人教版高中数学选修4-4练习：第二讲一第2课时圆的参数方程 Word版含解析.doc

人教版高中数学选修4-4练习：第二讲一第2课时圆的参数方程 Word版含解析.doc
第二讲 参数方程
一、曲线的参数方程
第2课时 圆的参数方程
INCLUDEPICTURE"课后作业.tif"
A级　基础巩固
一、选择题
1．已知圆P：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\r(10)cos θ，,y＝－3＋\r(10)sin θ))(θ为参数)，则圆心P及半径r分别是(　　)
A．P(1，3)，r＝10　　B．P(1，3)，r＝eq \r(10)
C．P(1，－3)，r＝eq \r(10) D．P(1，－3)，r＝10
解析：由圆P的参数方程可知圆心(1，－3)，半径r＝eq \r(10).
答案：C
2．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的参数方程为(　　)
A.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋4cos θ，,y＝－3＋4sin θ))(θ为参数)
B.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋4cos θ，,y＝3＋4sin θ))(θ为参数)
C.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2－4cos θ，,y＝3－4sin θ))(θ为参数)
D.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2－4cos θ，,y＝3－4sin θ))(θ为参数)
解析：圆的方程配方为：(x＋2)2＋(y－3)2＝16，所以圆的圆心为(－2，3)，半径为4，故参数方程为B选项．
答案：B
3．已知圆O的参数方程是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋4cos θ，,y＝－\r(3)＋4sin θ))(0≤θ<2π)，圆上点A的坐标是(4，－3eq \r(3))，则参数θ＝(　　)
A.eq \f(7π,6)　　　　B.eq \f(4π,3) C.eq \f(11π,6)　　　　D.eq \f(5π,3)
解析：由题意eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4＝2＋4cos θ，,－3\r(3)＝－\r(3)＋4sin θ))(0≤θ<2π)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cos θ＝\f(1,2)，,sin θ＝－\f(\r(3),2)))(0≤θ<2π)，解得θ＝eq \f(5π,3).
答案：D
4．若P(x，y)是圆eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋cos α，,y＝sin α))(α为参数)上任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为(　　)
A．36　　　　B．6 C．26　　　　D．25
解析：依题意P(2＋cos α，sin α)，
所以(x－5)2＋(y＋4)2＝(cos α－3)2＋(sin α＋4)2＝
26－6cos α＋8sin α＝26＋10sin(α－φ)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中cos φ＝\f(4,5)，sin φ＝\f(3,5)))，
所以当sin(α－φ)＝1，即α＝2kπ＋eq \f(π,2)＋φ(k∈Z)时，有最大值为36.
答案：A
5．直线：3x－4y－9＝0与圆：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cos θ，,y＝2sin θ))(θ为参数)的位置关系是(　　)
A．相切 B．相离
C．直线过圆心 D．相交但直线不过圆心
解析：圆心坐标为(0，0)，半径为2，显然直线不过圆心，
又圆心到直线距离d＝eq \f(9,5)<2.
所以直线与圆相交，但不过圆心．
答案：D
二、填空题
6．已知圆的方程为x2＋y2＝2x，则它的一个参数方程是______．
解析：将x2＋y2＝2x化为(x－1)2＋y2＝1知圆心坐标为(1，0)，半径r＝1，
所以它的一个参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋cos θ，,y＝sin θ))(θ为参数)．
答案：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋cos θ，,y＝sin θ))(θ为参数)
7．已知曲线方程eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋cos θ，,y＝sin θ))(θ为参数)，则该曲线上的点与定点(－1，－2)的距离的最小值为________．
解析：设曲线上动点为P(x，y)，定点为A，
则|PA|＝eq \r(（1＋cos θ＋1）2＋（sin θ＋2）2)＝
eq \r(9＋4\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))))，
故|PA|min＝eq \r(9－4\r(2))＝2eq \r(2)－1.
答案：2eq \r(2)－1
8．曲线C：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cos θ，,y＝－1＋sin θ))(θ为参数)的普通方程为__________．如果曲线C与直线x＋y＋a＝0有公共点，那么a的取值范围是________．
解析：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cos θ，,y＝－1＋sin θ))(θ为参数)消参可得
x2＋(y＋1)2＝1，
利用圆心到直线的距离d≤r得eq \f(|－1＋a|,\r(2))≤1，
解得1－eq \r(2)≤a≤1＋eq \r(2).
答案：x2＋(y＋1)2＝1　[1－eq \r(2)，1＋eq \r(2)]
三、解答题
9．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(3),2)t＋m，,y＝\f(1,2)t))(t为参数)．
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l普通方程；
(2)当m＝2时，直线l与曲线C交于A、B两点，求|AB|的值．
解：(1)由ρ＝2cos θ，得：ρ2＝2ρcos θ，
所以x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，
所以曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1.
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(3),2)t＋m，,y＝\f(1,2)t))得x＝eq \r(3)y＋m，即x－eq \r(3)y－m＝0，
所以直线l的普通方程为x－eq \r(3)y－m＝0.
(2)设圆心到直线l的距离为d，
由(1)可知直线l：x－eq \r(3)y－2＝0，
曲线C：(x－1)2＋y2＝1，
圆C的圆心坐标为(1，0)，半径为1.
则圆心到直线l的距离为d＝eq \f(|1－\r(3)×0－2|,\r(1＋（\r(3)）2))＝eq \f(1,2)，
所以|AB|＝2 eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq \r(3)，
因此|AB|的值为eq \r(3).
10．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).
(1)求C的参数方程；
(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝eq \r(3)x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．
解：(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．
可得C的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋cos t，,y＝sin t))(t为参数，0≤t≤π)．[来源:学.科.网]
(2)设D(1＋cos t，sin t)，由(1)知C是以G(1，0)为圆心，1为半径的上半圆．
因为C在点D处的切线与l垂直，
所以直线GD与l的斜率相同，tan t＝eq \r(3)，t＝eq \f(π,3).
故D的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋cos\f(π,3)，sin \f(π,3)))，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(\r(3),2))).
B级　能力提升
1．已知点P(x，y)在曲线C：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋cos θ，,y＝sin θ))(θ为参数)上，则x－2y的最大值为(　　)
A．2 B．－2
C．1＋eq \r(5) D．1－eq \r(5)
解析：由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋cos θ，,y＝sin θ，))
所以x－2y＝1＋cos θ－2sin θ＝1－(2sin θ－cos θ)＝
1－eq \r(5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(5))sin θ－\f(1,\r(5))cos θ))＝1－eq \r(5)sin(θ－φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tan φ＝\f(1,2)))，
所以x－2y的最大值为1＋eq \r(5).
答案：C
2．已知圆C：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3＋2sin θ，,y＝2cos θ))(θ∈[0，2π)，θ为参数)与x轴交于A，B两点，则|AB|＝________．
解析：令y＝2cos θ＝0，则cos θ＝0，因为θ∈[0，2π)，
故θ＝eq \f(π,2)或eq \f(3π,2)，当θ＝eq \f(π,2)时，x＝－3＋2sineq \f(π,2)＝－1，[来源:Zxxk.Com]
当θ＝eq \f(3π,2)时，x＝－3＋2sineq \f(3π,2)＝－5，[来源:学,科,网Z,X,X,K]
故|AB|＝|－1＋5|＝4.
答案：4
3．将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.
(1)写出C的参数方程；
(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．
解：(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，依题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝x1，,y＝2y1.))
由xeq \o\al(2,1)＋yeq \o\al(2,1)＝1得x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)))eq \s\up12(2)＝1，[来源:学科网ZXXK]
即曲线C的方程为x2＋eq \f(y2,4)＝1.
故C的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cos t，,y＝2sin t))(t为参数)．
(2)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(y2,4)＝1，,2x＋y－2＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2.))
不妨设P1(1，0)，P2(0，2)，则线段P1P2的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，所求直线斜率为k＝eq \f(1,2)，
于是所求直线的方程为y－1＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，[来源:学#科#网]
化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，
即ρ＝eq \f(3,4sin θ－2cos θ)为过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．