高中数学人教A版选修2-1 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2第1课时 Word版含答案.doc
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高中数学人教A版选修2-1 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2第1课时 Word版含答案.doc
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(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(2016·人大附中月考)焦点在x轴上，短轴长为8，离心率为eq \f(3,5)的椭圆的标准方程是( )
A.eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,36)＝1 B.eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,64)＝1
C.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1 D.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1
【解析】 由题意知2b＝8，得b＝4，所以b2＝a2－c2＝16，又e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3,5)，解得c＝3，a＝5，又焦点在x轴上，故椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1，故选C.
【答案】 C
2．椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为( )
A.eq \f(1,2)B.eq \f(1,3)
C.eq \f(1,4) D.eq \f(\r(2),2)
【解析】 由题意知a＝2c，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(c,2c)＝eq \f(1,2).
【答案】 A
3．曲线eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1与eq \f(x2,9－k)＋eq \f(y2,25－k)＝1(0A．有相等的焦距，相同的焦点
B．有相等的焦距，不同的焦点
C．有不等的焦距，不同的焦点
D．以上都不对
【解析】 曲线eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1的焦距为2c＝8，而曲线eq \f(x2,9－k)＋eq \f(y2,25－k)＝1(0＜k＜9)表示的椭圆的焦距也是8，但由于焦点所在的坐标轴不同，故选B.
【答案】 B
4．已知O是坐标原点，F是椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的一个焦点，过F且与x轴垂直的直线与椭圆交于M，N两点，则cos∠MON的值为( )
A.eq \f(5,13)B．－eq \f(5,13)
C.eq \f(2\r(13),13)D．－eq \f(2\r(13),13)
【解析】 由题意，a2＝4，b2＝3，
故c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(4－3)＝1.
不妨设M(1，y0)，N(1，－y0)，所以eq \f(12,4)＋eq \f(yeq \o\al(2,0),3)＝1，
解得y0＝±eq \f(3,2)，
所以|MN|＝3，|OM|＝|ON|＝eq \r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(2))＝eq \f(\r(13),2).
由余弦定理知cos∠MON＝eq \f(|OM|2＋|ON|2－|MN|2,2|OM||ON|)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(13),2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(13),2)))\s\up12(2)－32,2×\f(\r(13),2)×\f(\r(13),2))＝－eq \f(5,13).
【答案】 B
5．如图224，直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为( )
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图224
A.eq \f(1,5)B.eq \f(2,5)
C.eq \f(\r(5),5) D.eq \f(2\r(5),5)
【答案】 D
二、填空题
6．已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A，B为焦点，且过C、D的椭圆的离心率为________. 【导学号：18490048】
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【解析】 如图，AB＝2c＝4，∵点C在椭圆上，∴CB＋CA＝2a＝3＋5＝8，∴e＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(4,8)＝eq \f(1,2).
【答案】 eq \f(1,2)
7．设AB是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1的不垂直于对称轴的弦，M为AB的中点，O为坐标原点，则kAB·kOM＝________．
【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则中点坐标Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))，得kAB＝eq \f(y2－y1,x2－x1)，
kOM＝eq \f(y2＋y1,x2＋x1)，kAB·kOM＝eq \f(yeq \o\al(2,2)－yeq \o\al(2,1),xeq \o\al(2,2)－xeq \o\al(2,1))，
b2xeq \o\al(2,1)＋a2yeq \o\al(2,1)＝a2b2，b2xeq \o\al(2,2)＋a2yeq \o\al(2,2)＝a2b2，
得b2(xeq \o\al(2,2)－xeq \o\al(2,1))＋a2(yeq \o\al(2,2)－yeq \o\al(2,1))＝0，即eq \f(yeq \o\al(2,2)－yeq \o\al(2,1),xeq \o\al(2,2)－xeq \o\al(2,1))＝－eq \f(b2,a2).
【答案】 －eq \f(b2,a2)
8．已知P(m，n)是椭圆x2＋eq \f(y2,2)＝1上的一个动点，则m2＋n2的取值范围是________．
【解析】 因为P(m，n)是椭圆x2＋eq \f(y2,2)＝1上的一个动点，所以m2＋eq \f(n2,2)＝1，即n2＝2－2m2，所以m2＋n2＝2－m2，又－1≤m≤1，所以1≤2－m2≤2，所以1≤m2＋n2≤2.
【答案】 [1，2]
三、解答题
9．(1)求与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1有相同的焦点，且离心率为eq \f(\r(5),5)的椭圆的标准方程；
(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6，0)，(6，0)，求焦点在x轴上的椭圆的标准方程．
【解】 (1)∵c＝eq \r(9－4)＝eq \r(5)，
∴所求椭圆的焦点为(－eq \r(5)，0)，(eq \r(5)，0)．
设所求椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．
∵e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),5)，c＝eq \r(5)，
∴a＝5，b2＝a2－c2＝20，
∴所求椭圆的方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,20)＝1.
(2)因为椭圆的焦点在x轴上，
所以设它的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，
∵2c＝8，∴c＝4，
又a＝6，∴b2＝a2－c2＝20.
∴椭圆的方程为eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1.
10．设椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)与x轴交于点A，以OA为边作等腰三角形OAP，其顶点P在椭圆上，且∠OPA＝120°，求椭圆的离心率．
【解】 不妨设A(a，0)，点P在第一象限内，由题意知，点P的横坐标是eq \f(a,2)，设Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，y))，由点P在椭圆上，得eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))\s\up12(2),a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，y2＝eq \f(3,4)b2，即Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(\r(3),2)b))，又∠OPA＝120°，所以∠POA＝30°，故tan∠POA＝eq \f(\f(\r(3),2)b,\f(a,2))＝eq \f(\r(3),3)，所以a＝3b，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(a2－b2),a)＝eq \f(\r(（3b）2－b2),3b)＝eq \f(2\r(2),3).
[能力提升]
1．(2016·福州高二期末)设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )
A.eq \f(\r(2),2)B.eq \r(2)－1
C．2－eq \r(2) D.eq \f(\r(2)－1,2)
【解析】 设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
由题意得|PF2|＝eq \f(b2,a)＝2c，
即eq \f(a2－c2,a)＝2c，
得离心率e＝eq \r(2)－1，故选B.
【答案】 B
2．“m＝3”是“椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,m)＝1的离心率为eq \f(1,2)”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,m)＝1的离心率为eq \f(1,2)，
当0当m>4时，eq \f(\r(m－4),\r(m))＝eq \f(1,2)，得m＝eq \f(16,3)，
即“m＝3”是“椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,m)＝1的离心率为eq \f(1,2)”的充分不必要条件．
【答案】 A
3．(2016·济南历城高二期末)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若eq \o(AP,\s\up6(→))＝2eq \o(PB,\s\up6(→))，则椭圆的离心率是________．
【解析】 由eq \o(AP,\s\up6(→))＝2eq \o(PB,\s\up6(→))，得|AO|＝2|FO|(O为坐标原点)，即a＝2c，
则离心率e＝eq \f(1,2).
【答案】 eq \f(1,2)
4．已知点A，B分别是椭圆eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1的左、右顶点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.
(1)求点P的坐标； 【导学号：18490049】
(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，且M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．
【解】 (1)由已知可得A(－6，0)，B(6，0)，F(4，0)，
设点P的坐标是(x，y)，
则eq \o(AP,\s\up6(→))＝(x＋6，y)，eq \o(FP,\s\up6(→))＝(x－4，y)．
由已知得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,36)＋\f(y2,20)＝1，,（x＋6）（x－4）＋y2＝0，))
则2x2＋9x－18＝0，解得x＝eq \f(3,2)或x＝－6.
由于y>0，所以只能取x＝eq \f(3,2)，于是y＝eq \f(5,2)eq \r(3).
所以点P的坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(5,2)\r(3))).
(2)直线AP的方程是x－eq \r(3)y＋6＝0.
设点M的坐标是(m，0)，
则M到直线AP的距离是eq \f(|m＋6|,2)，又B(6，0)，
于是eq \f(|m＋6|,2)＝|m－6|，
又－6≤m≤6，解得m＝2，
设椭圆上的点(x，y)到点M的距离为d，有
d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－eq \f(5,9)x2
＝eq \f(4,9)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(9,2)))eq \s\up12(2)＋15，
由于－6≤x≤6，所以当x＝eq \f(9,2)时，d取最小值为eq \r(15).
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(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(2016·人大附中月考)焦点在x轴上，短轴长为8，离心率为eq \f(3,5)的椭圆的标准方程是( )
A.eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,36)＝1 B.eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,64)＝1
C.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1 D.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1
【解析】 由题意知2b＝8，得b＝4，所以b2＝a2－c2＝16，又e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3,5)，解得c＝3，a＝5，又焦点在x轴上，故椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1，故选C.
【答案】 C
2．椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为( )
A.eq \f(1,2)B.eq \f(1,3)
C.eq \f(1,4) D.eq \f(\r(2),2)
【解析】 由题意知a＝2c，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(c,2c)＝eq \f(1,2).
【答案】 A
3．曲线eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1与eq \f(x2,9－k)＋eq \f(y2,25－k)＝1(0
B．有相等的焦距，不同的焦点
C．有不等的焦距，不同的焦点
D．以上都不对
【解析】 曲线eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1的焦距为2c＝8，而曲线eq \f(x2,9－k)＋eq \f(y2,25－k)＝1(0＜k＜9)表示的椭圆的焦距也是8，但由于焦点所在的坐标轴不同，故选B.
【答案】 B
4．已知O是坐标原点，F是椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的一个焦点，过F且与x轴垂直的直线与椭圆交于M，N两点，则cos∠MON的值为( )
A.eq \f(5,13)B．－eq \f(5,13)
C.eq \f(2\r(13),13)D．－eq \f(2\r(13),13)
【解析】 由题意，a2＝4，b2＝3，
故c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(4－3)＝1.
不妨设M(1，y0)，N(1，－y0)，所以eq \f(12,4)＋eq \f(yeq \o\al(2,0),3)＝1，
解得y0＝±eq \f(3,2)，
所以|MN|＝3，|OM|＝|ON|＝eq \r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(2))＝eq \f(\r(13),2).
由余弦定理知cos∠MON＝eq \f(|OM|2＋|ON|2－|MN|2,2|OM||ON|)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(13),2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(13),2)))\s\up12(2)－32,2×\f(\r(13),2)×\f(\r(13),2))＝－eq \f(5,13).
【答案】 B
5．如图224，直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为( )
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图224
A.eq \f(1,5)B.eq \f(2,5)
C.eq \f(\r(5),5) D.eq \f(2\r(5),5)
【答案】 D
二、填空题
6．已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A，B为焦点，且过C、D的椭圆的离心率为________. 【导学号：18490048】
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【解析】 如图，AB＝2c＝4，∵点C在椭圆上，∴CB＋CA＝2a＝3＋5＝8，∴e＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(4,8)＝eq \f(1,2).
【答案】 eq \f(1,2)
7．设AB是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1的不垂直于对称轴的弦，M为AB的中点，O为坐标原点，则kAB·kOM＝________．
【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则中点坐标Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))，得kAB＝eq \f(y2－y1,x2－x1)，
kOM＝eq \f(y2＋y1,x2＋x1)，kAB·kOM＝eq \f(yeq \o\al(2,2)－yeq \o\al(2,1),xeq \o\al(2,2)－xeq \o\al(2,1))，
b2xeq \o\al(2,1)＋a2yeq \o\al(2,1)＝a2b2，b2xeq \o\al(2,2)＋a2yeq \o\al(2,2)＝a2b2，
得b2(xeq \o\al(2,2)－xeq \o\al(2,1))＋a2(yeq \o\al(2,2)－yeq \o\al(2,1))＝0，即eq \f(yeq \o\al(2,2)－yeq \o\al(2,1),xeq \o\al(2,2)－xeq \o\al(2,1))＝－eq \f(b2,a2).
【答案】 －eq \f(b2,a2)
8．已知P(m，n)是椭圆x2＋eq \f(y2,2)＝1上的一个动点，则m2＋n2的取值范围是________．
【解析】 因为P(m，n)是椭圆x2＋eq \f(y2,2)＝1上的一个动点，所以m2＋eq \f(n2,2)＝1，即n2＝2－2m2，所以m2＋n2＝2－m2，又－1≤m≤1，所以1≤2－m2≤2，所以1≤m2＋n2≤2.
【答案】 [1，2]
三、解答题
9．(1)求与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1有相同的焦点，且离心率为eq \f(\r(5),5)的椭圆的标准方程；
(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6，0)，(6，0)，求焦点在x轴上的椭圆的标准方程．
【解】 (1)∵c＝eq \r(9－4)＝eq \r(5)，
∴所求椭圆的焦点为(－eq \r(5)，0)，(eq \r(5)，0)．
设所求椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．
∵e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),5)，c＝eq \r(5)，
∴a＝5，b2＝a2－c2＝20，
∴所求椭圆的方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,20)＝1.
(2)因为椭圆的焦点在x轴上，
所以设它的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，
∵2c＝8，∴c＝4，
又a＝6，∴b2＝a2－c2＝20.
∴椭圆的方程为eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1.
10．设椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)与x轴交于点A，以OA为边作等腰三角形OAP，其顶点P在椭圆上，且∠OPA＝120°，求椭圆的离心率．
【解】 不妨设A(a，0)，点P在第一象限内，由题意知，点P的横坐标是eq \f(a,2)，设Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，y))，由点P在椭圆上，得eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))\s\up12(2),a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，y2＝eq \f(3,4)b2，即Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(\r(3),2)b))，又∠OPA＝120°，所以∠POA＝30°，故tan∠POA＝eq \f(\f(\r(3),2)b,\f(a,2))＝eq \f(\r(3),3)，所以a＝3b，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(a2－b2),a)＝eq \f(\r(（3b）2－b2),3b)＝eq \f(2\r(2),3).
[能力提升]
1．(2016·福州高二期末)设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )
A.eq \f(\r(2),2)B.eq \r(2)－1
C．2－eq \r(2) D.eq \f(\r(2)－1,2)
【解析】 设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
由题意得|PF2|＝eq \f(b2,a)＝2c，
即eq \f(a2－c2,a)＝2c，
得离心率e＝eq \r(2)－1，故选B.
【答案】 B
2．“m＝3”是“椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,m)＝1的离心率为eq \f(1,2)”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,m)＝1的离心率为eq \f(1,2)，
当0
即“m＝3”是“椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,m)＝1的离心率为eq \f(1,2)”的充分不必要条件．
【答案】 A
3．(2016·济南历城高二期末)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若eq \o(AP,\s\up6(→))＝2eq \o(PB,\s\up6(→))，则椭圆的离心率是________．
【解析】 由eq \o(AP,\s\up6(→))＝2eq \o(PB,\s\up6(→))，得|AO|＝2|FO|(O为坐标原点)，即a＝2c，
则离心率e＝eq \f(1,2).
【答案】 eq \f(1,2)
4．已知点A，B分别是椭圆eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1的左、右顶点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.
(1)求点P的坐标； 【导学号：18490049】
(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，且M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．
【解】 (1)由已知可得A(－6，0)，B(6，0)，F(4，0)，
设点P的坐标是(x，y)，
则eq \o(AP,\s\up6(→))＝(x＋6，y)，eq \o(FP,\s\up6(→))＝(x－4，y)．
由已知得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,36)＋\f(y2,20)＝1，,（x＋6）（x－4）＋y2＝0，))
则2x2＋9x－18＝0，解得x＝eq \f(3,2)或x＝－6.
由于y>0，所以只能取x＝eq \f(3,2)，于是y＝eq \f(5,2)eq \r(3).
所以点P的坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(5,2)\r(3))).
(2)直线AP的方程是x－eq \r(3)y＋6＝0.
设点M的坐标是(m，0)，
则M到直线AP的距离是eq \f(|m＋6|,2)，又B(6，0)，
于是eq \f(|m＋6|,2)＝|m－6|，
又－6≤m≤6，解得m＝2，
设椭圆上的点(x，y)到点M的距离为d，有
d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－eq \f(5,9)x2
＝eq \f(4,9)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(9,2)))eq \s\up12(2)＋15，
由于－6≤x≤6，所以当x＝eq \f(9,2)时，d取最小值为eq \r(15).