2015-2016学年河北省张家口市宣化县九年级上期末数学试卷含答案解析.doc
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2015-2016学年河北省张家口市宣化县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共14个小题，1-5小题每小题2分，6-14小题每小题2分，共37分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为6，那么点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O上B．点P在⊙O内C．点P在⊙O外D．无法确定
2．下列四幅图的质地大小、背面图案都一样，把它们充分洗匀后翻放在桌面上，则从中任意抽取一张，抽到的图案是中心对称图形的概率是（ ）
A．B．C．D．1
3．抛物线y=（x﹣2）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，﹣3）
4．下列说法中错误的是（ ）
A．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中是随机事件
B．“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件
C．“抛一枚硬币，正面向上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上
D．“抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是6的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数是6”这一事件发生的频率稳定在附近
5．若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则a的取值范围是（ ）
A．a＜1B．a≤4C．a≤1D．a≥1
6．如图，△ABC中，AB=AC，∠ABC=70°，点O是△ABC的外心，则∠BOC的度数为（ ）
[
A．40°B．60°C．70°D．80°
7．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣6）2=﹣4+36B．（x﹣6）2=4+36C．（x﹣3）2=﹣4+9D．（x﹣3）2=4+9
8．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，EC与⊙O相切于点C，∠ECB=35°，则∠D的度数是（ ）
A．145°B．125°C．90°D．80°
9．如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°，得△A′B′O′，则点A′的坐标为（ ）
A．（3，1）B．（3，2）C．（2，3）D．（1，3）
10．抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，则一元二次方程﹣x2+bx+c=0的根为（ ）
A．x=1B．x1=1，x2=﹣1C．x1=1，x2=﹣2D．x1=1，x2=﹣3
11．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ）
A．函数有最小值B．当﹣1＜x＜2时，y＞0
C．a+b+c＜0D．当x＜，y随x的增大而减小
12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且E为OB的中点，∠CDB=30°，CD=4，则阴影部分的面积为（ ）
A．πB．4πC．πD．π
13．学校要组织足球比赛．赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛．根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．x2=21B． x（x﹣1）=21C． x2=21D．x（x﹣1）=21
14．设计师以y=2x2﹣4x+8的图形为灵感设计杯子如图所示，若AB=4，DE=3，则杯子的高CE=（ ）
A．17B．11C．8D．7
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
15．已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=5，则它的内切圆半径是 ．
16．如图，正五边形ABCD内接于⊙O，连接对角线AC，AD，则下列结论：①BC∥AD；②∠BAE=3∠CAD；③△BAC≌△EAD；④AC=2CD．其中判断正确的是 ．（填序号）
17．已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则m+n= ．
18．如图是一个圆环形黄花梨木摆件的残片，为求其外圆半径，小林在外圆上任取一点A，然后过点A作AB与残片的内圆相切于点D，作CD⊥AB交外圆于点C，测得CD=15cm，AB=60cm，则这个摆件的外圆半径是 cm．
19．如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a（x﹣m）2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标最大值为 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共68分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．解方程：
（1）x2﹣6x﹣6=0
（2）2x2﹣7x+6=0．
21．如图，△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．
（1）求证：BE=CF；
（2）当四边形ABDF为菱形时，求CD的长．
22．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（2，2），将线段OB绕点O顺时针旋转120°，点B的对应点是点B．
（1）①求点B绕点O旋转到点B1所经过的路程长；
②在图中画出，并直接写出点B1的坐标是 ；
（2）有7个球除了编号不同外，其他均相同，李南和王易设计了如下的一个规则：→装入不透明的甲袋→装入不透明的乙袋，李南从甲袋中，王易从乙袋中，各自随机地摸出一个球（不放回），把李南摸出的球的编号作为横坐标x，把王易摸出的球的编号作为纵坐标y，用列表法或画树状图法表示出（x，y）的所有可能出现的结果；
（3）李南和王易各取一次小球所确定的点（x，y）落在上的概率是 ．
23．关于x的方程kx2+（3k+1）x+3=0．
（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；
（2）当二次函数y=kx2+（3k+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为负整数时，求出函数的最大（或最小）值，并画出函数图象；
（3）若P（a，y1），Q（2，y2）是（2）中抛物线上的两点，且y1＞y2，请你结合函数图象确定实数a的取值范围．
24．如图，△ABC是等边三角形，AO⊥BC，垂足为点O，⊙O与AC相切于点D，BE⊥AB交AC的延长线于点E，与⊙O相交于G，F两点．
（1）求证：AB与⊙O相切；
（2）若AB=4，求线段GF的长．
25．一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如下表：
售价x（元/千克）…50607080…销售量y（千克）…100908070…（1）求y与x的函数关系式；
（2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？
（3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w（元）最大？此时的最大利润为多少元？
26．在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板（△ABC）按如图所示放置，若AO=2，OC=1，∠ACB=90°．
（1）直接写出点B的坐标是 ；
（2）如果抛物线l：y=ax2﹣ax﹣2经过点B，试求抛物线l的解析式；
（3）把△ABC绕着点C逆时针旋转90°后，顶点A的对应点A1是否在抛物线l上？为什么？
（4）在x轴上方，抛物线l上是否存在一点P，使由点A，C，B，P构成的四边形为中心对称图形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2015-2016学年河北省张家口市宣化县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共14个小题，1-5小题每小题2分，6-14小题每小题2分，共37分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为6，那么点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O上B．点P在⊙O内C．点P在⊙O外D．无法确定
【考点】点与圆的位置关系．
【分析】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【解答】解：∵⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为6，
∴点P到圆心O的距离大于圆的半径，
∴点P在⊙O外．
故选C．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r．
2．下列四幅图的质地大小、背面图案都一样，把它们充分洗匀后翻放在桌面上，则从中任意抽取一张，抽到的图案是中心对称图形的概率是（ ）
A．B．C．D．1
【考点】概率公式；中心对称图形．
【分析】先判断出几个图形中的中心对称图形，再根据概率公式解答即可．
【解答】解：由图形可得出：第1，2，3，个图形都是中心对称图形，
∴从中任意抽取一张，抽到的图案是中心对称图形的概率是：．
故选：C．
【点评】此题考查了概率公式和中心对称图形的定义，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
3．抛物线y=（x﹣2）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，﹣3）
【考点】二次函数的性质．
【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标，从而得出对称轴．
【解答】解：y=（x﹣2）2+3是抛物线的顶点式方程，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．
4．下列说法中错误的是（ ）
A．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中是随机事件
B．“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件
C．“抛一枚硬币，正面向上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上
D．“抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是6的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数是6”这一事件发生的频率稳定在附近
【考点】随机事件；概率的意义．
【分析】直接利用随机事件的定义结合概率的意义分别分析得出答案．
【解答】解：A．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中是随机事件，正确，不合题意；
B．“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件，正确，不合题意；
C．“抛一枚硬币，正面向上的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“正面向上”这一事件发生的频率稳定在附近，此选项错误，符合题意；
D．“抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是6的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数是6”这一事件发生的频率稳定在附近，正确．
故选：C．
【点评】此题主要考查了随机事件的定义和概率的意义，正确把握相关定义是解题关键．
5．若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则a的取值范围是（ ）
A．a＜1B．a≤4C．a≤1D．a≥1
【考点】根的判别式．
【分析】若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则根的判别式△≥0，据此可以列出关于a的不等式，通过解不等式即可求得a的值．
【解答】解：因为关于x的一元二次方程有实根，
所以△=b2﹣4ac=4﹣4a≥0，
解之得a≤1．
故选C．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
6．如图，△ABC中，AB=AC，∠ABC=70°，点O是△ABC的外心，则∠BOC的度数为（ ）
A．40°B．60°C．70°D．80°
【考点】三角形的外接圆与外心．
【分析】首先根据等腰三角形的性质可得∠A的度数，然后根据圆周角定理可得∠O=2∠A，进而可得答案．
【解答】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
∴∠A=180°﹣70°×2=40°，
∵点O是△ABC的外心，
∴∠BOC=40°×2=80°，
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形的外接圆和外心，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．
7．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣6）2=﹣4+36B．（x﹣6）2=4+36C．（x﹣3）2=﹣4+9D．（x﹣3）2=4+9
【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】根据配方法，可得方程的解．
【解答】解：x2﹣6x﹣4=0，
移项，得x2﹣6x=4，
配方，得（x﹣3）2=4+9．
故选：D．
【点评】本题考查了解一元一次方程，利用配方法解一元一次方程：移项、二次项系数化为1，配方，开方．
8．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，EC与⊙O相切于点C，∠ECB=35°，则∠D的度数是（ ）
A．145°B．125°C．90°D．80°
【考点】切线的性质．
【分析】连接BD，由AB是⊙O的直径，得∠ADB=90°，再由EC与⊙O相切于点C，∠ECB=35°，知∠BDC=35°，从而得出∠D的度数．
【解答】解：连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵EC与⊙O相切，∠ECB=35°，
∴∠BDC=35°，
∴∠D=∠ADB+∠BDC=90°+35°=125°，
故选B．
【点评】本题考查了切线的性质，以及弦切角定理和应用，解题时要认真审题，仔细解答，合理进行等价转化．
9．如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°，得△A′B′O′，则点A′的坐标为（ ）
A．（3，1）B．（3，2）C．（2，3）D．（1，3）
【考点】坐标与图形变化-旋转．
【分析】根据网格结构找出点A、B旋转后的对应点A′、B′的位置，然后与点O顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点A′的坐标．
【解答】解：如图，点A′的坐标为（1，3）．
故选D．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，熟练掌握网格结构作出旋转后的三角形，利用数形结合的思想求解更简便．
10．抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，则一元二次方程﹣x2+bx+c=0的根为（ ）
A．x=1B．x1=1，x2=﹣1C．x1=1，x2=﹣2D．x1=1，x2=﹣3
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】直接观察图象，抛物线与x轴交于1，对称轴是x=﹣1，所以根据抛物线的对称性可以求得抛物线与x轴的另一交点坐标，从而求得关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c=0的解．
【解答】解：观察图象可知，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴的一个交点为（1，0），对称轴为x=﹣1，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（﹣3，0），
∴一元二次方程2x2﹣4x+m=0的解为x1=1，x2=﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查了用函数观点解一元二次方程的方法．一元二次方程﹣x2+bx+c=0的解实质上是抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交点的横坐标的值．
11．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ）
A．函数有最小值B．当﹣1＜x＜2时，y＞0
C．a+b+c＜0D．当x＜，y随x的增大而减小
【考点】二次函数的图象．
【分析】A、观察可判断函数有最小值；B、由抛物线可知当﹣1＜x＜2时，可判断函数值的符号；C、观察当x=1时，函数值的符号，可判断a+b+c的符号；D、由抛物线对称轴和开口方向可知y随x的增大而减小，可判断结论．
【解答】解：A、由图象可知函数有最小值，故正确；
B、由抛物线可知当﹣1＜x＜2时，y＜0，故错误；
C、当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0，故正确；
D、由图象可知在对称轴的左侧y随x的增大而减小，故正确．
故选B．
【点评】本题考查了二次函数图象的性质与解析式的系数的关系．关键是熟悉各项系数与抛物线的各性质的联系．
12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且E为OB的中点，∠CDB=30°，CD=4，则阴影部分的面积为（ ）
A．πB．4πC．πD．π
【考点】扇形面积的计算．
【分析】首先证明OE=OC=OB，则可以证得△OEC≌△BED，则S阴影=半圆﹣S扇形OCB，利用扇形的面积公式即可求解．
【解答】解：∵∠COB=2∠CDB=60°，
又∵CD⊥AB，
∴∠OCE=30°，CE=DE，
∴OE=OC=OB=2，OC=4．
S阴影==．
故选D．
【点评】本题考查了扇形的面积公式，证明△OEC≌△BED，得到S阴影=半圆﹣S扇形OCB是本题的关键．
13．学校要组织足球比赛．赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛．根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．x2=21B． x（x﹣1）=21C． x2=21D．x（x﹣1）=21
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数=．即可列方程．
【解答】解：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：
x（x﹣1）=21，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系．
14．设计师以y=2x2﹣4x+8的图形为灵感设计杯子如图所示，若AB=4，DE=3，则杯子的高CE=（ ）
A．17B．11C．8D．7
【考点】二次函数的应用．
【分析】首先由y=2x2﹣4x+8求出D点的坐标为（1，6），然后根据AB=4，可知B点的横坐标为x=3，代入y=2x2﹣4x+8，得到y=14，所以CD=14﹣6=8，又DE=3，所以可知杯子高度．
【解答】解：∵y=2x2﹣4x+8=2（x﹣1）2+6，
∴抛物线顶点D的坐标为（1，6），
∵AB=4，
∴B点的横坐标为x=3，
把x=3代入y=2x2﹣4x+8，得到y=14，
∴CD=14﹣6=8，
∴CE=CD+DE=8+3=11．
故选：B．
【点评】本题主要考查了数形结合求点的坐标，求出顶点D和点B的坐标是解决问题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
15．已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=5，则它的内切圆半径是 1 ．
【考点】三角形的内切圆与内心；勾股定理的逆定理．
【分析】根据勾股定理的逆定理求出△ACB是直角三角形，设△ABC的内切圆切AC于E，切AB于F，切BC于D，连接OE、OF、OD、OA、OC、OB，内切圆的半径为R，则OE=OF=OD=R，根据S△ACB=S△AOC+S△AOB+S△BOC代入即可求出答案．
【解答】解：
∵a=3，b=4，c=5，
∴a2+b2=c2，
∴∠ACB=90°，
设△ABC的内切圆切AC于E，切AB于F，切BC于D，连接OE、OF、OD、OA、OC、OB，内切圆的半径为R，则OE=OF=OD=R，
∵S△ACB=S△AOC+S△AOB+S△BOC，
∴×AC×BC=×AC×0E+×AB×OF+×BC×OD，
∴3×4=4R+5R+3R，
解得：R=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积，三角形的内切圆等知识点的应用，解此题的关键是能得出关于R的方程，题目比较典型，难度适中．
16．如图，正五边形ABCD内接于⊙O，连接对角线AC，AD，则下列结论：①BC∥AD；②∠BAE=3∠CAD；③△BAC≌△EAD；④AC=2CD．其中判断正确的是 ①②③ ．（填序号）
【考点】正多边形和圆．
【分析】①分别求出∠BCD和∠ADC的度数，得到∠BCD+∠ADC=180°，判断出BC∥AD；
②计算出∠BAE的度数和∠CAD的度数，判断出∠BAE=3∠CAD；
③根据AB=CB，AE=DE，AC=AD，判断出③△BAC≌△EAD；
④根据“三角形的两边之和大于第三边”和“正五边形的各边相等”解答．
【解答】解：①∵∠BCD=180°﹣72°=108°，∠E=108°，
∴∠ADE=×（180°﹣108°）=36°，
∴∠ADC=108°﹣36°=72°，
∴∠BCD+∠ADC=108°+72°=180°，
∴BC∥AD，故本选项正确；
②∵∠BAE=108°，∠CAD=×=36°，
∴∠BAE=3∠CAD，故本选项正确；
③在△BAC和△EAD中，，
∴△BAC≌△EAD（SSS），故本选项正确；
④∵AB+BC＞AC，
∴2CD＞AC，
故本选项错误．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了正多边形和圆，熟悉正多边形的性质和正五边形的性质是解题的关键．
17．已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则m+n= ﹣10 ．
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据根与系数的关系得出﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n，求出即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，
∴﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n，
解得：m=﹣2，n=﹣8，
∴m+n=﹣10，
故答案为：﹣10．
【点评】本题考查了根与系数的关系的应用，能根据根与系数的关系得出﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n是解此题的关键．
18．如图是一个圆环形黄花梨木摆件的残片，为求其外圆半径，小林在外圆上任取一点A，然后过点A作AB与残片的内圆相切于点D，作CD⊥AB交外圆于点C，测得CD=15cm，AB=60cm，则这个摆件的外圆半径是 37.5 cm．
【考点】垂径定理的应用；勾股定理．
【分析】根据垂径定理求得AD=30cm，然后根据勾股定理得出方程，解方程即可求得半径．
【解答】解：如图，设点O为外圆的圆心，连接OA和OC，
∵CD=15cm，AB=60cm，
∵CD⊥AB，
∴OC⊥AB，
∴AD=AB=30cm，
∴设半径为rcm，则OD=（r﹣15）cm，
根据题意得：r2=（r﹣15）2+302，
解得：r=37.5．
∴这个摆件的外圆半径长为37.5cm；
故答案为：37.5．
【点评】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，作出辅助线构建直角三角形是本题的关键．
19．如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a（x﹣m）2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标最大值为 8 ．
【考点】二次函数综合题；解一元二次方程-直接开平方法；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】当C点横坐标最小时，抛物线顶点必为A（1，4），根据此时抛物线的对称轴，可判断出CD间的距离；
当D点横坐标最大时，抛物线顶点为B（4，4），再根据此时抛物线的对称轴及CD的长，可判断出D点横坐标最大值．
【解答】解：当点C横坐标为﹣3时，抛物线顶点为A（1，4），对称轴为x=1，此时D点横坐标为5，则CD=8；
当抛物线顶点为B（4，4）时，抛物线对称轴为x=4，且CD=8，故C（0，0），D（8，0）；
由于此时D点横坐标最大，
故点D的横坐标最大值为8；
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，用待定系数法求二次函数的解析式，用直接开平方法解一元二次方程等知识点，理解题意并根据已知求二次函数的解析式是解此题的关键，此题是一个比较典型的题目．
三、解答题（本大题共7个小题，共68分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．解方程：
（1）x2﹣6x﹣6=0
（2）2x2﹣7x+6=0．
【考点】解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-配方法．
【分析】（1）求出b2﹣4ac的值，代入公式求出即可；
（2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）x2﹣6x﹣6=0，
b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×1×（﹣6）=60，
x=，
x1=3+，x2=3﹣；
（2）2x2﹣7x+6=0，
（2x﹣3）（x﹣2）=0，
2x﹣3=0，x﹣2=0，
x1=，x2=2．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生能否选择适当的方法解一元二次方程，难度适中．
21．如图，△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．
（1）求证：BE=CF；
（2）当四边形ABDF为菱形时，求CD的长．
【考点】旋转的性质；菱形的性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）根据旋转的性质得AE=AF=AB=AC=2，∠EAF=∠BAC=45°，然后根据“SAS”证明△ABE≌△ACF，于是根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据菱形的性质得DF=AF=2，DF∥AB，再利用平行线的性质得∠1=∠BAC=45°，则可判断△ACF为等腰直角三角形，所以CF=AF=2，然后计算CF﹣DF即可．
【解答】（1）证明：∵△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，
∴AE=AF=AB=AC=2，∠EAF=∠BAC=45°，
∴∠BAC+∠3=∠EAF+∠3，即∠BAE=∠CAF，
在△ABE和△ACF中
，
∴△ABE≌△ACF，
∴BE=CF；
（2）解：∵四边形ABDF为菱形，
∴DF=AF=2，DF∥AB，
∴∠1=∠BAC=45°，
∴△ACF为等腰直角三角形，
∴CF=AF=2，
∴CD=CF﹣DF=2﹣2．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了菱形的性质．
22．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（2，2），将线段OB绕点O顺时针旋转120°，点B的对应点是点B．
（1）①求点B绕点O旋转到点B1所经过的路程长；
②在图中画出，并直接写出点B1的坐标是 （0，﹣4） ；
（2）有7个球除了编号不同外，其他均相同，李南和王易设计了如下的一个规则：→装入不透明的甲袋→装入不透明的乙袋，李南从甲袋中，王易从乙袋中，各自随机地摸出一个球（不放回），把李南摸出的球的编号作为横坐标x，把王易摸出的球的编号作为纵坐标y，用列表法或画树状图法表示出（x，y）的所有可能出现的结果；
（3）李南和王易各取一次小球所确定的点（x，y）落在上的概率是 ．
【考点】作图-旋转变换；列表法与树状图法．
【专题】计算题；作图题．
【分析】（1）①先利用勾股定理计算出OB，然后根据弧长公式计算点B绕点O旋转到点B1所经过的路程长；
②由①得∠BOH=30°，则线段OB绕点O顺时针旋转120°，点B的对应点是点B1在y轴的负半轴上，于是可得到，再写出点B1的坐标；
（2）利用树状图展示所有12种等可能的结果数；
（3）计算各点到原点的距离可判断点（x，y）落在上的结果数为2，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）①作BH⊥x轴于点H，
∵点B的坐标是（2，2），
∴BH=2，OH=2，
∴OB==4，
∴B绕点O旋转到点B1所经过的路程长==；
②如图，为所作，点B1的坐标是（0，﹣4）；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数；
（3）点（x，y）落在上的结果数为2，
所以点（x，y）落在上的概率==．
故答案为（0，﹣4），．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了弧长公式和树状图法．
23．关于x的方程kx2+（3k+1）x+3=0．
（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；
（2）当二次函数y=kx2+（3k+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为负整数时，求出函数的最大（或最小）值，并画出函数图象；
（3）若P（a，y1），Q（2，y2）是（2）中抛物线上的两点，且y1＞y2，请你结合函数图象确定实数a的取值范围．
【考点】抛物线与x轴的交点；根的判别式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．
【分析】（1）分类讨论：当k=0时，方程变形为一元一次方程，有一个实数解；当k≠0时，计算判别式得到△=（3k﹣1）2，由此得到△≥0，由此判断当k≠0时，方程有两个实数根；
（2）先由因式分解得到kx2+（3k+1）x+3=0（k≠0）的解为x1=﹣，x2=﹣3，则二次函数y=kx2+（3k+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标分别为﹣和﹣3，然后根据整数的整除性可确定整数k的值；
（3）代入点Q（2，y2）得出y2，进一步求得点Q的对称性得出对称点，结合（2）中的图象得出答案即可．
【解答】（1）证明：当k=0时，方程变形为x+3=0，解得x=﹣3；
当k≠0时，△=（3k+1）2﹣4•k•3=（3k﹣1）2，
∵（3k﹣1）2≥0，
∴△≥0，
∴当k≠0时，方程有实数根，
∴无论k取任何实数时，方程总有实数根；
（2）解：kx2+（3k+1）x+3=0（k≠0）
（kx+1）（x+3）=0，
解得：x1=﹣，x2=﹣3，
所以二次函数y=kx2+（3k+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标分别为﹣和﹣3，
根据题意得﹣为整数，且k为负整数
所以整数k=﹣1；
二次函数为y=﹣x2﹣2x+3；
函数图象如下：
（3）解：把点Q（2，y2）代入y=﹣x2﹣2x+3得y2=﹣5，
则点Q的对称点为（﹣4，﹣5），
由图象可知：当﹣4＜a＜2时，y1＞y2．
【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac，二次函数的对称性，以及利用二次函数图象解决二次函数与不等式的关系．
24．如图，△ABC是等边三角形，AO⊥BC，垂足为点O，⊙O与AC相切于点D，BE⊥AB交AC的延长线于点E，与⊙O相交于G，F两点．
（1）求证：AB与⊙O相切；
（2）若AB=4，求线段GF的长．
【考点】切线的判定与性质．
【分析】（1）过点O作OM⊥AB，垂足是M，证明OM等于圆的半径OD即可；
（2）过点O作ON⊥BE，垂足是N，连接OF，由垂径定理得出NG=NF=GF，证出四边形OMBN是矩形，在直角△OBM利用三角函数求得OM和BM的长，则BN和ON即可求得，在直角△ONF中利用勾股定理求得NF，即可得出GF的长．
【解答】（1）证明：过点O作OM⊥AB，垂足是M．如图1所示：
∵⊙O与AC相切于点D．
∴OD⊥AC，
∴∠ADO=∠AMO=90°．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠DAO=∠NAO，
∴OM=OD．
∴AB与⊙O相切；
（2）解：过点O作ON⊥BE，垂足是N，连接OF．如图：2所示：
则NG=NF=GF，
∵O是BC的中点，
∴OB=2．
在直角△OBM中，∠MBO=60°，
∴OM=OB•sin60°=，BM=OB•cos60°=1．
∵BE⊥AB，
∴四边形OMBN是矩形．
∴ON=BM=1，BN=OM=．
∵OF=OM=，
由勾股定理得：NF==，
∴GF=2NF=2．
【点评】本题考查了切线的判定与性质、等边三角形的性质、勾股定理、垂径定理；熟练掌握切线的判定和等边三角形的性质，正确作出辅助线构造矩形是解决本题的关键．
25．一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如下表：
售价x（元/千克）…50607080…销售量y（千克）…100908070…（1）求y与x的函数关系式；
（2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？
（3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w（元）最大？此时的最大利润为多少元？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据图表中的各数可得出y与x成一次函数关系，从而结合图表的数可得出y与x的关系式．
（2）根据想获得4000元的利润，列出方程求解即可；
（3）根据批发商获得的总利润w（元）=售量×每件利润可表示出w与x之间的函数表达式，再利用二次函数的最值可得出利润最大值．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），根据题意得
，
解得．
故y与x的函数关系式为y=﹣x+150；
（2）根据题意得
（﹣x+150）（x﹣20）=4000，
解得x1=70，x2=100＞90（不合题意，舍去）．
故该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为70元；
（3）w与x的函数关系式为：
w=（﹣x+150）（x﹣20）
=﹣x2+170x﹣3000
=﹣（x﹣85）2+4225，
∵﹣1＜0，
∴当x=85时，w值最大，w最大值是4225．
∴该产品每千克售价为85元时，批发商获得的利润w（元）最大，此时的最大利润为4225元．
【点评】本题考查二次函数的应用，难度较大，解答本题的关键是根据题意列出方程，另外要注意掌握二次函数的最值的求法．
26．在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板（△ABC）按如图所示放置，若AO=2，OC=1，∠ACB=90°．
（1）直接写出点B的坐标是 （3，1） ；
（2）如果抛物线l：y=ax2﹣ax﹣2经过点B，试求抛物线l的解析式；
（3）把△ABC绕着点C逆时针旋转90°后，顶点A的对应点A1是否在抛物线l上？为什么？
（4）在x轴上方，抛物线l上是否存在一点P，使由点A，C，B，P构成的四边形为中心对称图形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）要求点B坐标，首先过点B作BD⊥x轴，垂足为D，易证得△BDC≌△COA，即可得BD=OC=1，CD=OA=2，即可求得点B的坐标；
（2）利用待定系数法，将点B的坐标代入即可求出抛物线l的解析式；
（3）画出旋转后的图形，过点A1作x轴的垂线，构造全等三角形，求出点A1的坐标，代入抛物线解析式即可进行判断；
（4）由抛物线的解析式先设出点P的坐标，再根据中心对称的性质和线段中点的公式列出方程，求解即可．
【解答】解：（1）如图1，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，
∵∠BCD+∠ACO=90°，∠AC0+∠OAC=90°，
∴∠BCD=∠CAO，
又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，
在△BDC和△COA中，
，
∴△BDC≌△COA（AAS），
∴BD=OC=1，CD=OA=2，
∴点B的坐标为（3，1）；
（2）∵抛物线y=ax2﹣ax﹣2过点B（3，1），
∴1=9a﹣3a﹣2，
解得：a=，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2；
（3）旋转后如图1所示，过点A1作A1M⊥x轴，
∵把△ABC绕着点C逆时针旋转90°，
∴∠ABC=∠A1BC=90°，
∴A1，B，C共线，
在三角形BDC和三角形A1CM中
∴三角形BDC≌三角形A1CM
∴CM=CD=3﹣1=2，A1M=BD=1，
∴OM=1，
∴点A1（﹣1，﹣1），
把点x=﹣1代入y=x2﹣x﹣2，
y=﹣1，
∴点A1在抛物线上．
（4）设点P（t， t2﹣t﹣2），
点A（0，2），点C（1，0），点B（3，1），
若点P和点C对应，由中心对称的性质和线段中点公式可得：
，，
无解，
若点P和点A对应，由中心对称的性质和线段中点公式可得：
，，
无解，
若点P和点B对应，由中心对称的性质和线段中点公式可得：
，，
解得：t=﹣2，
t2﹣t﹣2=1
所以：存在，点P（﹣2，1）．
【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质，待定系数法求解析式，和中心对称的性质，难度很大，在解题中数形结合思想和分类讨论思想的应用是解题的关键．
2015-2016学年河北省张家口市宣化县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共14个小题，1-5小题每小题2分，6-14小题每小题2分，共37分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为6，那么点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O上B．点P在⊙O内C．点P在⊙O外D．无法确定
2．下列四幅图的质地大小、背面图案都一样，把它们充分洗匀后翻放在桌面上，则从中任意抽取一张，抽到的图案是中心对称图形的概率是（ ）
A．B．C．D．1
3．抛物线y=（x﹣2）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，﹣3）
4．下列说法中错误的是（ ）
A．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中是随机事件
B．“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件
C．“抛一枚硬币，正面向上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上
D．“抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是6的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数是6”这一事件发生的频率稳定在附近
5．若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则a的取值范围是（ ）
A．a＜1B．a≤4C．a≤1D．a≥1
6．如图，△ABC中，AB=AC，∠ABC=70°，点O是△ABC的外心，则∠BOC的度数为（ ）
[
A．40°B．60°C．70°D．80°
7．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣6）2=﹣4+36B．（x﹣6）2=4+36C．（x﹣3）2=﹣4+9D．（x﹣3）2=4+9
8．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，EC与⊙O相切于点C，∠ECB=35°，则∠D的度数是（ ）
A．145°B．125°C．90°D．80°
9．如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°，得△A′B′O′，则点A′的坐标为（ ）
A．（3，1）B．（3，2）C．（2，3）D．（1，3）
10．抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，则一元二次方程﹣x2+bx+c=0的根为（ ）
A．x=1B．x1=1，x2=﹣1C．x1=1，x2=﹣2D．x1=1，x2=﹣3
11．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ）
A．函数有最小值B．当﹣1＜x＜2时，y＞0
C．a+b+c＜0D．当x＜，y随x的增大而减小
12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且E为OB的中点，∠CDB=30°，CD=4，则阴影部分的面积为（ ）
A．πB．4πC．πD．π
13．学校要组织足球比赛．赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛．根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．x2=21B． x（x﹣1）=21C． x2=21D．x（x﹣1）=21
14．设计师以y=2x2﹣4x+8的图形为灵感设计杯子如图所示，若AB=4，DE=3，则杯子的高CE=（ ）
A．17B．11C．8D．7
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
15．已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=5，则它的内切圆半径是 ．
16．如图，正五边形ABCD内接于⊙O，连接对角线AC，AD，则下列结论：①BC∥AD；②∠BAE=3∠CAD；③△BAC≌△EAD；④AC=2CD．其中判断正确的是 ．（填序号）
17．已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则m+n= ．
18．如图是一个圆环形黄花梨木摆件的残片，为求其外圆半径，小林在外圆上任取一点A，然后过点A作AB与残片的内圆相切于点D，作CD⊥AB交外圆于点C，测得CD=15cm，AB=60cm，则这个摆件的外圆半径是 cm．
19．如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a（x﹣m）2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标最大值为 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共68分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．解方程：
（1）x2﹣6x﹣6=0
（2）2x2﹣7x+6=0．
21．如图，△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．
（1）求证：BE=CF；
（2）当四边形ABDF为菱形时，求CD的长．
22．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（2，2），将线段OB绕点O顺时针旋转120°，点B的对应点是点B．
（1）①求点B绕点O旋转到点B1所经过的路程长；
②在图中画出，并直接写出点B1的坐标是 ；
（2）有7个球除了编号不同外，其他均相同，李南和王易设计了如下的一个规则：→装入不透明的甲袋→装入不透明的乙袋，李南从甲袋中，王易从乙袋中，各自随机地摸出一个球（不放回），把李南摸出的球的编号作为横坐标x，把王易摸出的球的编号作为纵坐标y，用列表法或画树状图法表示出（x，y）的所有可能出现的结果；
（3）李南和王易各取一次小球所确定的点（x，y）落在上的概率是 ．
23．关于x的方程kx2+（3k+1）x+3=0．
（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；
（2）当二次函数y=kx2+（3k+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为负整数时，求出函数的最大（或最小）值，并画出函数图象；
（3）若P（a，y1），Q（2，y2）是（2）中抛物线上的两点，且y1＞y2，请你结合函数图象确定实数a的取值范围．
24．如图，△ABC是等边三角形，AO⊥BC，垂足为点O，⊙O与AC相切于点D，BE⊥AB交AC的延长线于点E，与⊙O相交于G，F两点．
（1）求证：AB与⊙O相切；
（2）若AB=4，求线段GF的长．
25．一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如下表：
售价x（元/千克）…50607080…销售量y（千克）…100908070…（1）求y与x的函数关系式；
（2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？
（3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w（元）最大？此时的最大利润为多少元？
26．在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板（△ABC）按如图所示放置，若AO=2，OC=1，∠ACB=90°．
（1）直接写出点B的坐标是 ；
（2）如果抛物线l：y=ax2﹣ax﹣2经过点B，试求抛物线l的解析式；
（3）把△ABC绕着点C逆时针旋转90°后，顶点A的对应点A1是否在抛物线l上？为什么？
（4）在x轴上方，抛物线l上是否存在一点P，使由点A，C，B，P构成的四边形为中心对称图形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2015-2016学年河北省张家口市宣化县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共14个小题，1-5小题每小题2分，6-14小题每小题2分，共37分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为6，那么点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O上B．点P在⊙O内C．点P在⊙O外D．无法确定
【考点】点与圆的位置关系．
【分析】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【解答】解：∵⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为6，
∴点P到圆心O的距离大于圆的半径，
∴点P在⊙O外．
故选C．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r．
2．下列四幅图的质地大小、背面图案都一样，把它们充分洗匀后翻放在桌面上，则从中任意抽取一张，抽到的图案是中心对称图形的概率是（ ）
A．B．C．D．1
【考点】概率公式；中心对称图形．
【分析】先判断出几个图形中的中心对称图形，再根据概率公式解答即可．
【解答】解：由图形可得出：第1，2，3，个图形都是中心对称图形，
∴从中任意抽取一张，抽到的图案是中心对称图形的概率是：．
故选：C．
【点评】此题考查了概率公式和中心对称图形的定义，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
3．抛物线y=（x﹣2）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，﹣3）
【考点】二次函数的性质．
【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标，从而得出对称轴．
【解答】解：y=（x﹣2）2+3是抛物线的顶点式方程，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．
4．下列说法中错误的是（ ）
A．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中是随机事件
B．“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件
C．“抛一枚硬币，正面向上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上
D．“抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是6的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数是6”这一事件发生的频率稳定在附近
【考点】随机事件；概率的意义．
【分析】直接利用随机事件的定义结合概率的意义分别分析得出答案．
【解答】解：A．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中是随机事件，正确，不合题意；
B．“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件，正确，不合题意；
C．“抛一枚硬币，正面向上的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“正面向上”这一事件发生的频率稳定在附近，此选项错误，符合题意；
D．“抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是6的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数是6”这一事件发生的频率稳定在附近，正确．
故选：C．
【点评】此题主要考查了随机事件的定义和概率的意义，正确把握相关定义是解题关键．
5．若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则a的取值范围是（ ）
A．a＜1B．a≤4C．a≤1D．a≥1
【考点】根的判别式．
【分析】若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则根的判别式△≥0，据此可以列出关于a的不等式，通过解不等式即可求得a的值．
【解答】解：因为关于x的一元二次方程有实根，
所以△=b2﹣4ac=4﹣4a≥0，
解之得a≤1．
故选C．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
6．如图，△ABC中，AB=AC，∠ABC=70°，点O是△ABC的外心，则∠BOC的度数为（ ）
A．40°B．60°C．70°D．80°
【考点】三角形的外接圆与外心．
【分析】首先根据等腰三角形的性质可得∠A的度数，然后根据圆周角定理可得∠O=2∠A，进而可得答案．
【解答】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
∴∠A=180°﹣70°×2=40°，
∵点O是△ABC的外心，
∴∠BOC=40°×2=80°，
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形的外接圆和外心，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．
7．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣6）2=﹣4+36B．（x﹣6）2=4+36C．（x﹣3）2=﹣4+9D．（x﹣3）2=4+9
【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】根据配方法，可得方程的解．
【解答】解：x2﹣6x﹣4=0，
移项，得x2﹣6x=4，
配方，得（x﹣3）2=4+9．
故选：D．
【点评】本题考查了解一元一次方程，利用配方法解一元一次方程：移项、二次项系数化为1，配方，开方．
8．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，EC与⊙O相切于点C，∠ECB=35°，则∠D的度数是（ ）
A．145°B．125°C．90°D．80°
【考点】切线的性质．
【分析】连接BD，由AB是⊙O的直径，得∠ADB=90°，再由EC与⊙O相切于点C，∠ECB=35°，知∠BDC=35°，从而得出∠D的度数．
【解答】解：连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵EC与⊙O相切，∠ECB=35°，
∴∠BDC=35°，
∴∠D=∠ADB+∠BDC=90°+35°=125°，
故选B．
【点评】本题考查了切线的性质，以及弦切角定理和应用，解题时要认真审题，仔细解答，合理进行等价转化．
9．如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°，得△A′B′O′，则点A′的坐标为（ ）
A．（3，1）B．（3，2）C．（2，3）D．（1，3）
【考点】坐标与图形变化-旋转．
【分析】根据网格结构找出点A、B旋转后的对应点A′、B′的位置，然后与点O顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点A′的坐标．
【解答】解：如图，点A′的坐标为（1，3）．
故选D．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，熟练掌握网格结构作出旋转后的三角形，利用数形结合的思想求解更简便．
10．抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，则一元二次方程﹣x2+bx+c=0的根为（ ）
A．x=1B．x1=1，x2=﹣1C．x1=1，x2=﹣2D．x1=1，x2=﹣3
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】直接观察图象，抛物线与x轴交于1，对称轴是x=﹣1，所以根据抛物线的对称性可以求得抛物线与x轴的另一交点坐标，从而求得关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c=0的解．
【解答】解：观察图象可知，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴的一个交点为（1，0），对称轴为x=﹣1，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（﹣3，0），
∴一元二次方程2x2﹣4x+m=0的解为x1=1，x2=﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查了用函数观点解一元二次方程的方法．一元二次方程﹣x2+bx+c=0的解实质上是抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交点的横坐标的值．
11．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ）
A．函数有最小值B．当﹣1＜x＜2时，y＞0
C．a+b+c＜0D．当x＜，y随x的增大而减小
【考点】二次函数的图象．
【分析】A、观察可判断函数有最小值；B、由抛物线可知当﹣1＜x＜2时，可判断函数值的符号；C、观察当x=1时，函数值的符号，可判断a+b+c的符号；D、由抛物线对称轴和开口方向可知y随x的增大而减小，可判断结论．
【解答】解：A、由图象可知函数有最小值，故正确；
B、由抛物线可知当﹣1＜x＜2时，y＜0，故错误；
C、当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0，故正确；
D、由图象可知在对称轴的左侧y随x的增大而减小，故正确．
故选B．
【点评】本题考查了二次函数图象的性质与解析式的系数的关系．关键是熟悉各项系数与抛物线的各性质的联系．
12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且E为OB的中点，∠CDB=30°，CD=4，则阴影部分的面积为（ ）
A．πB．4πC．πD．π
【考点】扇形面积的计算．
【分析】首先证明OE=OC=OB，则可以证得△OEC≌△BED，则S阴影=半圆﹣S扇形OCB，利用扇形的面积公式即可求解．
【解答】解：∵∠COB=2∠CDB=60°，
又∵CD⊥AB，
∴∠OCE=30°，CE=DE，
∴OE=OC=OB=2，OC=4．
S阴影==．
故选D．
【点评】本题考查了扇形的面积公式，证明△OEC≌△BED，得到S阴影=半圆﹣S扇形OCB是本题的关键．
13．学校要组织足球比赛．赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛．根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．x2=21B． x（x﹣1）=21C． x2=21D．x（x﹣1）=21
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数=．即可列方程．
【解答】解：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：
x（x﹣1）=21，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系．
14．设计师以y=2x2﹣4x+8的图形为灵感设计杯子如图所示，若AB=4，DE=3，则杯子的高CE=（ ）
A．17B．11C．8D．7
【考点】二次函数的应用．
【分析】首先由y=2x2﹣4x+8求出D点的坐标为（1，6），然后根据AB=4，可知B点的横坐标为x=3，代入y=2x2﹣4x+8，得到y=14，所以CD=14﹣6=8，又DE=3，所以可知杯子高度．
【解答】解：∵y=2x2﹣4x+8=2（x﹣1）2+6，
∴抛物线顶点D的坐标为（1，6），
∵AB=4，
∴B点的横坐标为x=3，
把x=3代入y=2x2﹣4x+8，得到y=14，
∴CD=14﹣6=8，
∴CE=CD+DE=8+3=11．
故选：B．
【点评】本题主要考查了数形结合求点的坐标，求出顶点D和点B的坐标是解决问题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
15．已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=5，则它的内切圆半径是 1 ．
【考点】三角形的内切圆与内心；勾股定理的逆定理．
【分析】根据勾股定理的逆定理求出△ACB是直角三角形，设△ABC的内切圆切AC于E，切AB于F，切BC于D，连接OE、OF、OD、OA、OC、OB，内切圆的半径为R，则OE=OF=OD=R，根据S△ACB=S△AOC+S△AOB+S△BOC代入即可求出答案．
【解答】解：
∵a=3，b=4，c=5，
∴a2+b2=c2，
∴∠ACB=90°，
设△ABC的内切圆切AC于E，切AB于F，切BC于D，连接OE、OF、OD、OA、OC、OB，内切圆的半径为R，则OE=OF=OD=R，
∵S△ACB=S△AOC+S△AOB+S△BOC，
∴×AC×BC=×AC×0E+×AB×OF+×BC×OD，
∴3×4=4R+5R+3R，
解得：R=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积，三角形的内切圆等知识点的应用，解此题的关键是能得出关于R的方程，题目比较典型，难度适中．
16．如图，正五边形ABCD内接于⊙O，连接对角线AC，AD，则下列结论：①BC∥AD；②∠BAE=3∠CAD；③△BAC≌△EAD；④AC=2CD．其中判断正确的是 ①②③ ．（填序号）
【考点】正多边形和圆．
【分析】①分别求出∠BCD和∠ADC的度数，得到∠BCD+∠ADC=180°，判断出BC∥AD；
②计算出∠BAE的度数和∠CAD的度数，判断出∠BAE=3∠CAD；
③根据AB=CB，AE=DE，AC=AD，判断出③△BAC≌△EAD；
④根据“三角形的两边之和大于第三边”和“正五边形的各边相等”解答．
【解答】解：①∵∠BCD=180°﹣72°=108°，∠E=108°，
∴∠ADE=×（180°﹣108°）=36°，
∴∠ADC=108°﹣36°=72°，
∴∠BCD+∠ADC=108°+72°=180°，
∴BC∥AD，故本选项正确；
②∵∠BAE=108°，∠CAD=×=36°，
∴∠BAE=3∠CAD，故本选项正确；
③在△BAC和△EAD中，，
∴△BAC≌△EAD（SSS），故本选项正确；
④∵AB+BC＞AC，
∴2CD＞AC，
故本选项错误．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了正多边形和圆，熟悉正多边形的性质和正五边形的性质是解题的关键．
17．已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则m+n= ﹣10 ．
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据根与系数的关系得出﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n，求出即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，
∴﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n，
解得：m=﹣2，n=﹣8，
∴m+n=﹣10，
故答案为：﹣10．
【点评】本题考查了根与系数的关系的应用，能根据根与系数的关系得出﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n是解此题的关键．
18．如图是一个圆环形黄花梨木摆件的残片，为求其外圆半径，小林在外圆上任取一点A，然后过点A作AB与残片的内圆相切于点D，作CD⊥AB交外圆于点C，测得CD=15cm，AB=60cm，则这个摆件的外圆半径是 37.5 cm．
【考点】垂径定理的应用；勾股定理．
【分析】根据垂径定理求得AD=30cm，然后根据勾股定理得出方程，解方程即可求得半径．
【解答】解：如图，设点O为外圆的圆心，连接OA和OC，
∵CD=15cm，AB=60cm，
∵CD⊥AB，
∴OC⊥AB，
∴AD=AB=30cm，
∴设半径为rcm，则OD=（r﹣15）cm，
根据题意得：r2=（r﹣15）2+302，
解得：r=37.5．
∴这个摆件的外圆半径长为37.5cm；
故答案为：37.5．
【点评】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，作出辅助线构建直角三角形是本题的关键．
19．如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a（x﹣m）2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标最大值为 8 ．
【考点】二次函数综合题；解一元二次方程-直接开平方法；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】当C点横坐标最小时，抛物线顶点必为A（1，4），根据此时抛物线的对称轴，可判断出CD间的距离；
当D点横坐标最大时，抛物线顶点为B（4，4），再根据此时抛物线的对称轴及CD的长，可判断出D点横坐标最大值．
【解答】解：当点C横坐标为﹣3时，抛物线顶点为A（1，4），对称轴为x=1，此时D点横坐标为5，则CD=8；
当抛物线顶点为B（4，4）时，抛物线对称轴为x=4，且CD=8，故C（0，0），D（8，0）；
由于此时D点横坐标最大，
故点D的横坐标最大值为8；
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，用待定系数法求二次函数的解析式，用直接开平方法解一元二次方程等知识点，理解题意并根据已知求二次函数的解析式是解此题的关键，此题是一个比较典型的题目．
三、解答题（本大题共7个小题，共68分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．解方程：
（1）x2﹣6x﹣6=0
（2）2x2﹣7x+6=0．
【考点】解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-配方法．
【分析】（1）求出b2﹣4ac的值，代入公式求出即可；
（2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）x2﹣6x﹣6=0，
b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×1×（﹣6）=60，
x=，
x1=3+，x2=3﹣；
（2）2x2﹣7x+6=0，
（2x﹣3）（x﹣2）=0，
2x﹣3=0，x﹣2=0，
x1=，x2=2．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生能否选择适当的方法解一元二次方程，难度适中．
21．如图，△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．
（1）求证：BE=CF；
（2）当四边形ABDF为菱形时，求CD的长．
【考点】旋转的性质；菱形的性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）根据旋转的性质得AE=AF=AB=AC=2，∠EAF=∠BAC=45°，然后根据“SAS”证明△ABE≌△ACF，于是根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据菱形的性质得DF=AF=2，DF∥AB，再利用平行线的性质得∠1=∠BAC=45°，则可判断△ACF为等腰直角三角形，所以CF=AF=2，然后计算CF﹣DF即可．
【解答】（1）证明：∵△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，
∴AE=AF=AB=AC=2，∠EAF=∠BAC=45°，
∴∠BAC+∠3=∠EAF+∠3，即∠BAE=∠CAF，
在△ABE和△ACF中
，
∴△ABE≌△ACF，
∴BE=CF；
（2）解：∵四边形ABDF为菱形，
∴DF=AF=2，DF∥AB，
∴∠1=∠BAC=45°，
∴△ACF为等腰直角三角形，
∴CF=AF=2，
∴CD=CF﹣DF=2﹣2．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了菱形的性质．
22．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（2，2），将线段OB绕点O顺时针旋转120°，点B的对应点是点B．
（1）①求点B绕点O旋转到点B1所经过的路程长；
②在图中画出，并直接写出点B1的坐标是 （0，﹣4） ；
（2）有7个球除了编号不同外，其他均相同，李南和王易设计了如下的一个规则：→装入不透明的甲袋→装入不透明的乙袋，李南从甲袋中，王易从乙袋中，各自随机地摸出一个球（不放回），把李南摸出的球的编号作为横坐标x，把王易摸出的球的编号作为纵坐标y，用列表法或画树状图法表示出（x，y）的所有可能出现的结果；
（3）李南和王易各取一次小球所确定的点（x，y）落在上的概率是 ．
【考点】作图-旋转变换；列表法与树状图法．
【专题】计算题；作图题．
【分析】（1）①先利用勾股定理计算出OB，然后根据弧长公式计算点B绕点O旋转到点B1所经过的路程长；
②由①得∠BOH=30°，则线段OB绕点O顺时针旋转120°，点B的对应点是点B1在y轴的负半轴上，于是可得到，再写出点B1的坐标；
（2）利用树状图展示所有12种等可能的结果数；
（3）计算各点到原点的距离可判断点（x，y）落在上的结果数为2，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）①作BH⊥x轴于点H，
∵点B的坐标是（2，2），
∴BH=2，OH=2，
∴OB==4，
∴B绕点O旋转到点B1所经过的路程长==；
②如图，为所作，点B1的坐标是（0，﹣4）；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数；
（3）点（x，y）落在上的结果数为2，
所以点（x，y）落在上的概率==．
故答案为（0，﹣4），．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了弧长公式和树状图法．
23．关于x的方程kx2+（3k+1）x+3=0．
（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；
（2）当二次函数y=kx2+（3k+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为负整数时，求出函数的最大（或最小）值，并画出函数图象；
（3）若P（a，y1），Q（2，y2）是（2）中抛物线上的两点，且y1＞y2，请你结合函数图象确定实数a的取值范围．
【考点】抛物线与x轴的交点；根的判别式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．
【分析】（1）分类讨论：当k=0时，方程变形为一元一次方程，有一个实数解；当k≠0时，计算判别式得到△=（3k﹣1）2，由此得到△≥0，由此判断当k≠0时，方程有两个实数根；
（2）先由因式分解得到kx2+（3k+1）x+3=0（k≠0）的解为x1=﹣，x2=﹣3，则二次函数y=kx2+（3k+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标分别为﹣和﹣3，然后根据整数的整除性可确定整数k的值；
（3）代入点Q（2，y2）得出y2，进一步求得点Q的对称性得出对称点，结合（2）中的图象得出答案即可．
【解答】（1）证明：当k=0时，方程变形为x+3=0，解得x=﹣3；
当k≠0时，△=（3k+1）2﹣4•k•3=（3k﹣1）2，
∵（3k﹣1）2≥0，
∴△≥0，
∴当k≠0时，方程有实数根，
∴无论k取任何实数时，方程总有实数根；
（2）解：kx2+（3k+1）x+3=0（k≠0）
（kx+1）（x+3）=0，
解得：x1=﹣，x2=﹣3，
所以二次函数y=kx2+（3k+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标分别为﹣和﹣3，
根据题意得﹣为整数，且k为负整数
所以整数k=﹣1；
二次函数为y=﹣x2﹣2x+3；
函数图象如下：
（3）解：把点Q（2，y2）代入y=﹣x2﹣2x+3得y2=﹣5，
则点Q的对称点为（﹣4，﹣5），
由图象可知：当﹣4＜a＜2时，y1＞y2．
【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac，二次函数的对称性，以及利用二次函数图象解决二次函数与不等式的关系．
24．如图，△ABC是等边三角形，AO⊥BC，垂足为点O，⊙O与AC相切于点D，BE⊥AB交AC的延长线于点E，与⊙O相交于G，F两点．
（1）求证：AB与⊙O相切；
（2）若AB=4，求线段GF的长．
【考点】切线的判定与性质．
【分析】（1）过点O作OM⊥AB，垂足是M，证明OM等于圆的半径OD即可；
（2）过点O作ON⊥BE，垂足是N，连接OF，由垂径定理得出NG=NF=GF，证出四边形OMBN是矩形，在直角△OBM利用三角函数求得OM和BM的长，则BN和ON即可求得，在直角△ONF中利用勾股定理求得NF，即可得出GF的长．
【解答】（1）证明：过点O作OM⊥AB，垂足是M．如图1所示：
∵⊙O与AC相切于点D．
∴OD⊥AC，
∴∠ADO=∠AMO=90°．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠DAO=∠NAO，
∴OM=OD．
∴AB与⊙O相切；
（2）解：过点O作ON⊥BE，垂足是N，连接OF．如图：2所示：
则NG=NF=GF，
∵O是BC的中点，
∴OB=2．
在直角△OBM中，∠MBO=60°，
∴OM=OB•sin60°=，BM=OB•cos60°=1．
∵BE⊥AB，
∴四边形OMBN是矩形．
∴ON=BM=1，BN=OM=．
∵OF=OM=，
由勾股定理得：NF==，
∴GF=2NF=2．
【点评】本题考查了切线的判定与性质、等边三角形的性质、勾股定理、垂径定理；熟练掌握切线的判定和等边三角形的性质，正确作出辅助线构造矩形是解决本题的关键．
25．一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如下表：
售价x（元/千克）…50607080…销售量y（千克）…100908070…（1）求y与x的函数关系式；
（2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？
（3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w（元）最大？此时的最大利润为多少元？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据图表中的各数可得出y与x成一次函数关系，从而结合图表的数可得出y与x的关系式．
（2）根据想获得4000元的利润，列出方程求解即可；
（3）根据批发商获得的总利润w（元）=售量×每件利润可表示出w与x之间的函数表达式，再利用二次函数的最值可得出利润最大值．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），根据题意得
，
解得．
故y与x的函数关系式为y=﹣x+150；
（2）根据题意得
（﹣x+150）（x﹣20）=4000，
解得x1=70，x2=100＞90（不合题意，舍去）．
故该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为70元；
（3）w与x的函数关系式为：
w=（﹣x+150）（x﹣20）
=﹣x2+170x﹣3000
=﹣（x﹣85）2+4225，
∵﹣1＜0，
∴当x=85时，w值最大，w最大值是4225．
∴该产品每千克售价为85元时，批发商获得的利润w（元）最大，此时的最大利润为4225元．
【点评】本题考查二次函数的应用，难度较大，解答本题的关键是根据题意列出方程，另外要注意掌握二次函数的最值的求法．
26．在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板（△ABC）按如图所示放置，若AO=2，OC=1，∠ACB=90°．
（1）直接写出点B的坐标是 （3，1） ；
（2）如果抛物线l：y=ax2﹣ax﹣2经过点B，试求抛物线l的解析式；
（3）把△ABC绕着点C逆时针旋转90°后，顶点A的对应点A1是否在抛物线l上？为什么？
（4）在x轴上方，抛物线l上是否存在一点P，使由点A，C，B，P构成的四边形为中心对称图形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）要求点B坐标，首先过点B作BD⊥x轴，垂足为D，易证得△BDC≌△COA，即可得BD=OC=1，CD=OA=2，即可求得点B的坐标；
（2）利用待定系数法，将点B的坐标代入即可求出抛物线l的解析式；
（3）画出旋转后的图形，过点A1作x轴的垂线，构造全等三角形，求出点A1的坐标，代入抛物线解析式即可进行判断；
（4）由抛物线的解析式先设出点P的坐标，再根据中心对称的性质和线段中点的公式列出方程，求解即可．
【解答】解：（1）如图1，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，
∵∠BCD+∠ACO=90°，∠AC0+∠OAC=90°，
∴∠BCD=∠CAO，
又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，
在△BDC和△COA中，
，
∴△BDC≌△COA（AAS），
∴BD=OC=1，CD=OA=2，
∴点B的坐标为（3，1）；
（2）∵抛物线y=ax2﹣ax﹣2过点B（3，1），
∴1=9a﹣3a﹣2，
解得：a=，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2；
（3）旋转后如图1所示，过点A1作A1M⊥x轴，
∵把△ABC绕着点C逆时针旋转90°，
∴∠ABC=∠A1BC=90°，
∴A1，B，C共线，
在三角形BDC和三角形A1CM中
∴三角形BDC≌三角形A1CM
∴CM=CD=3﹣1=2，A1M=BD=1，
∴OM=1，
∴点A1（﹣1，﹣1），
把点x=﹣1代入y=x2﹣x﹣2，
y=﹣1，
∴点A1在抛物线上．
（4）设点P（t， t2﹣t﹣2），
点A（0，2），点C（1，0），点B（3，1），
若点P和点C对应，由中心对称的性质和线段中点公式可得：
，，
无解，
若点P和点A对应，由中心对称的性质和线段中点公式可得：
，，
无解，
若点P和点B对应，由中心对称的性质和线段中点公式可得：
，，
解得：t=﹣2，
t2﹣t﹣2=1
所以：存在，点P（﹣2，1）．
【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质，待定系数法求解析式，和中心对称的性质，难度很大，在解题中数形结合思想和分类讨论思想的应用是解题的关键．