河北省衡水中学2016届高三（上）六调数学试卷（文科）（解析版）.doc
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河北省衡水中学2016届高三（上）六调数学试卷（文科）（解析版）.doc
2015-2016学年河北省衡水中学高三（上）六调数学试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0}，B={x|2＜x＜4}，那么集合CUA∩B=（ ）
A．{x|﹣1≤x≤4}B．{x|2＜x≤3}C．{x|2≤x＜3}D．{x|﹣1＜x＜4}
2．若复数z=1﹣i，i为虚数单位，则 SHAPE \* MERGEFORMAT =（ ）
A．﹣iB．iC．﹣1D．1
3．函数y=2cos2（x﹣ SHAPE \* MERGEFORMAT ）﹣1是（ ）
A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为 SHAPE \* MERGEFORMAT 的奇函数D．最小正周期为 SHAPE \* MERGEFORMAT 的偶函数
4．下列四个命题中真命题的个数是（ ）
①“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件
②命题“∀x∈R，sinx≤1”的否定是“∃x∈R，sinx＞1”
③命题p：∀x∈[1，+∞），lgx≥0，命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0，则p∨q为真命题．
A．0B．1C．2D．3
5．已知z=2x+y，其中实数x，y满足 SHAPE \* MERGEFORMAT ，且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是（ ）
A． SHAPE \* MERGEFORMAT B． SHAPE \* MERGEFORMAT C．4D． SHAPE \* MERGEFORMAT
6．在△ABC中，点D满足 SHAPE \* MERGEFORMAT ，点E是线段AD上的一个动点，若 SHAPE \* MERGEFORMAT ，则t=（λ﹣1）2+μ2的最小值是（ ）
A． SHAPE \* MERGEFORMAT B． SHAPE \* MERGEFORMAT C． SHAPE \* MERGEFORMAT D． SHAPE \* MERGEFORMAT
7．已知双曲线 SHAPE \* MERGEFORMAT 的右焦点为F，过F的直线l交双曲线的渐近线于A，B两点，且与其中一条渐近线垂直，若 SHAPE \* MERGEFORMAT ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． SHAPE \* MERGEFORMAT B． SHAPE \* MERGEFORMAT C． SHAPE \* MERGEFORMAT D． SHAPE \* MERGEFORMAT
8．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（ ）
SHAPE \* MERGEFORMAT
A． SHAPE \* MERGEFORMAT B． SHAPE \* MERGEFORMAT C． SHAPE \* MERGEFORMAT D． SHAPE \* MERGEFORMAT
9．设Sn是等比数列{an}的前n项的和，Sm﹣1=45，Sm=93，则Sm+1=189，则m=（ ）
A．6B．5C．4D．3
10．已知函数f（x）= SHAPE \* MERGEFORMAT ，若存在x1，x2，当0≤x1＜4≤x2≤6时，f（x1）=f（x2），则x1•f（x2）的取值范围是（ ）
A．[0，1）B．[1，4]C．[1，6]D．[0，1]∪[3，8]
11．已知F1，F2是椭圆C： SHAPE \* MERGEFORMAT + SHAPE \* MERGEFORMAT =1的左右焦点，点P在椭圆上，且到左焦点F1的距离为6，过F1做∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足为M，则OM的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
12．关于曲线C： SHAPE \* MERGEFORMAT ，给出下列四个命题：
A．曲线C关于原点对称 B．曲线C有且只有两条对称轴
C．曲线C的周长l满足 SHAPE \* MERGEFORMAT D．曲线C上的点到原点的距离的最小值为 SHAPE \* MERGEFORMAT
上述命题中，真命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．某单位共有老、中、青职工430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为 ．
14．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为 SHAPE \* MERGEFORMAT 的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若 SHAPE \* MERGEFORMAT ，则p= ．
15．已知直线x+y+1=0与曲线C：y=x3﹣3px2相交于点A，B，且曲线C在A，B处的切线平行，则实数p的值为 ．
16．半径为1的球的内部有4个大小相同的半径为r的小球，则小球半径r可能的最大值为 ．
三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17．等比数列{an}的前n项和为S„，已知S1，S3，S2，成等差数列．
（1）求{an}的公比q；
（2）等差数列{bn}中，b5=9，公差d=4q，求数列{bn}的前n项和Tn的最大值．
18．山东省第二十三届运动会将于2014年9月16日在济宁市开幕，为办好省运会，济宁市计划招募各类志愿者1.2万人．为做好宣传工作，招募小组对济宁市15﹣40岁的人群随机抽取了100人，回答“省运会”的有关知识，根据统计结果制作了如下的统计图及表：
组号按年龄分组回答完全正确人数回答完全正确人数占本组频率1[15，20）50.52[20，25）a0.93[25，30）27x4[30，35）90.365[35，40）30.2（Ⅰ）分别求出表2中的a、x的值；
（Ⅱ）若在第2、3、4组回答完全正确的人中，用分层抽样的方法抽取6人，则各组应分别抽取多少人？
（Ⅲ）在（II）的前提下，招募小组决定在所抽取的6人中，随机抽取2人颁发幸运奖，求获奖的2人均来自第3组的概率．
SHAPE \* MERGEFORMAT
19．如图，四边形ABCD为矩形，DA⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，BF⊥平面ACE于点F，且点F在CE上．
（Ⅰ）求证：AE⊥BE；
（Ⅱ）求三棱锥D﹣AEC的体积．
SHAPE \* MERGEFORMAT
20．已知直线2x﹣2y﹣1=0与抛物线C：x2=2py（p＞0）相切．
（1）求p的值；
（2）过点M（0，1）作直线l与抛物线C交于A，B两点，抛物线C在A，B两点处的切线分别为l1，l2，直线l1，l2交于点P，求点P的轨迹方程．
21．已知函数f（x）=（x2﹣2x）•lnx+ax2+2
（Ⅰ）当a=﹣1时，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）设函数g（x）=f（x）﹣x﹣2；
（i）若函数g（x）有且仅有一个零点时，求a的值；
（ii）在（i）的条件下，若e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，求m的取值范围．
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，那么按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲
22．已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1．
（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；
（Ⅱ）求BC的长．
SHAPE \* MERGEFORMAT
选修4-4：坐标系与参数方程
23．在平面直角坐标系xOy中，已知C1： SHAPE \* MERGEFORMAT （θ为参数），将C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 SHAPE \* MERGEFORMAT 和2倍后得到曲线C2以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（ SHAPE \* MERGEFORMAT cosθ+sinθ）=4
（1）试写出曲线C1的极坐标方程与曲线C2的参数方程；
（2）在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最小，并求此最小值．
选修4-5：不等式选讲
24．已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m．
（Ⅰ）若关于x的不等式g（x）≥0的解集为{x|﹣5≤x≤﹣1}，求实数m的值；
（Ⅱ）若f（x）＞g（x）对于任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围．
2015-2016学年河北省衡水中学高三（上）六调数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0}，B={x|2＜x＜4}，那么集合CUA∩B=（ ）
A．{x|﹣1≤x≤4}B．{x|2＜x≤3}C．{x|2≤x＜3}D．{x|﹣1＜x＜4}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】分析可得，A、B都是不等式的解集，由不等式的解法，容易解得A、B，进而可得CUA，对其求交集可得答案．
【解答】解：由不等式的解法，
容易解得A={x|x＞3或x＜﹣1}，B={x|2＜x＜4}．
则CUA={x|﹣1≤x≤3}，
于是（CUA）∩B={x|2＜x≤3}，
故选B．
2．若复数z=1﹣i，i为虚数单位，则 SHAPE \* MERGEFORMAT =（ ）
A．﹣iB．iC．﹣1D．1
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．
【解答】解： SHAPE \* MERGEFORMAT = SHAPE \* MERGEFORMAT = SHAPE \* MERGEFORMAT = SHAPE \* MERGEFORMAT = SHAPE \* MERGEFORMAT =i，
故选：B．
3．函数y=2cos2（x﹣ SHAPE \* MERGEFORMAT ）﹣1是（ ）
A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为 SHAPE \* MERGEFORMAT 的奇函数D．最小正周期为 SHAPE \* MERGEFORMAT 的偶函数
【考点】三角函数的周期性及其求法；函数奇偶性的判断．
【分析】利用二倍角公式化简为一个角的一个三角函数的形式，求出周期，判定奇偶性．
【解答】解：由y=2cos2（x﹣ SHAPE \* MERGEFORMAT ）﹣1=cos（2x﹣ SHAPE \* MERGEFORMAT ）=sin2x，
∴T=π，且y=sin2x奇函数，即函数y=2cos2（x﹣ SHAPE \* MERGEFORMAT ）﹣1是奇函数．
故选A．
4．下列四个命题中真命题的个数是（ ）
①“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件
②命题“∀x∈R，sinx≤1”的否定是“∃x∈R，sinx＞1”
③命题p：∀x∈[1，+∞），lgx≥0，命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0，则p∨q为真命题．
A．0B．1C．2D．3
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】①利用充分、必要条件的概念验证即可．
②利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．
③对命题p，q的真假分别进行判断即可．
【解答】解：对于①：当x=1成立时有12﹣3×1+2=0即x2﹣3x+2=0成立，当x2﹣3x+2=0成立时有x=1或x=2不一定有x=1成立．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件．故①正确．
对于②：命题“∀x∈R，sinx≤1”的否定是“∃x∈R，sinx＞1”故②正确．
对于③命题p：∀x∈[1，+∞），lgx≥0，正确，命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0错误，
因为x2+x+1=（x+ SHAPE \* MERGEFORMAT ）2+ SHAPE \* MERGEFORMAT ＞0恒成立，p∨q为真，故③正确．
故选D．
5．已知z=2x+y，其中实数x，y满足 SHAPE \* MERGEFORMAT ，且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是（ ）
A． SHAPE \* MERGEFORMAT B． SHAPE \* MERGEFORMAT C．4D． SHAPE \* MERGEFORMAT
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合目标函数z=2x+y的最大值是最小值的4倍，建立方程关系，即可得到结论．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=2x+y得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，
由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线的截距最大，
此时z最大，
由 SHAPE \* MERGEFORMAT ，解得： SHAPE \* MERGEFORMAT ，
即A（1，1），此时z=2×1+1=3，
当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线的截距最小，
此时z最小，
由 SHAPE \* MERGEFORMAT ，解得： SHAPE \* MERGEFORMAT ，
即B（a，a），此时z=2×a+a=3a，
∵目标函数z=2x+y的最大值是最小值的4倍，
∴3=4×3a，即a= SHAPE \* MERGEFORMAT ，
故选：B．
SHAPE \* MERGEFORMAT
6．在△ABC中，点D满足 SHAPE \* MERGEFORMAT ，点E是线段AD上的一个动点，若 SHAPE \* MERGEFORMAT ，则t=（λ﹣1）2+μ2的最小值是（ ）
A． SHAPE \* MERGEFORMAT B． SHAPE \* MERGEFORMAT C． SHAPE \* MERGEFORMAT D． SHAPE \* MERGEFORMAT
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【分析】根据共线向量基本定理可得到存在实数k， SHAPE \* MERGEFORMAT ，0≤k≤1，然后根据已知条件及向量的加法、减法的几何意义即可得到 SHAPE \* MERGEFORMAT ，从而得到 SHAPE \* MERGEFORMAT ．代入t，进行配方即可求出t的最小值．
【解答】解：如图，
E在线段AD上，所以存在实数k使得 SHAPE \* MERGEFORMAT ；
SHAPE \* MERGEFORMAT ；
∴ SHAPE \* MERGEFORMAT = SHAPE \* MERGEFORMAT = SHAPE \* MERGEFORMAT ；
∴ SHAPE \* MERGEFORMAT ；
∴ SHAPE \* MERGEFORMAT = SHAPE \* MERGEFORMAT ；
∴ SHAPE \* MERGEFORMAT 时，t取最小值 SHAPE \* MERGEFORMAT ．
故选：C．
SHAPE \* MERGEFORMAT
7．已知双曲线 SHAPE \* MERGEFORMAT 的右焦点为F，过F的直线l交双曲线的渐近线于A，B两点，且与其中一条渐近线垂直，若 SHAPE \* MERGEFORMAT ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． SHAPE \* MERGEFORMAT B． SHAPE \* MERGEFORMAT C． SHAPE \* MERGEFORMAT D． SHAPE \* MERGEFORMAT
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OA的方程为y= SHAPE \* MERGEFORMAT x，则另一渐近线OB的方程为y=﹣ SHAPE \* MERGEFORMAT x，设A（m， SHAPE \* MERGEFORMAT ），B（n，﹣ SHAPE \* MERGEFORMAT ），由 SHAPE \* MERGEFORMAT 可得方程，解之可得m= SHAPE \* MERGEFORMAT ，n= SHAPE \* MERGEFORMAT ，可得B（ SHAPE \* MERGEFORMAT ， SHAPE \* MERGEFORMAT ），由FB⊥OB可得，斜率之积等于﹣1，进而可得ab的关系式，结合双曲线abc的关系，可得离心率．
【解答】解：由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OA的方程为y= SHAPE \* MERGEFORMAT x，则另一渐近线OB的方程为y=﹣ SHAPE \* MERGEFORMAT x，
设A（m， SHAPE \* MERGEFORMAT ），B（n，﹣ SHAPE \* MERGEFORMAT ），∵ SHAPE \* MERGEFORMAT ，∴（c﹣m，﹣ SHAPE \* MERGEFORMAT ）=4（n﹣c，﹣ SHAPE \* MERGEFORMAT ），
∴c﹣m=4（n﹣c），﹣ SHAPE \* MERGEFORMAT =﹣4 SHAPE \* MERGEFORMAT ，解之可得m= SHAPE \* MERGEFORMAT ，n= SHAPE \* MERGEFORMAT ，
∴B（ SHAPE \* MERGEFORMAT ， SHAPE \* MERGEFORMAT ），由FB⊥OB可得，斜率之积等于﹣1，
即 SHAPE \* MERGEFORMAT • SHAPE \* MERGEFORMAT =﹣1，化简可得5b2=3a2，即5（c2﹣a2）=3a2，
解之可得5c2=8a2，即e= SHAPE \* MERGEFORMAT = SHAPE \* MERGEFORMAT
故选D
8．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（ ）
SHAPE \* MERGEFORMAT
A． SHAPE \* MERGEFORMAT B． SHAPE \* MERGEFORMAT C． SHAPE \* MERGEFORMAT D． SHAPE \* MERGEFORMAT
【考点】异面直线及其所成的角．
【分析】根据长方体相对的平面上的两条对角线平行，得到两条异面直线所成的角，这个角在一个可以求出三边的三角形中，利用余弦定理得到结果．
【解答】解：连接BC1，A1C1，
则BC1∥AD1，
∴∠A1BC1是两条异面直线所成的角，
在直角△A1AB中，由AA1=2AB得到：A1B= SHAPE \* MERGEFORMAT AB．
在直角△BCC1中，CC1=AA1，BC=AB，则C1B= SHAPE \* MERGEFORMAT AB．
在直角△A1B1C1中A1C1= SHAPE \* MERGEFORMAT AB，
则cos∠A1BC1= SHAPE \* MERGEFORMAT = SHAPE \* MERGEFORMAT ．
故选：D．
SHAPE \* MERGEFORMAT
9．设Sn是等比数列{an}的前n项的和，Sm﹣1=45，Sm=93，则Sm+1=189，则m=（ ）
A．6B．5C．4D．3
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】由题意得 SHAPE \* MERGEFORMAT = SHAPE \* MERGEFORMAT = SHAPE \* MERGEFORMAT =2，再由Sm= SHAPE \* MERGEFORMAT =93解得a1=3，从而求m．
【解答】解：∵ SHAPE \* MERGEFORMAT = SHAPE \* MERGEFORMAT = SHAPE \* MERGEFORMAT =2，
∴Sm= SHAPE \* MERGEFORMAT = SHAPE \* MERGEFORMAT =93，
故a1=3，
故am=3•2m﹣1=48，
解得，m=5，
故选B．
10．已知函数f（x）= SHAPE \* MERGEFORMAT ，若存在x1，x2，当0≤x1＜4≤x2≤6时，f（x1）=f（x2），则x1•f（x2）的取值范围是（ ）
A．[0，1）B．[1，4]C．[1，6]D．[0，1]∪[3，8]
【考点】分段函数的应用．
【分析】根据已知将x1•f（x2）转化为x1f（x1），再根据函数y=xf（x）的性质求解．
【解答】解：当0≤x1＜4≤x2≤6时，因为f（x1）=f（x2），由f（x1）=f（x2）=1或f（x1）=f（x2）=2，得到x1的取值范围是[1，3]，
所以x1•f（x2）=x1•f（x1）=x1（1﹣|x1|﹣2）= SHAPE \* MERGEFORMAT ，即x1f（x2）的范围是[1，4]．
故选B．
11．已知F1，F2是椭圆C： SHAPE \* MERGEFORMAT + SHAPE \* MERGEFORMAT =1的左右焦点，点P在椭圆上，且到左焦点F1的距离为6，过F1做∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足为M，则OM的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】延长F1M和PF2交于N，求得椭圆的a=5，运用椭圆的定义和等腰三角形的三线合一，以及三角形的中位线定理，即可得到所求|OM|的值．
【解答】解：延长F1M和PF2交于N，
椭圆C： SHAPE \* MERGEFORMAT + SHAPE \* MERGEFORMAT =1的a=5，
由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=10，
由|PF1|=6，可得|PF2|=4，
由等腰三角形的三线合一，可得
|PF1|=|PN|=6，
可得|NF2|=6﹣4=2，
由OM为△F1F2N的中位线，
可得|OM|= SHAPE \* MERGEFORMAT |F2N|= SHAPE \* MERGEFORMAT ×2=1．
故选A．
SHAPE \* MERGEFORMAT
12．关于曲线C： SHAPE \* MERGEFORMAT ，给出下列四个命题：
A．曲线C关于原点对称 B．曲线C有且只有两条对称轴
C．曲线C的周长l满足 SHAPE \* MERGEFORMAT D．曲线C上的点到原点的距离的最小值为 SHAPE \* MERGEFORMAT
上述命题中，真命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点】曲线与方程．
【分析】利用曲线方程的特点结合曲线的图象分别进行判断即可．
【解答】解：把曲线C中的（x，y ）同时换成（﹣x，﹣y ），方程不变，∴曲线C关于原点对称，即A正确；
曲线方程为 SHAPE \* MERGEFORMAT ，交换x，y的位置后曲线方程不变，∴曲线C关于直线y=x对称，同理，y=﹣x，x，y轴是曲线的对称轴，即B不正确；
在第一象限内，因为点（ SHAPE \* MERGEFORMAT ， SHAPE \* MERGEFORMAT ）在曲线上，由图象可知曲线在直线y=﹣x+1的下方，且为凹函数如图：
由以上分析可知曲线C的周长l满足 SHAPE \* MERGEFORMAT ，正确．
曲线C上的点到原点的距离的最小值为（ SHAPE \* MERGEFORMAT ， SHAPE \* MERGEFORMAT ）到原点的距离，为 SHAPE \* MERGEFORMAT ，即D正确．
真命题有3个，故选：C．
SHAPE \* MERGEFORMAT
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．某单位共有老、中、青职工430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为 18 ．
【考点】分层抽样方法．
【分析】由题意确定老年职工的人数，再由青年职工确定抽样比，因为分层抽样，各层抽取比例一样，故可计算出样本中的老年职工人数．
【解答】解：青年职工160人，在抽取的样本中有青年职工32人，故抽取比例为 SHAPE \* MERGEFORMAT ，
老、中年职工共430﹣160=270人，又中年职工人数是老年职工人数的2倍，故老年职工有90人，
所以该样本中的老年职工人数为90× SHAPE \* MERGEFORMAT =18
故答案为：18
14．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为 SHAPE \* MERGEFORMAT 的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若 SHAPE \* MERGEFORMAT ，则p= 2 ．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】设直线AB的方程与抛物线方程联立消去y得3x2+（﹣6﹣2p）x+3=0，进而根据 SHAPE \* MERGEFORMAT ，可知M为A、B的中点，
可得p的关系式，解方程即可求得p．
【解答】解：设直线AB： SHAPE \* MERGEFORMAT ，代入y2=2px得3x2+（﹣6﹣2p）x+3=0，
又∵ SHAPE \* MERGEFORMAT ，即M为A、B的中点，
∴xB+（﹣ SHAPE \* MERGEFORMAT ）=2，即xB=2+ SHAPE \* MERGEFORMAT ，
得p2+4P﹣12=0，
解得p=2，p=﹣6（舍去）
故答案为：2
15．已知直线x+y+1=0与曲线C：y=x3﹣3px2相交于点A，B，且曲线C在A，B处的切线平行，则实数p的值为 1 ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求出原函数的导函数，设出A，B点的坐标，得到函数在A，B点处的导数值，由A，B点处的导数值相等得到 SHAPE \* MERGEFORMAT = SHAPE \* MERGEFORMAT =m，把x1，x2看作方程3x2﹣6px﹣m=0的两个根，利用根与系数关系得到x1+x2=2p，进一步得到AB的中点坐标，然后再证明AB的中点在曲线C上，最后由AB中点的纵坐标相等求得实数p的值．
【解答】解：由y=x3﹣3px2，得y′=3x2﹣6px，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则曲线C在A，B处的切线的斜率分别为 SHAPE \* MERGEFORMAT ，
∵曲线C在A，B处的切线平行，
∴ SHAPE \* MERGEFORMAT = SHAPE \* MERGEFORMAT ，
令 SHAPE \* MERGEFORMAT = SHAPE \* MERGEFORMAT =m，
∴x1，x2是方程3x2﹣6px﹣m=0的两个根，
则x1+x2=2p，
下面证线段AB的中点在曲线C上，
∵ SHAPE \* MERGEFORMAT = SHAPE \* MERGEFORMAT
= SHAPE \* MERGEFORMAT ，
而 SHAPE \* MERGEFORMAT =﹣2p3，
∴线段AB的中点在曲线C上，
由x1+x2=2p，知线段的中点为（p，﹣p﹣1），
∴﹣p﹣1=p3﹣3p•p2=﹣2p3，解得p=1．
故答案为：1．
16．半径为1的球的内部有4个大小相同的半径为r的小球，则小球半径r可能的最大值为 SHAPE \* MERGEFORMAT ﹣2 ．
【考点】球的体积和表面积．
【分析】由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大，以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为2r，该正四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心，求出正四面体的外接球半径，即可求得结论．
【解答】解：由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大．
以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为2r，该正四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心，
该正四面体的高为 SHAPE \* MERGEFORMAT = SHAPE \* MERGEFORMAT r，
设正四面体的外接球半径为x，则x2=（ SHAPE \* MERGEFORMAT r﹣x）2+（ SHAPE \* MERGEFORMAT r）2，
∴x= SHAPE \* MERGEFORMAT r，
∴1= SHAPE \* MERGEFORMAT r+r，
∴r= SHAPE \* MERGEFORMAT = SHAPE \* MERGEFORMAT ﹣2．
故答案为： SHAPE \* MERGEFORMAT ﹣2．
三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17．等比数列{an}的前n项和为S„，已知S1，S3，S2，成等差数列．
（1）求{an}的公比q；
（2）等差数列{bn}中，b5=9，公差d=4q，求数列{bn}的前n项和Tn的最大值．
【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．
【分析】（1）由S1，S3，S2，成等差数列，可得S1+S2=2S3，化为：2a3=﹣a2，可得q= SHAPE \* MERGEFORMAT ．
（2）d=4q=﹣2，b5=9，解得b1．利用等差数列的求和公式可得Tn，再利用二次函数的性质即可得出．
【解答】解：（1）∵S1，S3，S2，成等差数列，∴S1+S2=2S3，
∴2a1+a2=2（a1+a2+a3），化为：2a3=﹣a2，
∴q= SHAPE \* MERGEFORMAT = SHAPE \* MERGEFORMAT ．
（2）d=4q=﹣2，
∴b1﹣2×4=9，解得b1=17．
∴Tn=17n+ SHAPE \* MERGEFORMAT =﹣n2+18n=﹣（n﹣9）2+81，
当n=9时，Tn取得最大值81．
18．山东省第二十三届运动会将于2014年9月16日在济宁市开幕，为办好省运会，济宁市计划招募各类志愿者1.2万人．为做好宣传工作，招募小组对济宁市15﹣40岁的人群随机抽取了100人，回答“省运会”的有关知识，根据统计结果制作了如下的统计图及表：
组号按年龄分组回答完全正确人数回答完全正确人数占本组频率1[15，20）50.52[20，25）a0.93[25，30）27x4[30，35）90.365[35，40）30.2（Ⅰ）分别求出表2中的a、x的值；
（Ⅱ）若在第2、3、4组回答完全正确的人中，用分层抽样的方法抽取6人，则各组应分别抽取多少人？
（Ⅲ）在（II）的前提下，招募小组决定在所抽取的6人中，随机抽取2人颁发幸运奖，求获奖的2人均来自第3组的概率．
SHAPE \* MERGEFORMAT
【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．
【分析】（Ⅰ）通过频率分布直方图可求出第2，3组人数频率，从而确定其人数，然后即可求出表2中的a、x的值；
（Ⅱ）根据分层抽样的性质直接计算即可；
（Ⅲ）列举抽取2人所有基本事件，找出的基本事件，利用古典概型计算即可．
【解答】解：（Ⅰ）由频率直方图可知，第2，3组总人数分别为：20人，30人．
∴a=0.9×20=18（人）．x= SHAPE \* MERGEFORMAT =0.9．
（Ⅱ）在第2，3，4组回答完全正确的人共有54人，用分层抽样的方法抽取6人，
则各组分别抽取：
第2组： SHAPE \* MERGEFORMAT =2人；
第3组： SHAPE \* MERGEFORMAT =3人；
第4组： SHAPE \* MERGEFORMAT =1人．
∴应在第2，3，4组分别抽取2人，3人，1人．
（Ⅲ）分别记第2组的2人为A1，A2，第3组的3人为B1，B2，B3，第4组的1人为C．
则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为：
（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C），
（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C），
（B1，B2），（B1，B3），（B1，C），
（B2，B3），（B2，C），（B3，C）
共15种情况．
获奖2人均来自第3组的有：（B1，B2），（B1，B3）（B2，B3）共3种情况．
故获奖2人均来自第3组的概率为 SHAPE \* MERGEFORMAT = SHAPE \* MERGEFORMAT ．
19．如图，四边形ABCD为矩形，DA⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，BF⊥平面ACE于点F，且点F在CE上．
（Ⅰ）求证：AE⊥BE；
（Ⅱ）求三棱锥D﹣AEC的体积．
SHAPE \* MERGEFORMAT
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．
【分析】（Ⅰ）由题意证明BC⊥平面ABE，得AE⊥BC，再结合条件证明AE⊥平面BCE，再证出AE⊥BE；
（Ⅱ）利用题意得到平面ACD⊥平面ABE，作出交线的垂线，利用换低求三棱锥体积．
【解答】（Ⅰ）证明：由题意知，AD⊥平面ABE，且AD∥BC
∴BC⊥平面ABE，∵AE⊂平面ABE
∴AE⊥BC，
∵BF⊥平面ACE，且AE⊂平面ABE
∴BF⊥AE，又BC∩BF=B，
∴AE⊥平面BCE，
又∵BE⊂平面BCE，
∴AE⊥BE．
（Ⅱ）在△ABE中，过点E作EH⊥AB于点H，
∵AD⊥平面ABE，且AD⊂平面ACD，
∴平面ACD⊥平面ABE，∴EH⊥平面ACD．
由已知及（Ⅰ）得EH= SHAPE \* MERGEFORMAT AB= SHAPE \* MERGEFORMAT ，S△ADC=2 SHAPE \* MERGEFORMAT ．
故VD﹣ABC=VE﹣ADC= SHAPE \* MERGEFORMAT ×2 SHAPE \* MERGEFORMAT × SHAPE \* MERGEFORMAT = SHAPE \* MERGEFORMAT ．
20．已知直线2x﹣2y﹣1=0与抛物线C：x2=2py（p＞0）相切．
（1）求p的值；
（2）过点M（0，1）作直线l与抛物线C交于A，B两点，抛物线C在A，B两点处的切线分别为l1，l2，直线l1，l2交于点P，求点P的轨迹方程．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】（1）抛物线C：x2=2py的方程可可化为：y= SHAPE \* MERGEFORMAT x2，则y′= SHAPE \* MERGEFORMAT ，根据切线斜率为1，求出切点坐标为（p，p﹣ SHAPE \* MERGEFORMAT ），代入抛物线方程可得p的值；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为y=kx+1，联立抛物线方程可得x1+x2=2k，x1•x2=﹣2，求出两条切线的方程，进而求出交点P的坐标，进而可得点P的轨迹方程．
【解答】解：（1）抛物线C：x2=2py的方程可可化为：y= SHAPE \* MERGEFORMAT x2，
则y′= SHAPE \* MERGEFORMAT ，
∵直线2x﹣2y﹣1=0与抛物线C：x2=2py（p＞0）相切，直线2x﹣2y﹣1=0的斜率为1，
故切点坐标为（p，p﹣ SHAPE \* MERGEFORMAT ），
代入抛物线C：x2=2py得：p2=2p2﹣p，
解得：p=1；
（2）显然直线l的斜率存在，
故可设直线l的方程为y=kx+1，
由 SHAPE \* MERGEFORMAT ，得x2﹣2kx﹣2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
∴x1+x2=2k，x1•x2=﹣2．
∵抛物线C的方程为y= SHAPE \* MERGEFORMAT x2，
求导得y′=x，
∴过抛物线C上A、B两点的切线方程分别是y﹣ SHAPE \* MERGEFORMAT x12=x1（x﹣x1），y﹣ SHAPE \* MERGEFORMAT x22=x2（x﹣x2），
即 y=x1x﹣ SHAPE \* MERGEFORMAT x12，y=x2x﹣ SHAPE \* MERGEFORMAT x22，
解得两条切线l1、l2的交点P的坐标为（ SHAPE \* MERGEFORMAT ， SHAPE \* MERGEFORMAT x1x2），
即P（k，﹣1），
故点P的轨迹方程为直线p=﹣1．
21．已知函数f（x）=（x2﹣2x）•lnx+ax2+2
（Ⅰ）当a=﹣1时，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）设函数g（x）=f（x）﹣x﹣2；
（i）若函数g（x）有且仅有一个零点时，求a的值；
（ii）在（i）的条件下，若e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，求m的取值范围．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
【分析】（Ⅰ）当a=﹣1时，求导数，可得切线斜率，求出切点坐标，即可求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）（i）令g（x）=f（x）﹣x﹣2=0，可得a= SHAPE \* MERGEFORMAT ，令h（x）= SHAPE \* MERGEFORMAT ，证明h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，可得h（x）max=h（1）=1，即可求a的值；
（ii）若e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，只需证明g（x）max≤m，即可求m的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f（x）=（x2﹣2x）•lnx﹣x2+2，定义域（0，+∞）
∴f′（x）=（2x﹣2）•lnx+（x﹣2）﹣2x．
∴f′（1）=﹣3，
又f（1）=1，
∴f（x）在（1，f（1））处的切线方程3x+y﹣4=0．
（Ⅱ）（ⅰ）令g（x）=f（x）﹣x﹣2=0
则（x2﹣2x）•lnx+ax2+2=x+2，即a= SHAPE \* MERGEFORMAT
令h（x）= SHAPE \* MERGEFORMAT ，
则h′（x）= SHAPE \* MERGEFORMAT
令t（x）=1﹣x﹣2lnx，则t′（x）= SHAPE \* MERGEFORMAT
∵x＞0，∴t′（x）＜0，
∴t（x）在（0，+∞）上是减函数，
又∵t（1）=h′（1）=0，
∴当0＜x＜1时，h′（x）＞0，当x＞1时，h′（x）＜0，
∴h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∴h（x）max=h（1）=1，
∴当函数g（x）有且仅有一个零点时a=1，
（ⅱ）当a=1时，g（x）=（x2﹣2x）•lnx+x2﹣x，
若e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，只需证明g（x）max≤m，
∴g′（x）=（x﹣1）（3+2lnx），
令g′（x）=0得x=1或x= SHAPE \* MERGEFORMAT
又∵e﹣2＜x＜e，
∴函数g（x）在（e﹣2， SHAPE \* MERGEFORMAT ）上单调递增，在（ SHAPE \* MERGEFORMAT ，1）上单调递减，在（1，e）上单调递增
又g（ SHAPE \* MERGEFORMAT ）=﹣ SHAPE \* MERGEFORMAT e﹣3+2 SHAPE \* MERGEFORMAT ，g（e）=2e2﹣3e
∵g（ SHAPE \* MERGEFORMAT ）=﹣ SHAPE \* MERGEFORMAT e﹣3+2 SHAPE \* MERGEFORMAT ＜2 SHAPE \* MERGEFORMAT ＜2e＜2e（e﹣ SHAPE \* MERGEFORMAT ）=g（e），
∴g（ SHAPE \* MERGEFORMAT ）＜g（e），
∴m≥2e2﹣3e
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，那么按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲
22．已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1．
（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；
（Ⅱ）求BC的长．
SHAPE \* MERGEFORMAT
【考点】圆的切线的性质定理的证明；圆內接多边形的性质与判定．
【分析】（Ⅰ）连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，再证明OC∥AD，即可证得AC平分∠BAD．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 SHAPE \* MERGEFORMAT ，从而BC=CE，利用ABCE四点共圆，可得∠B=∠CED，从而有 SHAPE \* MERGEFORMAT ，故可求BC的长．
【解答】（Ⅰ）证明：连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，
因为CD为半圆的切线，所以OC⊥CD，
又因为AD⊥CD，所以OC∥AD，
所以∠OCA=∠CAD，∠OAC=∠CAD，所以AC平分∠BAD．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知 SHAPE \* MERGEFORMAT ，∴BC=CE，
连接CE，因为ABCE四点共圆，∠B=∠CED，所以cosB=cos∠CED，
所以 SHAPE \* MERGEFORMAT ，所以BC=2．
SHAPE \* MERGEFORMAT
选修4-4：坐标系与参数方程
23．在平面直角坐标系xOy中，已知C1： SHAPE \* MERGEFORMAT （θ为参数），将C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 SHAPE \* MERGEFORMAT 和2倍后得到曲线C2以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（ SHAPE \* MERGEFORMAT cosθ+sinθ）=4
（1）试写出曲线C1的极坐标方程与曲线C2的参数方程；
（2）在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最小，并求此最小值．
【考点】参数方程化成普通方程．
【分析】（1）把C1消去参数化为普通方程为 x2+y2=1，再化为极坐标方程．根据函数图象的伸缩变换规律可得曲线C2的普通方程，再化为极参数方程．
（2）先求得直线l的直角坐标方程，设点P（ SHAPE \* MERGEFORMAT cosθ，2sinθ），求得点P到直线的距离为d= SHAPE \* MERGEFORMAT ，故当sin（θ+ SHAPE \* MERGEFORMAT ）=1时，即θ=2kπ+ SHAPE \* MERGEFORMAT ，k∈z时，点P到直线l的距离的最小值，从而求得P的坐标以及此最小值
【解答】解：（1）把C1： SHAPE \* MERGEFORMAT （θ为参数），消去参数化为普通方程为 x2+y2=1，
故曲线C1：的极坐标方程为ρ=1．
再根据函数图象的伸缩变换规律可得曲线C2的普通方程为 SHAPE \* MERGEFORMAT + SHAPE \* MERGEFORMAT =1，即 SHAPE \* MERGEFORMAT + SHAPE \* MERGEFORMAT =1．
故曲线C2的极参数方程为 SHAPE \* MERGEFORMAT （θ为参数）．
（2）直线l：ρ（ SHAPE \* MERGEFORMAT cosθ+sinθ）=4，即 SHAPE \* MERGEFORMAT x+y﹣4=0，设点P（ SHAPE \* MERGEFORMAT cosθ，2sinθ），
则点P到直线的距离为d= SHAPE \* MERGEFORMAT = SHAPE \* MERGEFORMAT ，
故当sin（θ+ SHAPE \* MERGEFORMAT ）=1时，d取得最小值，此时，θ=2kπ+ SHAPE \* MERGEFORMAT ，k∈z，点P（1， SHAPE \* MERGEFORMAT ），
故曲线C2上有一点P（1， SHAPE \* MERGEFORMAT ）满足到直线l的距离的最小值为 SHAPE \* MERGEFORMAT ﹣ SHAPE \* MERGEFORMAT ．
选修4-5：不等式选讲
24．已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m．
（Ⅰ）若关于x的不等式g（x）≥0的解集为{x|﹣5≤x≤﹣1}，求实数m的值；
（Ⅱ）若f（x）＞g（x）对于任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围．
【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）利用关于x的
2015-2016学年河北省衡水中学高三（上）六调数学试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0}，B={x|2＜x＜4}，那么集合CUA∩B=（ ）
A．{x|﹣1≤x≤4}B．{x|2＜x≤3}C．{x|2≤x＜3}D．{x|﹣1＜x＜4}
2．若复数z=1﹣i，i为虚数单位，则 SHAPE \* MERGEFORMAT =（ ）
A．﹣iB．iC．﹣1D．1
3．函数y=2cos2（x﹣ SHAPE \* MERGEFORMAT ）﹣1是（ ）
A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为 SHAPE \* MERGEFORMAT 的奇函数D．最小正周期为 SHAPE \* MERGEFORMAT 的偶函数
4．下列四个命题中真命题的个数是（ ）
①“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件
②命题“∀x∈R，sinx≤1”的否定是“∃x∈R，sinx＞1”
③命题p：∀x∈[1，+∞），lgx≥0，命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0，则p∨q为真命题．
A．0B．1C．2D．3
5．已知z=2x+y，其中实数x，y满足 SHAPE \* MERGEFORMAT ，且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是（ ）
A． SHAPE \* MERGEFORMAT B． SHAPE \* MERGEFORMAT C．4D． SHAPE \* MERGEFORMAT
6．在△ABC中，点D满足 SHAPE \* MERGEFORMAT ，点E是线段AD上的一个动点，若 SHAPE \* MERGEFORMAT ，则t=（λ﹣1）2+μ2的最小值是（ ）
A． SHAPE \* MERGEFORMAT B． SHAPE \* MERGEFORMAT C． SHAPE \* MERGEFORMAT D． SHAPE \* MERGEFORMAT
7．已知双曲线 SHAPE \* MERGEFORMAT 的右焦点为F，过F的直线l交双曲线的渐近线于A，B两点，且与其中一条渐近线垂直，若 SHAPE \* MERGEFORMAT ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． SHAPE \* MERGEFORMAT B． SHAPE \* MERGEFORMAT C． SHAPE \* MERGEFORMAT D． SHAPE \* MERGEFORMAT
8．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（ ）
SHAPE \* MERGEFORMAT
A． SHAPE \* MERGEFORMAT B． SHAPE \* MERGEFORMAT C． SHAPE \* MERGEFORMAT D． SHAPE \* MERGEFORMAT
9．设Sn是等比数列{an}的前n项的和，Sm﹣1=45，Sm=93，则Sm+1=189，则m=（ ）
A．6B．5C．4D．3
10．已知函数f（x）= SHAPE \* MERGEFORMAT ，若存在x1，x2，当0≤x1＜4≤x2≤6时，f（x1）=f（x2），则x1•f（x2）的取值范围是（ ）
A．[0，1）B．[1，4]C．[1，6]D．[0，1]∪[3，8]
11．已知F1，F2是椭圆C： SHAPE \* MERGEFORMAT + SHAPE \* MERGEFORMAT =1的左右焦点，点P在椭圆上，且到左焦点F1的距离为6，过F1做∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足为M，则OM的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
12．关于曲线C： SHAPE \* MERGEFORMAT ，给出下列四个命题：
A．曲线C关于原点对称 B．曲线C有且只有两条对称轴
C．曲线C的周长l满足 SHAPE \* MERGEFORMAT D．曲线C上的点到原点的距离的最小值为 SHAPE \* MERGEFORMAT
上述命题中，真命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．某单位共有老、中、青职工430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为 ．
14．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为 SHAPE \* MERGEFORMAT 的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若 SHAPE \* MERGEFORMAT ，则p= ．
15．已知直线x+y+1=0与曲线C：y=x3﹣3px2相交于点A，B，且曲线C在A，B处的切线平行，则实数p的值为 ．
16．半径为1的球的内部有4个大小相同的半径为r的小球，则小球半径r可能的最大值为 ．
三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17．等比数列{an}的前n项和为S„，已知S1，S3，S2，成等差数列．
（1）求{an}的公比q；
（2）等差数列{bn}中，b5=9，公差d=4q，求数列{bn}的前n项和Tn的最大值．
18．山东省第二十三届运动会将于2014年9月16日在济宁市开幕，为办好省运会，济宁市计划招募各类志愿者1.2万人．为做好宣传工作，招募小组对济宁市15﹣40岁的人群随机抽取了100人，回答“省运会”的有关知识，根据统计结果制作了如下的统计图及表：
组号按年龄分组回答完全正确人数回答完全正确人数占本组频率1[15，20）50.52[20，25）a0.93[25，30）27x4[30，35）90.365[35，40）30.2（Ⅰ）分别求出表2中的a、x的值；
（Ⅱ）若在第2、3、4组回答完全正确的人中，用分层抽样的方法抽取6人，则各组应分别抽取多少人？
（Ⅲ）在（II）的前提下，招募小组决定在所抽取的6人中，随机抽取2人颁发幸运奖，求获奖的2人均来自第3组的概率．
SHAPE \* MERGEFORMAT
19．如图，四边形ABCD为矩形，DA⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，BF⊥平面ACE于点F，且点F在CE上．
（Ⅰ）求证：AE⊥BE；
（Ⅱ）求三棱锥D﹣AEC的体积．
SHAPE \* MERGEFORMAT
20．已知直线2x﹣2y﹣1=0与抛物线C：x2=2py（p＞0）相切．
（1）求p的值；
（2）过点M（0，1）作直线l与抛物线C交于A，B两点，抛物线C在A，B两点处的切线分别为l1，l2，直线l1，l2交于点P，求点P的轨迹方程．
21．已知函数f（x）=（x2﹣2x）•lnx+ax2+2
（Ⅰ）当a=﹣1时，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）设函数g（x）=f（x）﹣x﹣2；
（i）若函数g（x）有且仅有一个零点时，求a的值；
（ii）在（i）的条件下，若e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，求m的取值范围．
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，那么按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲
22．已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1．
（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；
（Ⅱ）求BC的长．
SHAPE \* MERGEFORMAT
选修4-4：坐标系与参数方程
23．在平面直角坐标系xOy中，已知C1： SHAPE \* MERGEFORMAT （θ为参数），将C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 SHAPE \* MERGEFORMAT 和2倍后得到曲线C2以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（ SHAPE \* MERGEFORMAT cosθ+sinθ）=4
（1）试写出曲线C1的极坐标方程与曲线C2的参数方程；
（2）在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最小，并求此最小值．
选修4-5：不等式选讲
24．已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m．
（Ⅰ）若关于x的不等式g（x）≥0的解集为{x|﹣5≤x≤﹣1}，求实数m的值；
（Ⅱ）若f（x）＞g（x）对于任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围．
2015-2016学年河北省衡水中学高三（上）六调数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0}，B={x|2＜x＜4}，那么集合CUA∩B=（ ）
A．{x|﹣1≤x≤4}B．{x|2＜x≤3}C．{x|2≤x＜3}D．{x|﹣1＜x＜4}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】分析可得，A、B都是不等式的解集，由不等式的解法，容易解得A、B，进而可得CUA，对其求交集可得答案．
【解答】解：由不等式的解法，
容易解得A={x|x＞3或x＜﹣1}，B={x|2＜x＜4}．
则CUA={x|﹣1≤x≤3}，
于是（CUA）∩B={x|2＜x≤3}，
故选B．
2．若复数z=1﹣i，i为虚数单位，则 SHAPE \* MERGEFORMAT =（ ）
A．﹣iB．iC．﹣1D．1
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．
【解答】解： SHAPE \* MERGEFORMAT = SHAPE \* MERGEFORMAT = SHAPE \* MERGEFORMAT = SHAPE \* MERGEFORMAT = SHAPE \* MERGEFORMAT =i，
故选：B．
3．函数y=2cos2（x﹣ SHAPE \* MERGEFORMAT ）﹣1是（ ）
A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为 SHAPE \* MERGEFORMAT 的奇函数D．最小正周期为 SHAPE \* MERGEFORMAT 的偶函数
【考点】三角函数的周期性及其求法；函数奇偶性的判断．
【分析】利用二倍角公式化简为一个角的一个三角函数的形式，求出周期，判定奇偶性．
【解答】解：由y=2cos2（x﹣ SHAPE \* MERGEFORMAT ）﹣1=cos（2x﹣ SHAPE \* MERGEFORMAT ）=sin2x，
∴T=π，且y=sin2x奇函数，即函数y=2cos2（x﹣ SHAPE \* MERGEFORMAT ）﹣1是奇函数．
故选A．
4．下列四个命题中真命题的个数是（ ）
①“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件
②命题“∀x∈R，sinx≤1”的否定是“∃x∈R，sinx＞1”
③命题p：∀x∈[1，+∞），lgx≥0，命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0，则p∨q为真命题．
A．0B．1C．2D．3
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】①利用充分、必要条件的概念验证即可．
②利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．
③对命题p，q的真假分别进行判断即可．
【解答】解：对于①：当x=1成立时有12﹣3×1+2=0即x2﹣3x+2=0成立，当x2﹣3x+2=0成立时有x=1或x=2不一定有x=1成立．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件．故①正确．
对于②：命题“∀x∈R，sinx≤1”的否定是“∃x∈R，sinx＞1”故②正确．
对于③命题p：∀x∈[1，+∞），lgx≥0，正确，命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0错误，
因为x2+x+1=（x+ SHAPE \* MERGEFORMAT ）2+ SHAPE \* MERGEFORMAT ＞0恒成立，p∨q为真，故③正确．
故选D．
5．已知z=2x+y，其中实数x，y满足 SHAPE \* MERGEFORMAT ，且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是（ ）
A． SHAPE \* MERGEFORMAT B． SHAPE \* MERGEFORMAT C．4D． SHAPE \* MERGEFORMAT
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合目标函数z=2x+y的最大值是最小值的4倍，建立方程关系，即可得到结论．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=2x+y得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，
由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线的截距最大，
此时z最大，
由 SHAPE \* MERGEFORMAT ，解得： SHAPE \* MERGEFORMAT ，
即A（1，1），此时z=2×1+1=3，
当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线的截距最小，
此时z最小，
由 SHAPE \* MERGEFORMAT ，解得： SHAPE \* MERGEFORMAT ，
即B（a，a），此时z=2×a+a=3a，
∵目标函数z=2x+y的最大值是最小值的4倍，
∴3=4×3a，即a= SHAPE \* MERGEFORMAT ，
故选：B．
SHAPE \* MERGEFORMAT
6．在△ABC中，点D满足 SHAPE \* MERGEFORMAT ，点E是线段AD上的一个动点，若 SHAPE \* MERGEFORMAT ，则t=（λ﹣1）2+μ2的最小值是（ ）
A． SHAPE \* MERGEFORMAT B． SHAPE \* MERGEFORMAT C． SHAPE \* MERGEFORMAT D． SHAPE \* MERGEFORMAT
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【分析】根据共线向量基本定理可得到存在实数k， SHAPE \* MERGEFORMAT ，0≤k≤1，然后根据已知条件及向量的加法、减法的几何意义即可得到 SHAPE \* MERGEFORMAT ，从而得到 SHAPE \* MERGEFORMAT ．代入t，进行配方即可求出t的最小值．
【解答】解：如图，
E在线段AD上，所以存在实数k使得 SHAPE \* MERGEFORMAT ；
SHAPE \* MERGEFORMAT ；
∴ SHAPE \* MERGEFORMAT = SHAPE \* MERGEFORMAT = SHAPE \* MERGEFORMAT ；
∴ SHAPE \* MERGEFORMAT ；
∴ SHAPE \* MERGEFORMAT = SHAPE \* MERGEFORMAT ；
∴ SHAPE \* MERGEFORMAT 时，t取最小值 SHAPE \* MERGEFORMAT ．
故选：C．
SHAPE \* MERGEFORMAT
7．已知双曲线 SHAPE \* MERGEFORMAT 的右焦点为F，过F的直线l交双曲线的渐近线于A，B两点，且与其中一条渐近线垂直，若 SHAPE \* MERGEFORMAT ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． SHAPE \* MERGEFORMAT B． SHAPE \* MERGEFORMAT C． SHAPE \* MERGEFORMAT D． SHAPE \* MERGEFORMAT
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OA的方程为y= SHAPE \* MERGEFORMAT x，则另一渐近线OB的方程为y=﹣ SHAPE \* MERGEFORMAT x，设A（m， SHAPE \* MERGEFORMAT ），B（n，﹣ SHAPE \* MERGEFORMAT ），由 SHAPE \* MERGEFORMAT 可得方程，解之可得m= SHAPE \* MERGEFORMAT ，n= SHAPE \* MERGEFORMAT ，可得B（ SHAPE \* MERGEFORMAT ， SHAPE \* MERGEFORMAT ），由FB⊥OB可得，斜率之积等于﹣1，进而可得ab的关系式，结合双曲线abc的关系，可得离心率．
【解答】解：由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OA的方程为y= SHAPE \* MERGEFORMAT x，则另一渐近线OB的方程为y=﹣ SHAPE \* MERGEFORMAT x，
设A（m， SHAPE \* MERGEFORMAT ），B（n，﹣ SHAPE \* MERGEFORMAT ），∵ SHAPE \* MERGEFORMAT ，∴（c﹣m，﹣ SHAPE \* MERGEFORMAT ）=4（n﹣c，﹣ SHAPE \* MERGEFORMAT ），
∴c﹣m=4（n﹣c），﹣ SHAPE \* MERGEFORMAT =﹣4 SHAPE \* MERGEFORMAT ，解之可得m= SHAPE \* MERGEFORMAT ，n= SHAPE \* MERGEFORMAT ，
∴B（ SHAPE \* MERGEFORMAT ， SHAPE \* MERGEFORMAT ），由FB⊥OB可得，斜率之积等于﹣1，
即 SHAPE \* MERGEFORMAT • SHAPE \* MERGEFORMAT =﹣1，化简可得5b2=3a2，即5（c2﹣a2）=3a2，
解之可得5c2=8a2，即e= SHAPE \* MERGEFORMAT = SHAPE \* MERGEFORMAT
故选D
8．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（ ）
SHAPE \* MERGEFORMAT
A． SHAPE \* MERGEFORMAT B． SHAPE \* MERGEFORMAT C． SHAPE \* MERGEFORMAT D． SHAPE \* MERGEFORMAT
【考点】异面直线及其所成的角．
【分析】根据长方体相对的平面上的两条对角线平行，得到两条异面直线所成的角，这个角在一个可以求出三边的三角形中，利用余弦定理得到结果．
【解答】解：连接BC1，A1C1，
则BC1∥AD1，
∴∠A1BC1是两条异面直线所成的角，
在直角△A1AB中，由AA1=2AB得到：A1B= SHAPE \* MERGEFORMAT AB．
在直角△BCC1中，CC1=AA1，BC=AB，则C1B= SHAPE \* MERGEFORMAT AB．
在直角△A1B1C1中A1C1= SHAPE \* MERGEFORMAT AB，
则cos∠A1BC1= SHAPE \* MERGEFORMAT = SHAPE \* MERGEFORMAT ．
故选：D．
SHAPE \* MERGEFORMAT
9．设Sn是等比数列{an}的前n项的和，Sm﹣1=45，Sm=93，则Sm+1=189，则m=（ ）
A．6B．5C．4D．3
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】由题意得 SHAPE \* MERGEFORMAT = SHAPE \* MERGEFORMAT = SHAPE \* MERGEFORMAT =2，再由Sm= SHAPE \* MERGEFORMAT =93解得a1=3，从而求m．
【解答】解：∵ SHAPE \* MERGEFORMAT = SHAPE \* MERGEFORMAT = SHAPE \* MERGEFORMAT =2，
∴Sm= SHAPE \* MERGEFORMAT = SHAPE \* MERGEFORMAT =93，
故a1=3，
故am=3•2m﹣1=48，
解得，m=5，
故选B．
10．已知函数f（x）= SHAPE \* MERGEFORMAT ，若存在x1，x2，当0≤x1＜4≤x2≤6时，f（x1）=f（x2），则x1•f（x2）的取值范围是（ ）
A．[0，1）B．[1，4]C．[1，6]D．[0，1]∪[3，8]
【考点】分段函数的应用．
【分析】根据已知将x1•f（x2）转化为x1f（x1），再根据函数y=xf（x）的性质求解．
【解答】解：当0≤x1＜4≤x2≤6时，因为f（x1）=f（x2），由f（x1）=f（x2）=1或f（x1）=f（x2）=2，得到x1的取值范围是[1，3]，
所以x1•f（x2）=x1•f（x1）=x1（1﹣|x1|﹣2）= SHAPE \* MERGEFORMAT ，即x1f（x2）的范围是[1，4]．
故选B．
11．已知F1，F2是椭圆C： SHAPE \* MERGEFORMAT + SHAPE \* MERGEFORMAT =1的左右焦点，点P在椭圆上，且到左焦点F1的距离为6，过F1做∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足为M，则OM的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】延长F1M和PF2交于N，求得椭圆的a=5，运用椭圆的定义和等腰三角形的三线合一，以及三角形的中位线定理，即可得到所求|OM|的值．
【解答】解：延长F1M和PF2交于N，
椭圆C： SHAPE \* MERGEFORMAT + SHAPE \* MERGEFORMAT =1的a=5，
由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=10，
由|PF1|=6，可得|PF2|=4，
由等腰三角形的三线合一，可得
|PF1|=|PN|=6，
可得|NF2|=6﹣4=2，
由OM为△F1F2N的中位线，
可得|OM|= SHAPE \* MERGEFORMAT |F2N|= SHAPE \* MERGEFORMAT ×2=1．
故选A．
SHAPE \* MERGEFORMAT
12．关于曲线C： SHAPE \* MERGEFORMAT ，给出下列四个命题：
A．曲线C关于原点对称 B．曲线C有且只有两条对称轴
C．曲线C的周长l满足 SHAPE \* MERGEFORMAT D．曲线C上的点到原点的距离的最小值为 SHAPE \* MERGEFORMAT
上述命题中，真命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点】曲线与方程．
【分析】利用曲线方程的特点结合曲线的图象分别进行判断即可．
【解答】解：把曲线C中的（x，y ）同时换成（﹣x，﹣y ），方程不变，∴曲线C关于原点对称，即A正确；
曲线方程为 SHAPE \* MERGEFORMAT ，交换x，y的位置后曲线方程不变，∴曲线C关于直线y=x对称，同理，y=﹣x，x，y轴是曲线的对称轴，即B不正确；
在第一象限内，因为点（ SHAPE \* MERGEFORMAT ， SHAPE \* MERGEFORMAT ）在曲线上，由图象可知曲线在直线y=﹣x+1的下方，且为凹函数如图：
由以上分析可知曲线C的周长l满足 SHAPE \* MERGEFORMAT ，正确．
曲线C上的点到原点的距离的最小值为（ SHAPE \* MERGEFORMAT ， SHAPE \* MERGEFORMAT ）到原点的距离，为 SHAPE \* MERGEFORMAT ，即D正确．
真命题有3个，故选：C．
SHAPE \* MERGEFORMAT
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．某单位共有老、中、青职工430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为 18 ．
【考点】分层抽样方法．
【分析】由题意确定老年职工的人数，再由青年职工确定抽样比，因为分层抽样，各层抽取比例一样，故可计算出样本中的老年职工人数．
【解答】解：青年职工160人，在抽取的样本中有青年职工32人，故抽取比例为 SHAPE \* MERGEFORMAT ，
老、中年职工共430﹣160=270人，又中年职工人数是老年职工人数的2倍，故老年职工有90人，
所以该样本中的老年职工人数为90× SHAPE \* MERGEFORMAT =18
故答案为：18
14．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为 SHAPE \* MERGEFORMAT 的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若 SHAPE \* MERGEFORMAT ，则p= 2 ．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】设直线AB的方程与抛物线方程联立消去y得3x2+（﹣6﹣2p）x+3=0，进而根据 SHAPE \* MERGEFORMAT ，可知M为A、B的中点，
可得p的关系式，解方程即可求得p．
【解答】解：设直线AB： SHAPE \* MERGEFORMAT ，代入y2=2px得3x2+（﹣6﹣2p）x+3=0，
又∵ SHAPE \* MERGEFORMAT ，即M为A、B的中点，
∴xB+（﹣ SHAPE \* MERGEFORMAT ）=2，即xB=2+ SHAPE \* MERGEFORMAT ，
得p2+4P﹣12=0，
解得p=2，p=﹣6（舍去）
故答案为：2
15．已知直线x+y+1=0与曲线C：y=x3﹣3px2相交于点A，B，且曲线C在A，B处的切线平行，则实数p的值为 1 ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求出原函数的导函数，设出A，B点的坐标，得到函数在A，B点处的导数值，由A，B点处的导数值相等得到 SHAPE \* MERGEFORMAT = SHAPE \* MERGEFORMAT =m，把x1，x2看作方程3x2﹣6px﹣m=0的两个根，利用根与系数关系得到x1+x2=2p，进一步得到AB的中点坐标，然后再证明AB的中点在曲线C上，最后由AB中点的纵坐标相等求得实数p的值．
【解答】解：由y=x3﹣3px2，得y′=3x2﹣6px，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则曲线C在A，B处的切线的斜率分别为 SHAPE \* MERGEFORMAT ，
∵曲线C在A，B处的切线平行，
∴ SHAPE \* MERGEFORMAT = SHAPE \* MERGEFORMAT ，
令 SHAPE \* MERGEFORMAT = SHAPE \* MERGEFORMAT =m，
∴x1，x2是方程3x2﹣6px﹣m=0的两个根，
则x1+x2=2p，
下面证线段AB的中点在曲线C上，
∵ SHAPE \* MERGEFORMAT = SHAPE \* MERGEFORMAT
= SHAPE \* MERGEFORMAT ，
而 SHAPE \* MERGEFORMAT =﹣2p3，
∴线段AB的中点在曲线C上，
由x1+x2=2p，知线段的中点为（p，﹣p﹣1），
∴﹣p﹣1=p3﹣3p•p2=﹣2p3，解得p=1．
故答案为：1．
16．半径为1的球的内部有4个大小相同的半径为r的小球，则小球半径r可能的最大值为 SHAPE \* MERGEFORMAT ﹣2 ．
【考点】球的体积和表面积．
【分析】由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大，以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为2r，该正四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心，求出正四面体的外接球半径，即可求得结论．
【解答】解：由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大．
以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为2r，该正四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心，
该正四面体的高为 SHAPE \* MERGEFORMAT = SHAPE \* MERGEFORMAT r，
设正四面体的外接球半径为x，则x2=（ SHAPE \* MERGEFORMAT r﹣x）2+（ SHAPE \* MERGEFORMAT r）2，
∴x= SHAPE \* MERGEFORMAT r，
∴1= SHAPE \* MERGEFORMAT r+r，
∴r= SHAPE \* MERGEFORMAT = SHAPE \* MERGEFORMAT ﹣2．
故答案为： SHAPE \* MERGEFORMAT ﹣2．
三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17．等比数列{an}的前n项和为S„，已知S1，S3，S2，成等差数列．
（1）求{an}的公比q；
（2）等差数列{bn}中，b5=9，公差d=4q，求数列{bn}的前n项和Tn的最大值．
【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．
【分析】（1）由S1，S3，S2，成等差数列，可得S1+S2=2S3，化为：2a3=﹣a2，可得q= SHAPE \* MERGEFORMAT ．
（2）d=4q=﹣2，b5=9，解得b1．利用等差数列的求和公式可得Tn，再利用二次函数的性质即可得出．
【解答】解：（1）∵S1，S3，S2，成等差数列，∴S1+S2=2S3，
∴2a1+a2=2（a1+a2+a3），化为：2a3=﹣a2，
∴q= SHAPE \* MERGEFORMAT = SHAPE \* MERGEFORMAT ．
（2）d=4q=﹣2，
∴b1﹣2×4=9，解得b1=17．
∴Tn=17n+ SHAPE \* MERGEFORMAT =﹣n2+18n=﹣（n﹣9）2+81，
当n=9时，Tn取得最大值81．
18．山东省第二十三届运动会将于2014年9月16日在济宁市开幕，为办好省运会，济宁市计划招募各类志愿者1.2万人．为做好宣传工作，招募小组对济宁市15﹣40岁的人群随机抽取了100人，回答“省运会”的有关知识，根据统计结果制作了如下的统计图及表：
组号按年龄分组回答完全正确人数回答完全正确人数占本组频率1[15，20）50.52[20，25）a0.93[25，30）27x4[30，35）90.365[35，40）30.2（Ⅰ）分别求出表2中的a、x的值；
（Ⅱ）若在第2、3、4组回答完全正确的人中，用分层抽样的方法抽取6人，则各组应分别抽取多少人？
（Ⅲ）在（II）的前提下，招募小组决定在所抽取的6人中，随机抽取2人颁发幸运奖，求获奖的2人均来自第3组的概率．
SHAPE \* MERGEFORMAT
【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．
【分析】（Ⅰ）通过频率分布直方图可求出第2，3组人数频率，从而确定其人数，然后即可求出表2中的a、x的值；
（Ⅱ）根据分层抽样的性质直接计算即可；
（Ⅲ）列举抽取2人所有基本事件，找出的基本事件，利用古典概型计算即可．
【解答】解：（Ⅰ）由频率直方图可知，第2，3组总人数分别为：20人，30人．
∴a=0.9×20=18（人）．x= SHAPE \* MERGEFORMAT =0.9．
（Ⅱ）在第2，3，4组回答完全正确的人共有54人，用分层抽样的方法抽取6人，
则各组分别抽取：
第2组： SHAPE \* MERGEFORMAT =2人；
第3组： SHAPE \* MERGEFORMAT =3人；
第4组： SHAPE \* MERGEFORMAT =1人．
∴应在第2，3，4组分别抽取2人，3人，1人．
（Ⅲ）分别记第2组的2人为A1，A2，第3组的3人为B1，B2，B3，第4组的1人为C．
则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为：
（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C），
（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C），
（B1，B2），（B1，B3），（B1，C），
（B2，B3），（B2，C），（B3，C）
共15种情况．
获奖2人均来自第3组的有：（B1，B2），（B1，B3）（B2，B3）共3种情况．
故获奖2人均来自第3组的概率为 SHAPE \* MERGEFORMAT = SHAPE \* MERGEFORMAT ．
19．如图，四边形ABCD为矩形，DA⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，BF⊥平面ACE于点F，且点F在CE上．
（Ⅰ）求证：AE⊥BE；
（Ⅱ）求三棱锥D﹣AEC的体积．
SHAPE \* MERGEFORMAT
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．
【分析】（Ⅰ）由题意证明BC⊥平面ABE，得AE⊥BC，再结合条件证明AE⊥平面BCE，再证出AE⊥BE；
（Ⅱ）利用题意得到平面ACD⊥平面ABE，作出交线的垂线，利用换低求三棱锥体积．
【解答】（Ⅰ）证明：由题意知，AD⊥平面ABE，且AD∥BC
∴BC⊥平面ABE，∵AE⊂平面ABE
∴AE⊥BC，
∵BF⊥平面ACE，且AE⊂平面ABE
∴BF⊥AE，又BC∩BF=B，
∴AE⊥平面BCE，
又∵BE⊂平面BCE，
∴AE⊥BE．
（Ⅱ）在△ABE中，过点E作EH⊥AB于点H，
∵AD⊥平面ABE，且AD⊂平面ACD，
∴平面ACD⊥平面ABE，∴EH⊥平面ACD．
由已知及（Ⅰ）得EH= SHAPE \* MERGEFORMAT AB= SHAPE \* MERGEFORMAT ，S△ADC=2 SHAPE \* MERGEFORMAT ．
故VD﹣ABC=VE﹣ADC= SHAPE \* MERGEFORMAT ×2 SHAPE \* MERGEFORMAT × SHAPE \* MERGEFORMAT = SHAPE \* MERGEFORMAT ．
20．已知直线2x﹣2y﹣1=0与抛物线C：x2=2py（p＞0）相切．
（1）求p的值；
（2）过点M（0，1）作直线l与抛物线C交于A，B两点，抛物线C在A，B两点处的切线分别为l1，l2，直线l1，l2交于点P，求点P的轨迹方程．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】（1）抛物线C：x2=2py的方程可可化为：y= SHAPE \* MERGEFORMAT x2，则y′= SHAPE \* MERGEFORMAT ，根据切线斜率为1，求出切点坐标为（p，p﹣ SHAPE \* MERGEFORMAT ），代入抛物线方程可得p的值；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为y=kx+1，联立抛物线方程可得x1+x2=2k，x1•x2=﹣2，求出两条切线的方程，进而求出交点P的坐标，进而可得点P的轨迹方程．
【解答】解：（1）抛物线C：x2=2py的方程可可化为：y= SHAPE \* MERGEFORMAT x2，
则y′= SHAPE \* MERGEFORMAT ，
∵直线2x﹣2y﹣1=0与抛物线C：x2=2py（p＞0）相切，直线2x﹣2y﹣1=0的斜率为1，
故切点坐标为（p，p﹣ SHAPE \* MERGEFORMAT ），
代入抛物线C：x2=2py得：p2=2p2﹣p，
解得：p=1；
（2）显然直线l的斜率存在，
故可设直线l的方程为y=kx+1，
由 SHAPE \* MERGEFORMAT ，得x2﹣2kx﹣2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
∴x1+x2=2k，x1•x2=﹣2．
∵抛物线C的方程为y= SHAPE \* MERGEFORMAT x2，
求导得y′=x，
∴过抛物线C上A、B两点的切线方程分别是y﹣ SHAPE \* MERGEFORMAT x12=x1（x﹣x1），y﹣ SHAPE \* MERGEFORMAT x22=x2（x﹣x2），
即 y=x1x﹣ SHAPE \* MERGEFORMAT x12，y=x2x﹣ SHAPE \* MERGEFORMAT x22，
解得两条切线l1、l2的交点P的坐标为（ SHAPE \* MERGEFORMAT ， SHAPE \* MERGEFORMAT x1x2），
即P（k，﹣1），
故点P的轨迹方程为直线p=﹣1．
21．已知函数f（x）=（x2﹣2x）•lnx+ax2+2
（Ⅰ）当a=﹣1时，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）设函数g（x）=f（x）﹣x﹣2；
（i）若函数g（x）有且仅有一个零点时，求a的值；
（ii）在（i）的条件下，若e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，求m的取值范围．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
【分析】（Ⅰ）当a=﹣1时，求导数，可得切线斜率，求出切点坐标，即可求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）（i）令g（x）=f（x）﹣x﹣2=0，可得a= SHAPE \* MERGEFORMAT ，令h（x）= SHAPE \* MERGEFORMAT ，证明h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，可得h（x）max=h（1）=1，即可求a的值；
（ii）若e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，只需证明g（x）max≤m，即可求m的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f（x）=（x2﹣2x）•lnx﹣x2+2，定义域（0，+∞）
∴f′（x）=（2x﹣2）•lnx+（x﹣2）﹣2x．
∴f′（1）=﹣3，
又f（1）=1，
∴f（x）在（1，f（1））处的切线方程3x+y﹣4=0．
（Ⅱ）（ⅰ）令g（x）=f（x）﹣x﹣2=0
则（x2﹣2x）•lnx+ax2+2=x+2，即a= SHAPE \* MERGEFORMAT
令h（x）= SHAPE \* MERGEFORMAT ，
则h′（x）= SHAPE \* MERGEFORMAT
令t（x）=1﹣x﹣2lnx，则t′（x）= SHAPE \* MERGEFORMAT
∵x＞0，∴t′（x）＜0，
∴t（x）在（0，+∞）上是减函数，
又∵t（1）=h′（1）=0，
∴当0＜x＜1时，h′（x）＞0，当x＞1时，h′（x）＜0，
∴h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∴h（x）max=h（1）=1，
∴当函数g（x）有且仅有一个零点时a=1，
（ⅱ）当a=1时，g（x）=（x2﹣2x）•lnx+x2﹣x，
若e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，只需证明g（x）max≤m，
∴g′（x）=（x﹣1）（3+2lnx），
令g′（x）=0得x=1或x= SHAPE \* MERGEFORMAT
又∵e﹣2＜x＜e，
∴函数g（x）在（e﹣2， SHAPE \* MERGEFORMAT ）上单调递增，在（ SHAPE \* MERGEFORMAT ，1）上单调递减，在（1，e）上单调递增
又g（ SHAPE \* MERGEFORMAT ）=﹣ SHAPE \* MERGEFORMAT e﹣3+2 SHAPE \* MERGEFORMAT ，g（e）=2e2﹣3e
∵g（ SHAPE \* MERGEFORMAT ）=﹣ SHAPE \* MERGEFORMAT e﹣3+2 SHAPE \* MERGEFORMAT ＜2 SHAPE \* MERGEFORMAT ＜2e＜2e（e﹣ SHAPE \* MERGEFORMAT ）=g（e），
∴g（ SHAPE \* MERGEFORMAT ）＜g（e），
∴m≥2e2﹣3e
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，那么按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲
22．已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1．
（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；
（Ⅱ）求BC的长．
SHAPE \* MERGEFORMAT
【考点】圆的切线的性质定理的证明；圆內接多边形的性质与判定．
【分析】（Ⅰ）连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，再证明OC∥AD，即可证得AC平分∠BAD．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 SHAPE \* MERGEFORMAT ，从而BC=CE，利用ABCE四点共圆，可得∠B=∠CED，从而有 SHAPE \* MERGEFORMAT ，故可求BC的长．
【解答】（Ⅰ）证明：连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，
因为CD为半圆的切线，所以OC⊥CD，
又因为AD⊥CD，所以OC∥AD，
所以∠OCA=∠CAD，∠OAC=∠CAD，所以AC平分∠BAD．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知 SHAPE \* MERGEFORMAT ，∴BC=CE，
连接CE，因为ABCE四点共圆，∠B=∠CED，所以cosB=cos∠CED，
所以 SHAPE \* MERGEFORMAT ，所以BC=2．
SHAPE \* MERGEFORMAT
选修4-4：坐标系与参数方程
23．在平面直角坐标系xOy中，已知C1： SHAPE \* MERGEFORMAT （θ为参数），将C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 SHAPE \* MERGEFORMAT 和2倍后得到曲线C2以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（ SHAPE \* MERGEFORMAT cosθ+sinθ）=4
（1）试写出曲线C1的极坐标方程与曲线C2的参数方程；
（2）在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最小，并求此最小值．
【考点】参数方程化成普通方程．
【分析】（1）把C1消去参数化为普通方程为 x2+y2=1，再化为极坐标方程．根据函数图象的伸缩变换规律可得曲线C2的普通方程，再化为极参数方程．
（2）先求得直线l的直角坐标方程，设点P（ SHAPE \* MERGEFORMAT cosθ，2sinθ），求得点P到直线的距离为d= SHAPE \* MERGEFORMAT ，故当sin（θ+ SHAPE \* MERGEFORMAT ）=1时，即θ=2kπ+ SHAPE \* MERGEFORMAT ，k∈z时，点P到直线l的距离的最小值，从而求得P的坐标以及此最小值
【解答】解：（1）把C1： SHAPE \* MERGEFORMAT （θ为参数），消去参数化为普通方程为 x2+y2=1，
故曲线C1：的极坐标方程为ρ=1．
再根据函数图象的伸缩变换规律可得曲线C2的普通方程为 SHAPE \* MERGEFORMAT + SHAPE \* MERGEFORMAT =1，即 SHAPE \* MERGEFORMAT + SHAPE \* MERGEFORMAT =1．
故曲线C2的极参数方程为 SHAPE \* MERGEFORMAT （θ为参数）．
（2）直线l：ρ（ SHAPE \* MERGEFORMAT cosθ+sinθ）=4，即 SHAPE \* MERGEFORMAT x+y﹣4=0，设点P（ SHAPE \* MERGEFORMAT cosθ，2sinθ），
则点P到直线的距离为d= SHAPE \* MERGEFORMAT = SHAPE \* MERGEFORMAT ，
故当sin（θ+ SHAPE \* MERGEFORMAT ）=1时，d取得最小值，此时，θ=2kπ+ SHAPE \* MERGEFORMAT ，k∈z，点P（1， SHAPE \* MERGEFORMAT ），
故曲线C2上有一点P（1， SHAPE \* MERGEFORMAT ）满足到直线l的距离的最小值为 SHAPE \* MERGEFORMAT ﹣ SHAPE \* MERGEFORMAT ．
选修4-5：不等式选讲
24．已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m．
（Ⅰ）若关于x的不等式g（x）≥0的解集为{x|﹣5≤x≤﹣1}，求实数m的值；
（Ⅱ）若f（x）＞g（x）对于任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围．
【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）利用关于x的