优质解析：河北省衡水中学2017届高三上学期四调考试数学（理）试题（原卷版）.doc
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优质解析：河北省衡水中学2017届高三上学期四调考试数学（理）试题（原卷版）.doc
2016～2017学年度上学期高三年级四调考试
数学试卷（理科）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知集合 EMBED Equation.DSMT4 ，集合 EMBED Equation.DSMT4 中至少有3个元素，则（ ）
A． EMBED Equation.DSMT4 B． EMBED Equation.DSMT4 C． EMBED Equation.DSMT4 D． EMBED Equation.DSMT4
2.若 EMBED Equation.DSMT4 ，则 EMBED Equation.DSMT4 等于（ ）
A．1 B． EMBED Equation.DSMT4 C． EMBED Equation.DSMT4 D． EMBED Equation.DSMT4
3.在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？（ ）
A．5 B．6 C．4 D．3
4.已知双曲线 EMBED Equation.DSMT4 的离心率为 EMBED Equation.DSMT4 ，则 EMBED Equation.DSMT4 的渐近线方程为（ ）
A． EMBED Equation.DSMT4 B． EMBED Equation.DSMT4 C. EMBED Equation.DSMT4 D． EMBED Equation.DSMT4
5.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）
A．4 B．9 C.7 D．5
6. 已知函数 EMBED Equation.DSMT4 的部分图象如图所示，下面结论错误的是（ ）
A．函数 EMBED Equation.DSMT4 的最小正周期为 EMBED Equation.DSMT4 [来源:学|科|网Z|X|X|K]
B．函数 EMBED Equation.DSMT4 的图象可由 EMBED Equation.DSMT4 的图象向右平移 EMBED Equation.DSMT4 个单位得到
C.函数 EMBED Equation.DSMT4 的图象关于直线 EMBED Equation.DSMT4 对称
D．函数 EMBED Equation.DSMT4 在区间 EMBED Equation.DSMT4 上单调递增
7.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数 EMBED Equation.DSMT4 ，称为狄利克雷函数，则关于函数 EMBED Equation.DSMT4 有以下四个命题：
① EMBED Equation.DSMT4 ；
②函数 EMBED Equation.DSMT4 是偶函数；
③任意一个非零有理数 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 对任意 EMBED Equation.DSMT4 恒成立；
④存在三个点 EMBED Equation.DSMT4 ，使得 EMBED Equation.DSMT4 为等边三角形.
其中真命题的个数是（ ）
A．4 B．3 C.2 D．1
8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．10 B．20 C.40 D．60
9. 已知 EMBED Equation.DSMT4 、 EMBED Equation.DSMT4 是椭圆 EMBED Equation.DSMT4 长轴的两个端点， EMBED Equation.DSMT4 、 EMBED Equation.DSMT4 是椭圆上关于 EMBED Equation.DSMT4 轴对称的两点，直线 EMBED Equation.DSMT4 、 EMBED Equation.DSMT4 的斜率分别为 EMBED Equation.DSMT4 ，若椭圆的离心率为 EMBED Equation.DSMT4 ，则 EMBED Equation.DSMT4 的最小值为（ ）
A．1 B． EMBED Equation.DSMT4 C. EMBED Equation.DSMT4 D． EMBED Equation.DSMT4
10. 在棱长为6的正方体 EMBED Equation.DSMT4 中， EMBED Equation.DSMT4 是 EMBED Equation.DSMT4 的中点，点 EMBED Equation.DSMT4 是面 EMBED Equation.DSMT4 所在的平面内的动点，且满足 EMBED Equation.DSMT4 ，则三棱锥 EMBED Equation.DSMT4 的体积最大值是（ ）
A．36 B． EMBED Equation.DSMT4 C. EMBED Equation.DSMT4 D． EMBED Equation.DSMT4
11.已知函数 EMBED Equation.DSMT4 ，若 EMBED Equation.DSMT4 恒成立，则实数 EMBED Equation.DSMT4 的取值范围是（ ）
A． EMBED Equation.DSMT4 B． EMBED Equation.DSMT4 C. EMBED Equation.DSMT4 D． EMBED Equation.DSMT4
12.已知过抛物线 EMBED Equation.DSMT4 焦点 EMBED Equation.DSMT4 的直线 EMBED Equation.DSMT4 与抛物线 EMBED Equation.DSMT4 交于 EMBED Equation.DSMT4 、 EMBED Equation.DSMT4 两点（ EMBED Equation.DSMT4 在 EMBED Equation.DSMT4 轴上方），满足 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ，则以 EMBED Equation.DSMT4 为圆心且与抛物线准线相切的圆的标准方程为（ ）
A． EMBED Equation.DSMT4 B． EMBED Equation.DSMT4 [来源:ZXXK]
C. EMBED Equation.DSMT4 D． EMBED Equation.DSMT4
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若 EMBED Equation.DSMT4 、 EMBED Equation.DSMT4 满足约束条件 EMBED Equation.DSMT4 ，则 EMBED Equation.DSMT4 的最大值为 ．[来源:ZXXK]
14. 在 EMBED Equation.DSMT4 中， EMBED Equation.DSMT4 ，若 EMBED Equation.DSMT4 为 EMBED Equation.DSMT4 外接圆的圆心（即满足 EMBED Equation.DSMT4 ），则 EMBED Equation.DSMT4 的值为 ．
15.已知数列 EMBED Equation.DSMT4 的各项均为正数， EMBED Equation.DSMT4 ，若数列 EMBED Equation.DSMT4 的前 EMBED Equation.DSMT4 项和为5，则 EMBED Equation.DSMT4 ．
16.过抛物线 EMBED Equation.DSMT4 的焦点 EMBED Equation.DSMT4 的直线 EMBED Equation.DSMT4 与抛物线在第一象限的交点为 EMBED Equation.DSMT4 ，与抛物线的准线的的交点为 EMBED Equation.DSMT4 ，点 EMBED Equation.DSMT4 在抛物线的准线上的射影为 EMBED Equation.DSMT4 ，若 EMBED Equation.DSMT4 ，则抛物线的方程为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）[来源:]
在 EMBED Equation.DSMT4 中，内角 EMBED Equation.DSMT4 、 EMBED Equation.DSMT4 、 EMBED Equation.DSMT4 所对的边分别为 EMBED Equation.DSMT4 ，已知 EMBED Equation.DSMT4 .
（1）求 EMBED Equation.DSMT4 的值；
（2）求 EMBED Equation.DSMT4 的面积.
18.（本小题满分12分）
如图所示，在三棱柱 EMBED Equation.DSMT4 中， EMBED Equation.DSMT4 为正方形， EMBED Equation.DSMT4 为菱形， EMBED Equation.DSMT4 ，平面 EMBED Equation.DSMT4 平面 EMBED Equation.DSMT4 .
（1）求证： EMBED Equation.DSMT4 ；
（2）设点 EMBED Equation.DSMT4 、 EMBED Equation.DSMT4 分别是 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 的中点，试判断直线 EMBED Equation.DSMT4 与平面 EMBED Equation.DSMT4 的位置关系，并说明理由；
（3）求二面角 EMBED Equation.DSMT4 的余弦值.
19.（本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系 EMBED Equation.DSMT4 中，已知 EMBED Equation.DSMT4 是椭圆 EMBED Equation.DSMT4 上的一点，从原点 EMBED Equation.DSMT4 向圆 EMBED Equation.DSMT4 作两条切线，分别交椭圆于 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 .
（1）若 EMBED Equation.DSMT4 点在第一象限，且直线 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 互相垂直，求圆 EMBED Equation.DSMT4 的方程；
（2）若直线 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 的斜率存在，并记为 EMBED Equation.DSMT4 ，求 EMBED Equation.DSMT4 的值；
（3）试问 EMBED Equation.DSMT4 是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.
20.（本小题满分12分）
设椭圆 EMBED Equation.DSMT4 的左、右焦点分别为 EMBED Equation.DSMT4 、 EMBED Equation.DSMT4 ，上顶点为 EMBED Equation.DSMT4 ，过 EMBED Equation.DSMT4 与 EMBED Equation.DSMT4 垂直的直线交 EMBED Equation.DSMT4 轴负半轴于 EMBED Equation.DSMT4 点，且 EMBED Equation.DSMT4 .
（1）求椭圆 EMBED Equation.DSMT4 的离心率；
（2）若过 EMBED Equation.DSMT4 、 EMBED Equation.DSMT4 、 EMBED Equation.DSMT4 三点的圆恰好与直线 EMBED Equation.DSMT4 相切，求椭圆 EMBED Equation.DSMT4 的方程；
（3）过 EMBED Equation.DSMT4 的直线 EMBED Equation.DSMT4 与（2）中椭圆交于不同的两点 EMBED Equation.DSMT4 、 EMBED Equation.DSMT4 ，则 EMBED Equation.DSMT4 的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.
21.（本小题满分12分）
已知 EMBED Equation.DSMT4 ，设函数 EMBED Equation.DSMT4 .
（1）存在 EMBED Equation.DSMT4 ，使得 EMBED Equation.DSMT4 是 EMBED Equation.DSMT4 在 EMBED Equation.DSMT4 上的最大值，求 EMBED Equation.DSMT4 的取值范围；
（2） EMBED Equation.DSMT4 对任意 EMBED Equation.DSMT4 恒成立时， EMBED Equation.DSMT4 的最大值为1，求 EMBED Equation.DSMT4 的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知圆锥曲线 EMBED Equation.DSMT4 （ EMBED Equation.DSMT4 为参数）和定点 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 、 EMBED Equation.DSMT4 是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点 EMBED Equation.DSMT4 为极点，以 EMBED Equation.DSMT4 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.[来源:]
（1）求直线 EMBED Equation.DSMT4 的直角坐标方程；
（2）经过点 EMBED Equation.DSMT4 且与直线 EMBED Equation.DSMT4 垂直的直线 EMBED Equation.DSMT4 交此圆锥曲线于 EMBED Equation.DSMT4 、 EMBED Equation.DSMT4 两点，求 EMBED Equation.DSMT4 的值.
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设 EMBED Equation.DSMT4 .
（1）解不等式 EMBED Equation.DSMT4 ；
（2）若存在实数 EMBED Equation.DSMT4 满足 EMBED Equation.DSMT4 ，试求实数 EMBED Equation.DSMT4 的取值范围.
2016～2017学年度上学期高三年级四调考试
数学试卷（理科）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知集合 EMBED Equation.DSMT4 ，集合 EMBED Equation.DSMT4 中至少有3个元素，则（ ）
A． EMBED Equation.DSMT4 B． EMBED Equation.DSMT4 C． EMBED Equation.DSMT4 D． EMBED Equation.DSMT4
2.若 EMBED Equation.DSMT4 ，则 EMBED Equation.DSMT4 等于（ ）
A．1 B． EMBED Equation.DSMT4 C． EMBED Equation.DSMT4 D． EMBED Equation.DSMT4
3.在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？（ ）
A．5 B．6 C．4 D．3
4.已知双曲线 EMBED Equation.DSMT4 的离心率为 EMBED Equation.DSMT4 ，则 EMBED Equation.DSMT4 的渐近线方程为（ ）
A． EMBED Equation.DSMT4 B． EMBED Equation.DSMT4 C. EMBED Equation.DSMT4 D． EMBED Equation.DSMT4
5.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）
A．4 B．9 C.7 D．5
6. 已知函数 EMBED Equation.DSMT4 的部分图象如图所示，下面结论错误的是（ ）
A．函数 EMBED Equation.DSMT4 的最小正周期为 EMBED Equation.DSMT4 [来源:学|科|网Z|X|X|K]
B．函数 EMBED Equation.DSMT4 的图象可由 EMBED Equation.DSMT4 的图象向右平移 EMBED Equation.DSMT4 个单位得到
C.函数 EMBED Equation.DSMT4 的图象关于直线 EMBED Equation.DSMT4 对称
D．函数 EMBED Equation.DSMT4 在区间 EMBED Equation.DSMT4 上单调递增
7.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数 EMBED Equation.DSMT4 ，称为狄利克雷函数，则关于函数 EMBED Equation.DSMT4 有以下四个命题：
① EMBED Equation.DSMT4 ；
②函数 EMBED Equation.DSMT4 是偶函数；
③任意一个非零有理数 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 对任意 EMBED Equation.DSMT4 恒成立；
④存在三个点 EMBED Equation.DSMT4 ，使得 EMBED Equation.DSMT4 为等边三角形.
其中真命题的个数是（ ）
A．4 B．3 C.2 D．1
8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．10 B．20 C.40 D．60
9. 已知 EMBED Equation.DSMT4 、 EMBED Equation.DSMT4 是椭圆 EMBED Equation.DSMT4 长轴的两个端点， EMBED Equation.DSMT4 、 EMBED Equation.DSMT4 是椭圆上关于 EMBED Equation.DSMT4 轴对称的两点，直线 EMBED Equation.DSMT4 、 EMBED Equation.DSMT4 的斜率分别为 EMBED Equation.DSMT4 ，若椭圆的离心率为 EMBED Equation.DSMT4 ，则 EMBED Equation.DSMT4 的最小值为（ ）
A．1 B． EMBED Equation.DSMT4 C. EMBED Equation.DSMT4 D． EMBED Equation.DSMT4
10. 在棱长为6的正方体 EMBED Equation.DSMT4 中， EMBED Equation.DSMT4 是 EMBED Equation.DSMT4 的中点，点 EMBED Equation.DSMT4 是面 EMBED Equation.DSMT4 所在的平面内的动点，且满足 EMBED Equation.DSMT4 ，则三棱锥 EMBED Equation.DSMT4 的体积最大值是（ ）
A．36 B． EMBED Equation.DSMT4 C. EMBED Equation.DSMT4 D． EMBED Equation.DSMT4
11.已知函数 EMBED Equation.DSMT4 ，若 EMBED Equation.DSMT4 恒成立，则实数 EMBED Equation.DSMT4 的取值范围是（ ）
A． EMBED Equation.DSMT4 B． EMBED Equation.DSMT4 C. EMBED Equation.DSMT4 D． EMBED Equation.DSMT4
12.已知过抛物线 EMBED Equation.DSMT4 焦点 EMBED Equation.DSMT4 的直线 EMBED Equation.DSMT4 与抛物线 EMBED Equation.DSMT4 交于 EMBED Equation.DSMT4 、 EMBED Equation.DSMT4 两点（ EMBED Equation.DSMT4 在 EMBED Equation.DSMT4 轴上方），满足 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ，则以 EMBED Equation.DSMT4 为圆心且与抛物线准线相切的圆的标准方程为（ ）
A． EMBED Equation.DSMT4 B． EMBED Equation.DSMT4 [来源:ZXXK]
C. EMBED Equation.DSMT4 D． EMBED Equation.DSMT4
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若 EMBED Equation.DSMT4 、 EMBED Equation.DSMT4 满足约束条件 EMBED Equation.DSMT4 ，则 EMBED Equation.DSMT4 的最大值为 ．[来源:ZXXK]
14. 在 EMBED Equation.DSMT4 中， EMBED Equation.DSMT4 ，若 EMBED Equation.DSMT4 为 EMBED Equation.DSMT4 外接圆的圆心（即满足 EMBED Equation.DSMT4 ），则 EMBED Equation.DSMT4 的值为 ．
15.已知数列 EMBED Equation.DSMT4 的各项均为正数， EMBED Equation.DSMT4 ，若数列 EMBED Equation.DSMT4 的前 EMBED Equation.DSMT4 项和为5，则 EMBED Equation.DSMT4 ．
16.过抛物线 EMBED Equation.DSMT4 的焦点 EMBED Equation.DSMT4 的直线 EMBED Equation.DSMT4 与抛物线在第一象限的交点为 EMBED Equation.DSMT4 ，与抛物线的准线的的交点为 EMBED Equation.DSMT4 ，点 EMBED Equation.DSMT4 在抛物线的准线上的射影为 EMBED Equation.DSMT4 ，若 EMBED Equation.DSMT4 ，则抛物线的方程为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）[来源:]
在 EMBED Equation.DSMT4 中，内角 EMBED Equation.DSMT4 、 EMBED Equation.DSMT4 、 EMBED Equation.DSMT4 所对的边分别为 EMBED Equation.DSMT4 ，已知 EMBED Equation.DSMT4 .
（1）求 EMBED Equation.DSMT4 的值；
（2）求 EMBED Equation.DSMT4 的面积.
18.（本小题满分12分）
如图所示，在三棱柱 EMBED Equation.DSMT4 中， EMBED Equation.DSMT4 为正方形， EMBED Equation.DSMT4 为菱形， EMBED Equation.DSMT4 ，平面 EMBED Equation.DSMT4 平面 EMBED Equation.DSMT4 .
（1）求证： EMBED Equation.DSMT4 ；
（2）设点 EMBED Equation.DSMT4 、 EMBED Equation.DSMT4 分别是 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 的中点，试判断直线 EMBED Equation.DSMT4 与平面 EMBED Equation.DSMT4 的位置关系，并说明理由；
（3）求二面角 EMBED Equation.DSMT4 的余弦值.
19.（本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系 EMBED Equation.DSMT4 中，已知 EMBED Equation.DSMT4 是椭圆 EMBED Equation.DSMT4 上的一点，从原点 EMBED Equation.DSMT4 向圆 EMBED Equation.DSMT4 作两条切线，分别交椭圆于 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 .
（1）若 EMBED Equation.DSMT4 点在第一象限，且直线 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 互相垂直，求圆 EMBED Equation.DSMT4 的方程；
（2）若直线 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 的斜率存在，并记为 EMBED Equation.DSMT4 ，求 EMBED Equation.DSMT4 的值；
（3）试问 EMBED Equation.DSMT4 是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.
20.（本小题满分12分）
设椭圆 EMBED Equation.DSMT4 的左、右焦点分别为 EMBED Equation.DSMT4 、 EMBED Equation.DSMT4 ，上顶点为 EMBED Equation.DSMT4 ，过 EMBED Equation.DSMT4 与 EMBED Equation.DSMT4 垂直的直线交 EMBED Equation.DSMT4 轴负半轴于 EMBED Equation.DSMT4 点，且 EMBED Equation.DSMT4 .
（1）求椭圆 EMBED Equation.DSMT4 的离心率；
（2）若过 EMBED Equation.DSMT4 、 EMBED Equation.DSMT4 、 EMBED Equation.DSMT4 三点的圆恰好与直线 EMBED Equation.DSMT4 相切，求椭圆 EMBED Equation.DSMT4 的方程；
（3）过 EMBED Equation.DSMT4 的直线 EMBED Equation.DSMT4 与（2）中椭圆交于不同的两点 EMBED Equation.DSMT4 、 EMBED Equation.DSMT4 ，则 EMBED Equation.DSMT4 的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.
21.（本小题满分12分）
已知 EMBED Equation.DSMT4 ，设函数 EMBED Equation.DSMT4 .
（1）存在 EMBED Equation.DSMT4 ，使得 EMBED Equation.DSMT4 是 EMBED Equation.DSMT4 在 EMBED Equation.DSMT4 上的最大值，求 EMBED Equation.DSMT4 的取值范围；
（2） EMBED Equation.DSMT4 对任意 EMBED Equation.DSMT4 恒成立时， EMBED Equation.DSMT4 的最大值为1，求 EMBED Equation.DSMT4 的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知圆锥曲线 EMBED Equation.DSMT4 （ EMBED Equation.DSMT4 为参数）和定点 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 、 EMBED Equation.DSMT4 是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点 EMBED Equation.DSMT4 为极点，以 EMBED Equation.DSMT4 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.[来源:]
（1）求直线 EMBED Equation.DSMT4 的直角坐标方程；
（2）经过点 EMBED Equation.DSMT4 且与直线 EMBED Equation.DSMT4 垂直的直线 EMBED Equation.DSMT4 交此圆锥曲线于 EMBED Equation.DSMT4 、 EMBED Equation.DSMT4 两点，求 EMBED Equation.DSMT4 的值.
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设 EMBED Equation.DSMT4 .
（1）解不等式 EMBED Equation.DSMT4 ；
（2）若存在实数 EMBED Equation.DSMT4 满足 EMBED Equation.DSMT4 ，试求实数 EMBED Equation.DSMT4 的取值范围.