．①②③④
【解析】　由超几何分布的概念知③④符合，故选B.
【答案】　B
2．(2016·周口中英文学校月考)设X是一个离散型随机变量，其分布列为：
X－101Peq \f(1,2)1－2qq2则q为(　　) 【导学号：97270035】
A．1 B．1±eq \f(\r(2),2)
C．1＋eq \f(\r(2),2) D．1－eq \f(\r(2),2)
【解析】　由分布列性质(2)知eq \f(1,2)＋1－2q＋q2＝1，
解得q＝1±eq \f(\r(2),2)，又由性质(1)知1－2q≥0，
∴q≤eq \f(1,2)，∴q＝1－eq \f(\r(2),2)，故选D.
【答案】　D
3．以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图211中以X表示．
甲组　乙组990X891110图211
如果X＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的植树总棵数Y的分布列．
【解析】　当X＝9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数分别是9,9,11,11；乙组同学的植树棵数分别是9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4＝16种可能的结果，这两名同学植树总棵树Y的可能取值为17,18,19,20,21.事件“Y＝17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此P(Y＝17)＝eq \f(2,16)＝eq \f(1,8).
同理可得P(Y＝18)＝eq \f(1,4)；P(Y＝19)＝eq \f(1,4)；
P(Y＝20)＝eq \f(1,4)；P(Y＝21)＝eq \f(1,8).
所以随机变量Y的分布列为
Y1718192021Peq \f(1,8)eq \f(1,4)eq \f(1,4)eq \f(1,4)eq \f(1,8)【答案】　
Y1718192021Peq \f(1,8)eq \f(1,4)eq \f(1,4)eq \f(1,4)eq \f(1,8)4.(2016·西安高二检测)袋中有4个红球、3个黑球，随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．
(1)求得分X的分布列；
(2)求得分大于6分的概率．
【解】　(1)从袋中随机摸4个球的情况为
1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红．
分别得分为5分，6分，7分，8分．
故X的可能取值为5,6,7,8.
P(X＝5)＝eq \f(C\o\al(1,4)C\o\al(3,3),C\o\al(4,7))＝eq \f(4,35)，
P(X＝6)＝eq \f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,3),C\o\al(4,7))＝eq \f(18,35)，
P(X＝7)＝eq \f(C\o\al(3,4)C\o\al(1,3),C\o\al(4,7))＝eq \f(12,35)，
P(X＝8)＝eq \f(C\o\al(4,4)C\o\al(0,3),C\o\al(4,7))＝eq \f(1,35).
故所求分布列为
X5678Peq \f(4,35)eq \f(18,35)eq \f(12,35)eq \f(1,35)(2)根据随机变量X的分布列，可以得到得分大于6分的概率为P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝eq \f(12,35)＋eq \f(1,35)＝eq \f(13,35).