高中人教A版数学必修4：第25课时 平面向量的数量积的坐标表示、模、夹角 Word版含解析.doc

高中人教A版数学必修4：第25课时 平面向量的数量积的坐标表示、模、夹角 Word版含解析.doc
第25课时　平面向量的数量积的坐标表示、模、夹角
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　　　　　　课时目标1.掌握向量数量积的坐标表示，会进行向量数量积的坐标运算．
2．会用坐标运算求向量的模，并会用坐标运算判断两个向量是否垂直．
3．能运用数量积的坐标求出两个向量夹角的余弦值．
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　　识记强化1．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
2．若有向线段eq \o(AB,\s\up6(→))，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \o(|AB,\s\up6(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12)；若eq \o(AB,\s\up6(→))＝(x，y)，则|eq \o(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(x2＋y2).
3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
4．两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则求两向量的夹角θ的公式为
cosθ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).
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　　课时作业
一、选择题
　　　　　　　　　　　　
1．设向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，且a⊥b，则x的值是(　　)
A．±2 B．0
C．－2 D．2
答案：B
解析：由a⊥b，得a·b＝0，即4x＋x＝0，解得x＝0，故选B.
2．已知向量a＝(0，－2eq \r(3))，b＝(1，eq \r(3))，则向量a在b方向上的投影为(　　)
A.eq \r(3) B．3
C．－eq \r(3) D．－3
答案：D
解析：向量a在b方向上的投影为eq \f(a·b,|b|)＝eq \f(－6,2)＝－3.选D.
3．已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k的值为(　　)
A．－eq \f(9,2) B．0
C．3 D.eq \f(15,2)
答案：C
解析：∵2a－3b＝(2k－3，－6)．又(2a－3b)⊥c，∴(2a－3b)·c＝0，即(2k－3)×2＋(－6)＝0，解得k＝3.
4．若A(1,2)，B(2,3)，C(－3,5)，则△ABC为(　　)
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．不等边三角形
答案：C
解析：∵A(1,2)，B(2,3)，C(－3,5)，
∴eq \o(AB,\s\up6(→))＝(1,1)，eq \o(AC,\s\up6(→))＝(－4,3)，
cosA＝eq \f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))||\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(1×－4＋1×3,\r(2)×\r(25))＝－eq \f(1,5 \r(2))＜0，∴∠A为钝角，△ABC为钝角三角形．
5．若向量a＝(x＋1,2) 和向量b＝(1，－1)平行，则|a＋b|＝(　　)
A.eq \r(10) B.eq \f(\r(10),2)
C.eq \r(2) D.eq \f(\r(2),2)
答案：C
解析：由题意得，－(x＋1)－2×1＝0
得x＝－3.故a＋b＝(－1,1)．
∴|a＋b|＝eq \r(－12＋－12)＝eq \r(2)
6．如图，在等腰直角三角形AOB中，设eq \o(OA,\s\up6(→))＝a，eq \o(OB,\s\up6(→))＝b，OA＝OB＝1，C为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂线l，设P为垂线上任意一点，eq \o(OP,\s\up6(→))＝p，则p·(b－a)＝(　　)
INCLUDEPICTURE"中1.tif"
A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2)
C．－eq \f(3,2) D.eq \f(3,2)
答案：A
解析：因为在等腰直角三角形AOB中，eq \o(OA,\s\up6(→))＝a，eq \o(OB,\s\up6(→))＝b，OA＝OB＝1，所以|a|＝|b|＝1，a·b＝0.
由题意，可设eq \o(OP,\s\up6(→))＝－eq \f(1,4)(b－a)＋λ·eq \f(1,2)(b＋a)，λ∈R，
所以p·(b－a)
＝－eq \f(1,4)(b－a)·(b－a)＋eq \f(λ,2)(b＋a)·(b－a)
＝－eq \f(1,4)(b－a)2＋eq \f(λ,2)(|b|2－|a|2)
＝－eq \f(1,4)(|a|2＋|b|2－2a·b)
＝－eq \f(1,4)(1＋1－0)
＝－eq \f(1,2).
二、填空题
7．已知a＝(1,2)，b＝(x,4)，且a·b＝10，则|a－b|＝________.
答案：eq \r(5)
解析：由题意，得a·b＝x＋8＝10，∴x＝2，∴a－b＝(－1，－2)，∴|a－b|＝eq \r(5).
8．已知点A(4,0)，B(0,3)，OC⊥AB于点C，O为坐标原点，则eq \o(OA,\s\up6(→))·eq \o(OC,\s\up6(→))＝________.
答案：eq \f(144,25)
解析：设点C的坐标为(x，y)，因为OC⊥AB于点C，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\o(OC,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))＝0,\o(AC,\s\up6(→))∥\o(AB,\s\up6(→))))，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x，y·－4，3＝－4x＋3y＝0,3x＋4y－12＝0))，
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(36,25),y＝\f(48,25)))，∴eq \o(OA,\s\up6(→))·eq \o(OC,\s\up6(→))＝4x＝eq \f(144,25).
9．若平面向量a＝(log2x，－1)，b＝(log2x,2＋log2x)，则满足a·b<0的实数x的取值集合为________．
答案：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,2)解析：由题意可得(log2x)2－log2x－2<0⇒(log2x＋1)(log2x－2)<0，所以－1三、解答题
10．已知O为坐标原点，eq \o(OA,\s\up6(→))＝(2,5)，eq \o(OB,\s\up6(→))＝(3,1)，eq \o(OC,\s\up6(→))＝(6,3)，则在线段OC上是否存在点M，使得eq \o(MA,\s\up6(→))⊥eq \o(MB,\s\up6(→))？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：假设存在点M，且eq \o(OM,\s\up6(→))＝λeq \o(OC,\s\up6(→))＝(6λ，3λ)(0≤λ≤1)，
∴eq \o(MA,\s\up6(→))＝(2－6λ，5－3λ)，eq \o(MB,\s\up6(→))＝(3－6λ，1－3λ)．
∵eq \o(MA,\s\up6(→))⊥eq \o(MB,\s\up6(→))，
∴(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0，
即45λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝eq \f(1,3)或λ＝eq \f(11,15).
∴eq \o(OM,\s\up6(→))＝(2,1)或eq \o(OM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(22,5)，\f(11,5))).
∴存在M(2,1)或Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(22,5)，\f(11,5)))满足题意．
11．已知平面向量a＝(sinα，1)，b＝(1，cosα)，－eq \f(π,2)<α(1)若a⊥b，求α；
(2)求|a＋b|的最大值．
解：(1)由已知，得a·b＝0，
即sinα＋cosα＝0，∴tanα＝－1.
∵－eq \f(π,2)<α(2)由已知得|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝sin2α＋1＋cos2α＋1＋2(sinα＋cosα)＝3＋2eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))).
∵－eq \f(π,2)<α∴－eq \f(π,4)<α＋eq \f(π,4)即|a＋b|的最大值为1＋eq \r(2).
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　　能力提升
12．若a＝(1,0)，b＝(cosθ，sinθ)，θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，则|a＋b|的取值范围是(　　)
A．[0，eq \r(2)] B．[0，eq \r(2))
C．[1,2] D．[eq \r(2)，2]
答案：D
解析：|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
＝2＋2cosθ＝2(1＋cosθ)
∵θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴cosθ∈[0,1]．
∴2≤2(1＋cosθ)≤4.
∴eq \r(2)≤|a＋b|≤2.
13．已知a＝(eq \r(3)，－1)，b＝(eq \f(1,2)，eq \f(\r(3),2))，且存在实数k和t，使得x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求eq \f(k＋t2,t)的最小值．
解：由题知，|a|＝2，|b|＝1，
a·b＝eq \r(3)×eq \f(1,2)－1×eq \f(\r(3),2)＝0，∴a⊥b.
由x⊥y得，[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝0，
即－ka2＋(t3－3t)b2＋(t－t2k＋3k)a·b＝0，
∴－k|a|2＋(t3－3t)b2＝0.
∵|a|＝2，|b|＝1，∴k＝eq \f(t3－3t,4).
∴eq \f(k＋t2,t)＝eq \f(1,4)(t2＋4t－3)＝eq \f(1,4)(t＋2)2－eq \f(7,4).
即当t＝－2时，eq \f(k＋t2,t)有最小值－eq \f(7,4).