高中数学人教A版必修4课时达标检测（十三）函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象（二） Word版含解析.doc

高中数学人教A版必修4课时达标检测（十三）函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象（二） Word版含解析.doc
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课时达标检测（十三）函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(二)
一、选择题
1．函数y＝sin(2x＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<φ<\f(π,2)))图象的一条对称轴在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))内，则满足此条件的一个φ值为(　　)
A.eq \f(π,12)　　　B.eq \f(π,6)　　　C.eq \f(π,3)　　　D.eq \f(5π,6)
答案：A
2．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为eq \f(π,2)，直线x＝eq \f(π,3)是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为(　　)
A．y＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,6)))
B．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＋2
C．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,3)))＋2
D．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,6)))＋2
答案：D
3．若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，|φ|<\f(π,2)))的最小正周期是π，且f(0)＝eq \r(3)，则(　　)
A．ω＝eq \f(1,2)，φ＝eq \f(π,6)　　　　B．ω＝eq \f(1,2)，φ＝eq \f(π,3)
C．ω＝2，φ＝eq \f(π,6) D．ω＝2，φ＝eq \f(π,3)
答案：D
4．若f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋m对任意实数t都有feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(π,4)))＝f(－t)，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)))＝－1，则实数m的值等于(　　)
A．±1 B．－1或3
C．±3 D．－3或1
答案：D
5．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 014)的值等于(　　)
A.eq \r(2) B．2＋2eq \r(2)
C.eq \r(2)＋2 D.eq \r(2)－2
答案：A
二、填空题
6．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________.
答案：eq \f(3,2)
7．如图所示的是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋BA>0，ω>0，|φ|∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的图象的一部分，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝________.
答案：3
8．关于函数f(x)＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))(x∈R)的说法如下：
①y＝f(x)的解析式可改写为y＝4coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))；
②y＝f(x)是以2π为最小正周期的周期函数；
③y＝f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))对称；
④y＝f(x)的图象关于直线x＝－eq \f(π,6)对称．
其中，正确的说法的序号是________．
答案：①③
三、解答题
9．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的一段图象如图所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)把f(x)的图象向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？
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解：(1)A＝3，eq \f(2π,ω)＝eq \f(4,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π－\f(π,4)))＝5π，ω＝eq \f(2,5).
由f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)x＋φ))过eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，0))，
得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,10)＋φ))＝0，又|φ|∴f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)x－\f(π,10))).
(2)由f(x＋m)＝3sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,5)x＋m－\f(π,10)))
＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)x＋\f(2m,5)－\f(π,10)))为偶函数(m>0)，
知eq \f(2m,5)－eq \f(π,10)＝kπ＋eq \f(π,2)，即m＝eq \f(5,2)kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z.
∵m>0，∴mmin＝eq \f(3π,2).
故把f(x)的图象向左至少平移eq \f(3π,2)个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数．
10．已知函数y＝2coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3))).
(1)在该函数的图象的对称轴中，求离y轴距离最近的那条对称轴的方程；
(2)将该函数的图象向右平移φ个单位长度后，图象关于原点对称，求φ的最小正值．
解：(1)由2x＋eq \f(2π,3)＝kπ，得函数的对称轴方程是
x＝－eq \f(π,3)＋eq \f(kπ,2)，k∈Z.
所以函数的图象离y轴距离最近的那条对称轴方程为x＝eq \f(π,6).
(2)将函数y＝2coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)))的图象向右平移φ个单位长度后，得到函数图象的解析式是y＝2coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)－2φ)).
因为y＝2coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)－2φ))的图象关于原点对称，所以eq \f(2π,3)－2φ＝eq \f(π,2)＋kπ.所以φ＝eq \f(π,12)－eq \f(kπ,2)，k∈Z.
所以φ的最小正值是eq \f(π,12).
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11．已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)上的一个最高点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)， \r(2)))，由此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，若φ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))).
(1)试求这条曲线的函数解析式；
(2)写出函数的单调区间．
解：(1)依题意，A＝eq \r(2)，T＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－\f(π,2)))＝4π，
∵T＝eq \f(2π,|ω|)＝4π，ω＞0，∴ω＝eq \f(1,2).
∴y＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋φ)).
∵曲线上的最高点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\r(2)))，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(π,2)＋φ))＝1.
∴φ＋eq \f(π,4)＝2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z.
∵－eq \f(π,2)＜φ＜eq \f(π,2)，∴φ＝eq \f(π,4).
∴y＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,4))).
(2)令2kπ－eq \f(π,2)≤eq \f(1,2)x＋eq \f(π,4)≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，
∴4kπ－eq \f(3π,2)≤x≤4kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z.
∴函数f(x)的单调递增区间为[4kπ－eq \f(3π,2)，4kπ＋eq \f(π,2)](k∈Z)．
令2kπ＋eq \f(π,2)≤eq \f(1,2)x＋eq \f(π,4)≤eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，
∴4kπ＋eq \f(π,2)≤x≤4kπ＋eq \f(5π,2)，k∈Z.
∴函数f(x)的单调递减区间为[4kπ＋eq \f(π,2)，4kπ＋eq \f(5π,2)](k∈Z)．