优质解析：河北衡水中学2017届高三9月联考摸底（全国卷）数学（理）试题（原卷版）.doc
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优质解析：河北衡水中学2017届高三9月联考摸底（全国卷）数学（理）试题（原卷版）.doc
河北衡水中学2017届高三摸底联考（全国卷）理数试题
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
若集合 EMBED Equation.KSEE3 ，且 EMBED Equation.KSEE3 ，则集合 EMBED Equation.KSEE3 可能是（ ）
A. EMBED Equation.KSEE3 B. EMBED Equation.KSEE3 C. EMBED Equation.KSEE3 D. EMBED Equation.KSEE3
复数 EMBED Equation.KSEE3 的共轭复数在复平面上对应的点在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知平面向量 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ， EMBED Equation.KSEE3 满足 EMBED Equation.KSEE3 ，且 EMBED Equation.KSEE3 ， EMBED Equation.KSEE3 ，则向量 EMBED Equation.KSEE3 与 EMBED Equation.KSEE3 夹角的余弦值为（ ）
A. EMBED Equation.KSEE3 B. EMBED Equation.KSEE3 C. EMBED Equation.KSEE3 D. EMBED Equation.KSEE3
4.执行如图所示的程序框图，如输入的 EMBED Equation.KSEE3 值为1，则输出的 EMBED Equation.KSEE3 的值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
5.已知数列 EMBED Equation.KSEE3 中， EMBED Equation.KSEE3 ， EMBED Equation.KSEE3 ， EMBED Equation.KSEE3 为其前 EMBED Equation.KSEE3 项和，则 EMBED Equation.KSEE3 的值为（ ）
A.57 B.61 C.62 D.63
6.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）
A. EMBED Equation.KSEE3 B. EMBED Equation.KSEE3 C. EMBED Equation.KSEE3 D. EMBED Equation.KSEE3
7.为了得到 EMBED Equation.KSEE3 ，只需要将 EMBED Equation.KSEE3 作如下变换（ ）
A.向右平移 EMBED Equation.KSEE3 个单位 B.向右平移 EMBED Equation.KSEE3 个单位
C.向左平移 EMBED Equation.KSEE3 个单位 D.向右平移 EMBED Equation.KSEE3 个单位
8.若A为不等式组 EMBED Equation.KSEE3 表示的平面区域，则当 EMBED Equation.KSEE3 从-2连续变化到1时，动直线 EMBED Equation.KSEE3 扫过A中的那部分区域的面积为（ ）
A.1 B.1.5 C.0.75 D.1.75
9.焦点在 EMBED Equation.KSEE3 轴上的椭圆方程为 EMBED Equation.KSEE3 ，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为 EMBED Equation.KSEE3 ，则椭圆的离心率为（ ）
A. EMBED Equation.KSEE3 B. EMBED Equation.KSEE3 C. EMBED Equation.KSEE3 D. EMBED Equation.KSEE3
10.在四面体 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 中， EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ， EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ， EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ，二面角 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 的余弦值是 EMBED Equation.KSEE3 ，则该四面体外接球的表面积是（ ）
A. EMBED Equation.KSEE3 B. EMBED Equation.KSEE3 C. EMBED Equation.KSEE3 D. EMBED Equation.KSEE3
11.已知函数 EMBED Equation.KSEE3 ，则关于 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 的方程 EMBED Equation.KSEE3 实根个数不可能为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
12.函数 EMBED Equation.KSEE3 的部分图象如图所示，且 EMBED Equation.KSEE3 ，对不同的 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ， EMBED Equation.KSEE3 ，若 EMBED Equation.KSEE3 ，有 EMBED Equation.KSEE3 ，则（ ）
A. EMBED Equation.KSEE3 在 EMBED Equation.KSEE3 上是减函数 B. EMBED Equation.KSEE3 在 EMBED Equation.KSEE3 上是增函数
C. EMBED Equation.KSEE3 在 EMBED Equation.KSEE3 上是减函数 D. EMBED Equation.KSEE3 在 EMBED Equation.KSEE3 上是增函数
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13. EMBED Equation.KSEE3 的展开式中 EMBED Equation.KSEE3 项的系数为_______.
14.已知抛物线 EMBED Equation.KSEE3 上一点 EMBED Equation.KSEE3 到其焦点的距离为5，双曲线 EMBED Equation.KSEE3 的左顶点为 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ，若双曲线一条渐近线与直线 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 垂直，则实数 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT _______.
15.如图，为测量出山高 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ，选择 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 和另一座山的山顶C为测量观测点，从 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 点测得 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 点的仰角 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ， EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 点的仰角 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 以及 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ， EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 点测得 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ，已知山高 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT m，则山高 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT _______m.
16.设函数 EMBED Equation.KSEE3 ， EMBED Equation.KSEE3 ，对任意 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ， EMBED Equation.KSEE3 ，不等式 EMBED Equation.KSEE3 恒成立，则正数 EMBED Equation.KSEE3 的取值范围是________.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
（本小题满分12分）
中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题．若某地区2015年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人，从20216年开始到2035年每年人口为上一年的99%．
（1）求实施新政策后第 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 年的人口总数 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 的表达式（注：2016年为第一年）；
（2）若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施．问到2035年后是否需要调整政策？（说明：0.9910=(1-0.01)10≈0.9）
（本小题满分12分）
如图，已知矩形 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 所在平面垂直于直角梯形 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 所在平面于直线 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ，平面 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 平面 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ，且 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ， EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ， EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ，且 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ．
（1）设点 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 为棱 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 中点，在面 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 内是否存在点 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ，使得 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 平面 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ？若存在，
请证明；若不存在，请说明理由；
（2）求二面角 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 的余弦值.
[来源:学.科.网]
19.（本小题满分12分）
某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 依次为1，2，…，8，其中 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 为标准A， EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准
（1）已知甲厂产品的等级系数 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 的概率分布列如下所示：
EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 5[来源:Z.xx.k.Com]678 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 0.4 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 0.1[来源:ZXXK]
且 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 的数字期望 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ，求 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ， EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 的值；
（2）为分析乙厂产品的等级系数 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
6 3 4 7 5 3 4 8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 的数学期望．
（3）在（1）、（2）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．
注：①产品的“性价比”=产品的等级系数的数学期望/产品的零售价；
②“性价比”大的产品更具可购买性．
20.（本小题满分12分）已知椭圆C： EMBED Equation.KSEE3 短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线 EMBED Equation.KSEE3 与圆 EMBED Equation.KSEE3 相切.
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知过椭圆C的左顶点A的两条直线 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ， EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 分别交椭圆C于 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ， EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 两点，且 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ，求证：直线 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 过定点，并求出定点坐标；
（3）在（2）的条件下求 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 面积的最大值.
21.（本小题满分12分）已知函数 EMBED Equation.KSEE3 (常数 EMBED Equation.KSEE3 且 EMBED Equation.KSEE3 ).
（1）证明：当 EMBED Equation.KSEE3 时，函数 EMBED Equation.KSEE3 有且只有一个极值点；[[来源:Z|xx|k.Com]
（2）若函数 EMBED Equation.KSEE3 存在两个极值点 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ， EMBED Equation.KSEE3 ，证明： EMBED Equation.KSEE3 且 EMBED Equation.KSEE3 .
请考生在第22、23、24题中任意选一题作答。如果多做，则按所做第一题记分。
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 、 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 、 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 、 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 四点在同一个圆上， EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 与 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 的延长线交于点 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ，点 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 在 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 的延长线上．
（1）若 EMBED Equation.KSEE3 ， EMBED Equation.KSEE3 ，求 EMBED Equation.KSEE3 的值；
（2）若 EMBED Equation.KSEE3 ，证明： EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ．
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标的极点在直角坐标系的原点处，极轴与 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 轴非负半轴重合，直线 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT [来源:学#科#网]
的参数方程为： EMBED Equation.KSEE3 （ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 为参数），曲线C的极坐标方程为： EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ．
（1）写出C的直角坐标方程和直线 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 的普通方程；
（2）设直线 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 与曲线C相交于 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ， EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 两点，求 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 值．
24.（本小题满分12分）选修4-5：不等式选讲
已知函数 EMBED Equation.KSEE3 , EMBED Equation.KSEE3 .
（1）解不等式 EMBED Equation.KSEE3 ；
（2）若对任意的 EMBED Equation.KSEE3 ，都有 EMBED Equation.KSEE3 ，使得 EMBED Equation.KSEE3 成立，求实数 EMBED Equation.KSEE3 的取值范围.
河北衡水中学2017届高三摸底联考（全国卷）理数试题
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
若集合 EMBED Equation.KSEE3 ，且 EMBED Equation.KSEE3 ，则集合 EMBED Equation.KSEE3 可能是（ ）
A. EMBED Equation.KSEE3 B. EMBED Equation.KSEE3 C. EMBED Equation.KSEE3 D. EMBED Equation.KSEE3
复数 EMBED Equation.KSEE3 的共轭复数在复平面上对应的点在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知平面向量 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ， EMBED Equation.KSEE3 满足 EMBED Equation.KSEE3 ，且 EMBED Equation.KSEE3 ， EMBED Equation.KSEE3 ，则向量 EMBED Equation.KSEE3 与 EMBED Equation.KSEE3 夹角的余弦值为（ ）
A. EMBED Equation.KSEE3 B. EMBED Equation.KSEE3 C. EMBED Equation.KSEE3 D. EMBED Equation.KSEE3
4.执行如图所示的程序框图，如输入的 EMBED Equation.KSEE3 值为1，则输出的 EMBED Equation.KSEE3 的值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
5.已知数列 EMBED Equation.KSEE3 中， EMBED Equation.KSEE3 ， EMBED Equation.KSEE3 ， EMBED Equation.KSEE3 为其前 EMBED Equation.KSEE3 项和，则 EMBED Equation.KSEE3 的值为（ ）
A.57 B.61 C.62 D.63
6.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）
A. EMBED Equation.KSEE3 B. EMBED Equation.KSEE3 C. EMBED Equation.KSEE3 D. EMBED Equation.KSEE3
7.为了得到 EMBED Equation.KSEE3 ，只需要将 EMBED Equation.KSEE3 作如下变换（ ）
A.向右平移 EMBED Equation.KSEE3 个单位 B.向右平移 EMBED Equation.KSEE3 个单位
C.向左平移 EMBED Equation.KSEE3 个单位 D.向右平移 EMBED Equation.KSEE3 个单位
8.若A为不等式组 EMBED Equation.KSEE3 表示的平面区域，则当 EMBED Equation.KSEE3 从-2连续变化到1时，动直线 EMBED Equation.KSEE3 扫过A中的那部分区域的面积为（ ）
A.1 B.1.5 C.0.75 D.1.75
9.焦点在 EMBED Equation.KSEE3 轴上的椭圆方程为 EMBED Equation.KSEE3 ，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为 EMBED Equation.KSEE3 ，则椭圆的离心率为（ ）
A. EMBED Equation.KSEE3 B. EMBED Equation.KSEE3 C. EMBED Equation.KSEE3 D. EMBED Equation.KSEE3
10.在四面体 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 中， EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ， EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ， EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ，二面角 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 的余弦值是 EMBED Equation.KSEE3 ，则该四面体外接球的表面积是（ ）
A. EMBED Equation.KSEE3 B. EMBED Equation.KSEE3 C. EMBED Equation.KSEE3 D. EMBED Equation.KSEE3
11.已知函数 EMBED Equation.KSEE3 ，则关于 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 的方程 EMBED Equation.KSEE3 实根个数不可能为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
12.函数 EMBED Equation.KSEE3 的部分图象如图所示，且 EMBED Equation.KSEE3 ，对不同的 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ， EMBED Equation.KSEE3 ，若 EMBED Equation.KSEE3 ，有 EMBED Equation.KSEE3 ，则（ ）
A. EMBED Equation.KSEE3 在 EMBED Equation.KSEE3 上是减函数 B. EMBED Equation.KSEE3 在 EMBED Equation.KSEE3 上是增函数
C. EMBED Equation.KSEE3 在 EMBED Equation.KSEE3 上是减函数 D. EMBED Equation.KSEE3 在 EMBED Equation.KSEE3 上是增函数
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13. EMBED Equation.KSEE3 的展开式中 EMBED Equation.KSEE3 项的系数为_______.
14.已知抛物线 EMBED Equation.KSEE3 上一点 EMBED Equation.KSEE3 到其焦点的距离为5，双曲线 EMBED Equation.KSEE3 的左顶点为 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ，若双曲线一条渐近线与直线 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 垂直，则实数 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT _______.
15.如图，为测量出山高 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ，选择 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 和另一座山的山顶C为测量观测点，从 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 点测得 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 点的仰角 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ， EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 点的仰角 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 以及 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ， EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 点测得 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ，已知山高 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT m，则山高 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT _______m.
16.设函数 EMBED Equation.KSEE3 ， EMBED Equation.KSEE3 ，对任意 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ， EMBED Equation.KSEE3 ，不等式 EMBED Equation.KSEE3 恒成立，则正数 EMBED Equation.KSEE3 的取值范围是________.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
（本小题满分12分）
中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题．若某地区2015年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人，从20216年开始到2035年每年人口为上一年的99%．
（1）求实施新政策后第 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 年的人口总数 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 的表达式（注：2016年为第一年）；
（2）若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施．问到2035年后是否需要调整政策？（说明：0.9910=(1-0.01)10≈0.9）
（本小题满分12分）
如图，已知矩形 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 所在平面垂直于直角梯形 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 所在平面于直线 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ，平面 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 平面 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ，且 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ， EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ， EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ，且 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ．
（1）设点 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 为棱 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 中点，在面 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 内是否存在点 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ，使得 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 平面 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ？若存在，
请证明；若不存在，请说明理由；
（2）求二面角 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 的余弦值.
[来源:学.科.网]
19.（本小题满分12分）
某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 依次为1，2，…，8，其中 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 为标准A， EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准
（1）已知甲厂产品的等级系数 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 的概率分布列如下所示：
EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 5[来源:Z.xx.k.Com]678 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 0.4 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 0.1[来源:ZXXK]
且 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 的数字期望 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ，求 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ， EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 的值；
（2）为分析乙厂产品的等级系数 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
6 3 4 7 5 3 4 8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 的数学期望．
（3）在（1）、（2）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．
注：①产品的“性价比”=产品的等级系数的数学期望/产品的零售价；
②“性价比”大的产品更具可购买性．
20.（本小题满分12分）已知椭圆C： EMBED Equation.KSEE3 短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线 EMBED Equation.KSEE3 与圆 EMBED Equation.KSEE3 相切.
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知过椭圆C的左顶点A的两条直线 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ， EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 分别交椭圆C于 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ， EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 两点，且 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ，求证：直线 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 过定点，并求出定点坐标；
（3）在（2）的条件下求 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 面积的最大值.
21.（本小题满分12分）已知函数 EMBED Equation.KSEE3 (常数 EMBED Equation.KSEE3 且 EMBED Equation.KSEE3 ).
（1）证明：当 EMBED Equation.KSEE3 时，函数 EMBED Equation.KSEE3 有且只有一个极值点；[[来源:Z|xx|k.Com]
（2）若函数 EMBED Equation.KSEE3 存在两个极值点 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ， EMBED Equation.KSEE3 ，证明： EMBED Equation.KSEE3 且 EMBED Equation.KSEE3 .
请考生在第22、23、24题中任意选一题作答。如果多做，则按所做第一题记分。
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 、 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 、 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 、 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 四点在同一个圆上， EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 与 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 的延长线交于点 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ，点 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 在 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 的延长线上．
（1）若 EMBED Equation.KSEE3 ， EMBED Equation.KSEE3 ，求 EMBED Equation.KSEE3 的值；
（2）若 EMBED Equation.KSEE3 ，证明： EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ．
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标的极点在直角坐标系的原点处，极轴与 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 轴非负半轴重合，直线 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT [来源:学#科#网]
的参数方程为： EMBED Equation.KSEE3 （ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 为参数），曲线C的极坐标方程为： EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ．
（1）写出C的直角坐标方程和直线 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 的普通方程；
（2）设直线 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 与曲线C相交于 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ， EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 两点，求 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 值．
24.（本小题满分12分）选修4-5：不等式选讲
已知函数 EMBED Equation.KSEE3 , EMBED Equation.KSEE3 .
（1）解不等式 EMBED Equation.KSEE3 ；
（2）若对任意的 EMBED Equation.KSEE3 ，都有 EMBED Equation.KSEE3 ，使得 EMBED Equation.KSEE3 成立，求实数 EMBED Equation.KSEE3 的取值范围.