高中数学人教A版选修1-2课时跟踪检测（一）　回归分析的基本思想及其初步应用 Word版含解析.doc

高中数学人教A版选修1-2课时跟踪检测（一）　回归分析的基本思想及其初步应用 Word版含解析.doc
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课时跟踪检测(一)　 回归分析的基本思想及其初步应用
一、选择题
1．(重庆高考)已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数eq \o(x,\s\up6(－))＝3，eq \o(y,\s\up6(－))＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能为(　　)
A.eq \o(y,\s\up6(^))＝0.4x＋2.3 B.eq \o(y,\s\up6(^))＝2x－2.4
C.eq \o(y,\s\up6(^))＝－2x＋9.5 D.eq \o(y,\s\up6(^))＝－0.3x＋4.4
解析：选A　依题意知，相应的回归直线的斜率应为正，排除C、D.且直线必过点(3,3.5)，代入A、B得A正确．
2．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的相关指数R2分别如下表：
甲乙丙丁R20.980.780.500.85
建立的回归模型拟合效果最好的同学是(　　)
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
解析：选A　相关指数R2越大，表示回归模型拟合效果越好．
3．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系．根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝0.85x－85.71.则下列结论中不正确的是(　　)
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心(eq \o(x,\s\up6(－))，eq \o(y,\s\up6(－)))
C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg
D．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg
解析：选D　回归方程中x的系数为0.85＞0，因此y与x具有正的线性相关关系，A正确；
由回归方程系数的意义可知回归直线过样本点的中心(eq \o(x,\s\up6(－))，eq \o(y,\s\up6(－)))，B正确；
依据回归方程中eq \o(b,\s\up6(^))的含义可知，x每变化1个单位，eq \o(y,\s\up6(^))相应变化约0.85个单位，C正确；
用回归方程对总体进行估计不能得到肯定结论，故D不正确．
4．甲、乙、丙、丁4位同学各自对A，B两变量做回归分析，分别得到散点图与残差平方和eq \i\su(i＝1,n, )(yi－eq \o(y,\s\up6(^))i)2，如下表：
甲乙丙丁散点图 INCLUDEPICTURE "15XTRAX1-2-2.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "15XTRAX1-2-3.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "15XTRAX1-2-4.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "15XTRAX1-2-5.TIF" \* MERGEFORMAT 残差平方和115106124103
哪位同学的试验结果体现拟合A，B两变量关系的模型拟合精度高？(　　)
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
解析：选D　从题中的散点图上来看，丁同学的散点图中的点更加近似在一条直线附近；从残差平方和来看，丁同学的最小，说明拟合精度最高．
5．(福建高考)已知x与y之间的几组数据如下表：
x123456 y021334假设根据上表数据所得线性回归直线方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝eq \o(b,\s\up6(^))x＋eq \o(a,\s\up6(^))，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是(　　)
A.eq \o(b,\s\up6(^))>b′，eq \o(a,\s\up6(^))>a′ B.eq \o(b,\s\up6(^))>b′，eq \o(a,\s\up6(^))C.eq \o(b,\s\up6(^))a′ D.eq \o(b,\s\up6(^))解析：选C　由两组数据(1,0)和(2,2)可求得直线方程为y＝2x－2，b′＝2，a′＝－2.
而利用线性回归方程的公式与已知表格中的数据，
可求得eq \o(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,6,x)iyi－6\o(x,\s\up6(－)) \o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,6,x)\o\al(2,i)－6\o(x,\s\up6(－))2)
＝eq \f(58－6×\f(7,2)×\f(13,6),91－6×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))2)＝eq \f(5,7)，
eq \o(a,\s\up6(^))＝eq \o(y,\s\up6(－))－eq \o(b,\s\up6(^))eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(13,6)－eq \f(5,7)×eq \f(7,2)＝－eq \f(1,3)，
所以eq \o(b,\s\up6(^))a′.
二、填空题
6．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝eq \f(1,2)x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为_________．
解析：根据样本相关系数的定义可知，当所有样本点都在直线上时，相关系数为1.
答案：1
7．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下表：
父亲身高x(cm)174176176176178儿子身高y(cm)175175176177177
则y对x的线性回归方程为________________．
解析：设y对x的线性回归方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝eq \o(b,\s\up6(^))x＋eq \o(a,\s\up6(^))，
由表中数据得eq \o(x,\s\up6(－))＝176，eq \o(y,\s\up6(－))＝176，eq \o(b,\s\up6(^))＝eq \f(1,2)，
eq \o(a,\s\up6(^))＝176－eq \f(1,2)×176＝88，
所以y对x的线性回归方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝eq \f(1,2)x＋88.
答案：eq \o(y,\s\up6(^))＝eq \f(1,2)x＋88
8．关于x与y有如下数据：
x24568y3040605070
为了对x，y两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型：甲：eq \o(y,\s\up6(^))＝6.5x＋17.5，乙：eq \o(y,\s\up6(^))＝7x＋17，则____________(填“甲”或“乙”)模型拟合的效果更好．
解析：设甲模型的相关指数为Req \o\al(2,1)，
则Req \o\al(2,1)＝1－eq \f(\i\su(i＝1,5, )yi－\o(y,\s\up6(^))i2,\i\su(i＝1,5, )yi－\o(y,\s\up6(－))2)＝1－eq \f(155,1 000)＝0.845；
设乙模型的相关指数为Req \o\al(2,2)，
则Req \o\al(2,2)＝1－eq \f(180,1 000)＝0.82.
因为0.845＞0.82，即Req \o\al(2,1)＞Req \o\al(2,2)，
所以甲模型拟合效果更好．
答案：甲
三、解答题
9．(新课标全国卷Ⅱ)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：
年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9(1)求y关于t的线性回归方程；
(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为eq \o(b,\s\up6(^))＝eq \f(\a\vs4\al(\i\su(i＝1,n, )ti－\o(t,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－))),\a\vs4\al(\i\su(i＝1,n, )ti－\o(t,\s\up6(－))2))，eq \o(a,\s\up6(^))＝eq \o(y,\s\up6(－))－eq \o(b,\s\up6(^))eq \o(t,\s\up6(－)).
解：(1)由所给数据计算得
eq \o(t,\s\up6(－))＝eq \f(1,7)×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，
eq \o(y,\s\up6(－))＝eq \f(1,7)×(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，
eq \i\su(i＝1,7, )(ti－eq \o(t,\s\up6(－)))2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，
eq \i\su(i＝1,7, )(ti－eq \o(t,\s\up6(－)))(yi－eq \o(y,\s\up6(－)))＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，
eq \o(b,\s\up6(^))＝eq \f(\a\vs4\al(\i\su(i＝1,7, )ti－\o(t,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－))),\a\vs4\al(\i\su(i＝1,7, )ti－\o(t,\s\up6(－))2))＝eq \f(14,28)＝0.5，
eq \o(a,\s\up6(^))＝eq \o(y,\s\up6(－))－eq \o(b,\s\up6(^))eq \o(t,\s\up6(－))＝4.3－0.5×4＝2.3，
所求回归方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝0.5t＋2.3.
(2)由(1)知，eq \o(b,\s\up6(^))＝0.5>0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．
将2015年的年份代号t＝9代入(1)中的回归方程，得eq \o(y,\s\up6(^))＝0.5×9＋2.3＝6.8，
故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．
INCLUDEPICTURE "能力提升.TIF" \* MERGEFORMAT
10．在一段时间内，某种商品的价格x(元)和需求量y(件)之间的一组数据如下表：
价格x/元1416182022需求量y/件5650434137
求出y关于x的线性回归方程，并说明拟合效果的好坏．(参考数据：eq \o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xeq \o\al(2,i)＝1 660，eq \o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xiyi＝3 992)
解：从作出的散点图(图略)可看出，这些点在一条直线附近，可用线性回归模型来拟合数据．
由数据可得eq \o(x,\s\up6(－))＝18，eq \o(y,\s\up6(－))＝45.4.
由计算公式得eq \o(b,\s\up6(^))＝－2.35，eq \o(a,\s\up6(^))＝eq \o(y,\s\up6(－))－eq \o(b,\s\up6(^))eq \o(x,\s\up6(－))＝87.7.
故y关于x的线性回归方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝－2.35x＋87.7.
列表：
yi－eq \o(y,\s\up6(^))i1.2－0.1－2.40.31yi－eq \o(y,\s\up6(－))10.64.6－2.4－4.4－8.4所以eq \o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1)) (yi－eq \o(y,\s\up6(^))i)2＝8.3，eq \o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1)) (yi－eq \o(y,\s\up6(－)))2＝229.2.
相关指数R2＝1－eq \f(\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1)) yi－\o(y,\s\up6(^))i2,\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1)) yi－\o(y,\s\up6(－))2)≈0.964.
因为0.964很接近于1，所以该模型的拟合效果好．