高中数学人教A版必修三 第二章 统计 学业分层测评14 Word版含答案.doc
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高中数学人教A版必修三 第二章 统计 学业分层测评14 Word版含答案.doc
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学业分层测评(十四)
变量间的相关关系
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(2015·张掖高一检测)有几组变量：
①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程；
②平均日学习时间和平均学习成绩；
③立方体的棱长和体积．
其中两个变量成正相关的是( )
A．①③ B．②③
C．②D．③
【解析】 ①是负相关；②是正相关；③是函数关系，不是相关关系．
【答案】 C
2．对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是( )
A．都可以分析出两个变量的关系
B．都可以用一条直线近似地表示两者的关系
C．都可以作出散点图
D．都可以用确定的表达式表示两者的关系
【解析】 由两个变量的数据统计，不能分析出两个变量的关系，A错；不具有线性相关的两个变量不能用一条直线近似地表示他们的关系，更不能用确定的表达式表示他们的关系，B，D错．
【答案】 C
3．对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程eq \o(y,\s\up6(^))＝eq \o(a,\s\up6(^))＋eq \o(b,\s\up6(^))x中，回归系数eq \o(b,\s\up6(^))( )
A．不能小于0B．不能大于0
C．不能等于0D．只能小于0
【解析】 当eq \o(b,\s\up6(^))＝0时，r＝0，这时不具有线性相关关系，但eq \o(b,\s\up6(^))能大于0，也能小于0.
【答案】 C
4．四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：
①y与x负相关且eq \o(y,\s\up6(^))＝2.347x－6.423；②y与x负相关且eq \o(y,\s\up6(^))＝－3.476x＋5.648；③y与x正相关且eq \o(y,\s\up6(^))＝5.437x＋8.493；④y与x正相关且eq \o(y,\s\up6(^))＝－4.326x－4.578.
其中一定不正确的结论的序号是( )
A．①②B．②③
C.③④D．①④
【解析】 由正负相关性的定义知①④一定不正确．
【答案】 D
5．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x/万元4235销售额y/万元49263954根据上表可得回归方程eq \o(y,\s\up6(^))＝eq \o(b,\s\up6(^))x＋eq \o(a,\s\up6(^))中的eq \o(b,\s\up6(^))为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为( )
A．63.6万元B．65.5万元
C．67.7万元D．72.0万元
【解析】 eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,4)(4＋2＋3＋5)＝3.5，
eq \o(\s\up6(-),\s\do0(y))＝eq \f(1,4)(49＋26＋39＋54)＝42，
所以eq \o(a,\s\up6(^))＝eq \o(\s\up6(-),\s\do0(y))－eq \o(b,\s\up6(^))eq \o(x,\s\up6(－))＝42－9.4×3.5＝9.1，
所以回归方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝9.4x＋9.1，
令x＝6，得eq \o(y,\s\up6(^))＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．故选B.
【答案】 B
二、填空题
6．若施化肥量x(千克/亩)与水稻产量y(千克/亩)的回归方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝5x＋250，当施化肥量为80千克/亩时，预计水稻产量为亩产________千克左右．
【解析】 当x＝80时，eq \o(y,\s\up6(^))＝400＋250＝650.
【答案】 650
7．已知一个回归直线方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝1.5x＋45，x∈{1，7，5，13，19}，则eq \o(\s\up6(-),\s\do0(y))＝________．
【解析】 因为eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,5)(1＋7＋5＋13＋19)＝9，
且回归直线过样本中心点(eq \o(x,\s\up6(－))，eq \o(\s\up6(-),\s\do0(y)))，
所以eq \o(\s\up6(-),\s\do0(y))＝1.5×9＋45＝58.5.
【答案】 58.5
8．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：eq \o(y,\s\up6(^))＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．
【解析】 由于eq \o(y,\s\up6(^))＝0.254x＋0.321知，当x增加1万元时，年饮食支出y增加0.254万元．
【答案】 0.254
三、解答题
9．某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据：
产量x(千件)2356成本y(万元)78912(1)画出散点图；
(2)求成本y与产量x之间的线性回归方程．(结果保留两位小数)
【解】 (1)散点图如图所示．
INCLUDEPICTURE "\\\\Prc-20801125wqg\\本地磁盘 (D)\\玉杰\\新坐标\\人A数学必修3\\人A数学必修3\\S2-33.TIF" \* MERGEFORMAT
(2)设y与产量x的线性回归方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝eq \o(b,\s\up6(^))x＋eq \o(a,\s\up6(^))，
eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(2＋3＋5＋6,4)＝4，eq \o(\s\up6(-),\s\do0(y))＝eq \f(7＋8＋9＋12,4)＝9，
＝1.10，
eq \o(a,\s\up6(^))＝y－eq \o(b,\s\up6(^))eq \o(x,\s\up6(－))＝9－1.10×4＝4.60.
∴回归方程为：eq \o(y,\s\up6(^))＝1.10x＋4.60.
10．假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的年平均维修费用y(万元)(即维修费用之和除以使用年限)，有如下的统计资料：
使用年限x23456维修费用y2.23.85.56.57.0(1)画出散点图；
(2)从散点图中发现使用年限与所支出的年平均维修费用之间关系的一般规律；
(3)求回归方程；
(4)估计使用年限为10年时所支出的年平均维修费用是多少？ 【导学号：28750043】
【解】 (1)画出散点图如图所示．
INCLUDEPICTURE "\\\\Prc-20801125wqg\\本地磁盘 (D)\\玉杰\\新坐标\\人A数学必修3\\人A数学必修3\\XTB162-18.tif" \* MERGEFORMAT
(2)由图可知，各点散布在从左下角到右上角的区域里，因此，使用年限与所支出的年平均维修费用之间成正相关，即使用年限越长，所支出的年平均维修费用越多．
(3)从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，因此，两变量呈线性相关关系．
由题表数据可得，x＝4，y＝5，eq \o(∑,\s\up10(5),\s\do8(i＝1))eq^\o( ,\s\do4(i＝1))xiyi＝112.3，eq \o(∑,\s\up10(5),\s\do8(i＝1))eq^\o( ,\s\do4(i＝1))xeq \o\al(2,i)＝90，由公式可得eq \o(b,\s\up6(^))＝eq \f(112.3－5×4×5,90－5×42)＝1.23，eq \o(a,\s\up6(^))＝y－eq \o(b,\s\up6(^))eq \o(x,\s\up6(－))＝5－1.23×4＝0.08.即回归方程是eq \o(y,\s\up6(^))＝1.23x＋0.08.
(4)由(3)知，当x＝10时，eq \o(y,\s\up6(^))＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)．
故估计使用年限为10年时所支出的年平均维修费用是12.38万元．
[能力提升]
1．(2014·湖北高考)根据如下样本数据
x345678y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0得到的回归方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝bx＋a，则( )
A．a＞0，b＞0B．a＞0，b＜0
C．a＜0，b＞0D．a＜0，b＜0
【解析】 作出散点图如下：
INCLUDEPICTURE "\\\\Prc-20801125wqg\\本地磁盘 (D)\\玉杰\\新坐标\\人A数学必修3\\人A数学必修3\\H12.TIF" \* MERGEFORMAT
观察图象可知，回归直线eq \o(y,\s\up6(^))＝bx＋a的斜率b＜0，当x＝0时，eq \o(y,\s\up6(^))＝a＞0.故a＞0，b＜0.
【答案】 B
2．工人工资y(元)与劳动生产率x(千元)的相关关系的回归方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝50＋80x，下列判断正确的是( )
A．劳动生产率为1 000元时，工人工资为130元
B．劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高80元
C．劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高130元
D．当月工资为250元时，劳动生产率为2 000元
【解析】 因为回归方程斜率为80，所以x每增加1，y平均增加80，即劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高80元．
【答案】 B
3．期中考试后，某校高三(9)班对全班65名学生的成绩进行分析，得到数学成绩y对总成绩x的回归直线方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝6＋0.4x.由此可以估计：若两个同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩大约相差________分．
【解析】 令两人的总成绩分别为x1，x2.
则对应的数学成绩估计为
eq \o(y,\s\up6(^))1＝6＋0.4x1，eq \o(y,\s\up6(^))2＝6＋0.4x2，
所以|eq \o(y,\s\up6(^))1－eq \o(y,\s\up6(^))2|＝|0.4(x1－x2)|＝0.4×50＝20.
【答案】 20
4．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得eq \o(∑,\s\up10(10),\s\do8(i＝1)) xi=80, eq \o(∑,\s\up10(10),\s\do8(i＝1)) yi=20, eq \o(∑,\s\up10(10),\s\do8(i＝1)) xi yi =184, +eq \i\su(i＝1,100,x)eq \o\al(2,i)=720.
(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a;
(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.
【解】 (1)由题意知n＝10，x＝eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n,x)i＝eq \f(80,10)＝8，
y＝eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n,y)i＝eq \f(20,10)＝2，
，
由此得b＝eq \f(lxy,lxx)＝eq \f(24,80)＝0.3，a＝eq \o(\s\up6(-),\s\do0(y))－beq \o(x,\s\up6(－))＝2－0.3×8＝－0.4.
故所求线性回归方程为y＝0.3x－0.4.
(2)由于变量y的值随x值的增加而增加(b＝0.3>0)，故x与y之间是正相关．
(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．
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学业分层测评(十四)
变量间的相关关系
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(2015·张掖高一检测)有几组变量：
①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程；
②平均日学习时间和平均学习成绩；
③立方体的棱长和体积．
其中两个变量成正相关的是( )
A．①③ B．②③
C．②D．③
【解析】 ①是负相关；②是正相关；③是函数关系，不是相关关系．
【答案】 C
2．对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是( )
A．都可以分析出两个变量的关系
B．都可以用一条直线近似地表示两者的关系
C．都可以作出散点图
D．都可以用确定的表达式表示两者的关系
【解析】 由两个变量的数据统计，不能分析出两个变量的关系，A错；不具有线性相关的两个变量不能用一条直线近似地表示他们的关系，更不能用确定的表达式表示他们的关系，B，D错．
【答案】 C
3．对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程eq \o(y,\s\up6(^))＝eq \o(a,\s\up6(^))＋eq \o(b,\s\up6(^))x中，回归系数eq \o(b,\s\up6(^))( )
A．不能小于0B．不能大于0
C．不能等于0D．只能小于0
【解析】 当eq \o(b,\s\up6(^))＝0时，r＝0，这时不具有线性相关关系，但eq \o(b,\s\up6(^))能大于0，也能小于0.
【答案】 C
4．四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：
①y与x负相关且eq \o(y,\s\up6(^))＝2.347x－6.423；②y与x负相关且eq \o(y,\s\up6(^))＝－3.476x＋5.648；③y与x正相关且eq \o(y,\s\up6(^))＝5.437x＋8.493；④y与x正相关且eq \o(y,\s\up6(^))＝－4.326x－4.578.
其中一定不正确的结论的序号是( )
A．①②B．②③
C.③④D．①④
【解析】 由正负相关性的定义知①④一定不正确．
【答案】 D
5．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x/万元4235销售额y/万元49263954根据上表可得回归方程eq \o(y,\s\up6(^))＝eq \o(b,\s\up6(^))x＋eq \o(a,\s\up6(^))中的eq \o(b,\s\up6(^))为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为( )
A．63.6万元B．65.5万元
C．67.7万元D．72.0万元
【解析】 eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,4)(4＋2＋3＋5)＝3.5，
eq \o(\s\up6(-),\s\do0(y))＝eq \f(1,4)(49＋26＋39＋54)＝42，
所以eq \o(a,\s\up6(^))＝eq \o(\s\up6(-),\s\do0(y))－eq \o(b,\s\up6(^))eq \o(x,\s\up6(－))＝42－9.4×3.5＝9.1，
所以回归方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝9.4x＋9.1，
令x＝6，得eq \o(y,\s\up6(^))＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．故选B.
【答案】 B
二、填空题
6．若施化肥量x(千克/亩)与水稻产量y(千克/亩)的回归方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝5x＋250，当施化肥量为80千克/亩时，预计水稻产量为亩产________千克左右．
【解析】 当x＝80时，eq \o(y,\s\up6(^))＝400＋250＝650.
【答案】 650
7．已知一个回归直线方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝1.5x＋45，x∈{1，7，5，13，19}，则eq \o(\s\up6(-),\s\do0(y))＝________．
【解析】 因为eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,5)(1＋7＋5＋13＋19)＝9，
且回归直线过样本中心点(eq \o(x,\s\up6(－))，eq \o(\s\up6(-),\s\do0(y)))，
所以eq \o(\s\up6(-),\s\do0(y))＝1.5×9＋45＝58.5.
【答案】 58.5
8．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：eq \o(y,\s\up6(^))＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．
【解析】 由于eq \o(y,\s\up6(^))＝0.254x＋0.321知，当x增加1万元时，年饮食支出y增加0.254万元．
【答案】 0.254
三、解答题
9．某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据：
产量x(千件)2356成本y(万元)78912(1)画出散点图；
(2)求成本y与产量x之间的线性回归方程．(结果保留两位小数)
【解】 (1)散点图如图所示．
INCLUDEPICTURE "\\\\Prc-20801125wqg\\本地磁盘 (D)\\玉杰\\新坐标\\人A数学必修3\\人A数学必修3\\S2-33.TIF" \* MERGEFORMAT
(2)设y与产量x的线性回归方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝eq \o(b,\s\up6(^))x＋eq \o(a,\s\up6(^))，
eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(2＋3＋5＋6,4)＝4，eq \o(\s\up6(-),\s\do0(y))＝eq \f(7＋8＋9＋12,4)＝9，
＝1.10，
eq \o(a,\s\up6(^))＝y－eq \o(b,\s\up6(^))eq \o(x,\s\up6(－))＝9－1.10×4＝4.60.
∴回归方程为：eq \o(y,\s\up6(^))＝1.10x＋4.60.
10．假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的年平均维修费用y(万元)(即维修费用之和除以使用年限)，有如下的统计资料：
使用年限x23456维修费用y2.23.85.56.57.0(1)画出散点图；
(2)从散点图中发现使用年限与所支出的年平均维修费用之间关系的一般规律；
(3)求回归方程；
(4)估计使用年限为10年时所支出的年平均维修费用是多少？ 【导学号：28750043】
【解】 (1)画出散点图如图所示．
INCLUDEPICTURE "\\\\Prc-20801125wqg\\本地磁盘 (D)\\玉杰\\新坐标\\人A数学必修3\\人A数学必修3\\XTB162-18.tif" \* MERGEFORMAT
(2)由图可知，各点散布在从左下角到右上角的区域里，因此，使用年限与所支出的年平均维修费用之间成正相关，即使用年限越长，所支出的年平均维修费用越多．
(3)从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，因此，两变量呈线性相关关系．
由题表数据可得，x＝4，y＝5，eq \o(∑,\s\up10(5),\s\do8(i＝1))eq^\o( ,\s\do4(i＝1))xiyi＝112.3，eq \o(∑,\s\up10(5),\s\do8(i＝1))eq^\o( ,\s\do4(i＝1))xeq \o\al(2,i)＝90，由公式可得eq \o(b,\s\up6(^))＝eq \f(112.3－5×4×5,90－5×42)＝1.23，eq \o(a,\s\up6(^))＝y－eq \o(b,\s\up6(^))eq \o(x,\s\up6(－))＝5－1.23×4＝0.08.即回归方程是eq \o(y,\s\up6(^))＝1.23x＋0.08.
(4)由(3)知，当x＝10时，eq \o(y,\s\up6(^))＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)．
故估计使用年限为10年时所支出的年平均维修费用是12.38万元．
[能力提升]
1．(2014·湖北高考)根据如下样本数据
x345678y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0得到的回归方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝bx＋a，则( )
A．a＞0，b＞0B．a＞0，b＜0
C．a＜0，b＞0D．a＜0，b＜0
【解析】 作出散点图如下：
INCLUDEPICTURE "\\\\Prc-20801125wqg\\本地磁盘 (D)\\玉杰\\新坐标\\人A数学必修3\\人A数学必修3\\H12.TIF" \* MERGEFORMAT
观察图象可知，回归直线eq \o(y,\s\up6(^))＝bx＋a的斜率b＜0，当x＝0时，eq \o(y,\s\up6(^))＝a＞0.故a＞0，b＜0.
【答案】 B
2．工人工资y(元)与劳动生产率x(千元)的相关关系的回归方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝50＋80x，下列判断正确的是( )
A．劳动生产率为1 000元时，工人工资为130元
B．劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高80元
C．劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高130元
D．当月工资为250元时，劳动生产率为2 000元
【解析】 因为回归方程斜率为80，所以x每增加1，y平均增加80，即劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高80元．
【答案】 B
3．期中考试后，某校高三(9)班对全班65名学生的成绩进行分析，得到数学成绩y对总成绩x的回归直线方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝6＋0.4x.由此可以估计：若两个同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩大约相差________分．
【解析】 令两人的总成绩分别为x1，x2.
则对应的数学成绩估计为
eq \o(y,\s\up6(^))1＝6＋0.4x1，eq \o(y,\s\up6(^))2＝6＋0.4x2，
所以|eq \o(y,\s\up6(^))1－eq \o(y,\s\up6(^))2|＝|0.4(x1－x2)|＝0.4×50＝20.
【答案】 20
4．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得eq \o(∑,\s\up10(10),\s\do8(i＝1)) xi=80, eq \o(∑,\s\up10(10),\s\do8(i＝1)) yi=20, eq \o(∑,\s\up10(10),\s\do8(i＝1)) xi yi =184, +eq \i\su(i＝1,100,x)eq \o\al(2,i)=720.
(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a;
(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.
【解】 (1)由题意知n＝10，x＝eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n,x)i＝eq \f(80,10)＝8，
y＝eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n,y)i＝eq \f(20,10)＝2，
，
由此得b＝eq \f(lxy,lxx)＝eq \f(24,80)＝0.3，a＝eq \o(\s\up6(-),\s\do0(y))－beq \o(x,\s\up6(－))＝2－0.3×8＝－0.4.
故所求线性回归方程为y＝0.3x－0.4.
(2)由于变量y的值随x值的增加而增加(b＝0.3>0)，故x与y之间是正相关．
(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．