高中人教A版数学必修4：第三章 章末检测 Word版含解析.doc

高中人教A版数学必修4：第三章 章末检测 Word版含解析.doc
第三章章末检测
　　　　　　　　　　　　　
班级____　姓名____　考号____　分数____
本试卷满分150分，考试时间120分钟．
一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．sin68°sin67°－sin23°cos68°的值为(　　)
A．－eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(2),2)
C.eq \f(\r(3),2) D．1
答案：B
解析：原式＝sin68°cos23°－cos68°sin23°＝sin(68°－23°)＝sin45°＝eq \f(\r(2),2).
2．已知sinα＝eq \f(2,3)，则cos(π－2α)等于(　　)
A．－eq \f(\r(5),3) B．－eq \f(1,9)
C.eq \f(1,9) D.eq \f(\r(5),3)
答案：B
解析：cos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin2α)＝2sin2α－1＝2×eq \f(4,9)－1＝－eq \f(1,9).
3．已知M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(sinx＝\f(1,2)))))，N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(cos2x＝\f(1,2)))))，则(　　)
A．M＝N B．M⊆N
C．N⊆M D．M∩N＝∅
答案：B
解析：由cos2x＝1－2sin2x＝eq \f(1,2)，得sinx＝±eq \f(1,2)，故选B.
4．已知sineq \f(θ,2)＝－eq \f(4,5)，coseq \f(θ,2)＝eq \f(3,5)，则角θ终边所在象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：C
解析：∵sinθ＝2sineq \f(θ,2)coseq \f(θ,2)＝－eq \f(24,25)<0，cosθ＝cos2eq \f(θ,2)－sin2eq \f(θ,2)＝－eq \f(7,25)<0，∴θ终边在第三象限．
5．函数f(x)＝lg (sin2x－cos2x)的定义域是(　　)
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(3π,4)B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,4)C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,4)D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)答案：D
解析：∵f(x)＝lg (sin2x－cos2x)＝lg (－cos2x)，∴－cos2x>0，∴cos2x<0，∴2kπ＋eq \f(π,2)<2x<2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z，∴kπ＋eq \f(π,4)6．若函数f(x)＝sinax＋cosax(a>0)的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为(　　)
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,8)，0)) B．(0,0)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8)，0)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，0))
答案：C
解析：由条件得f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax＋\f(π,4)))，又函数的最小正周期为1，故eq \f(2π,a)＝1，∴a＝2π，故f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2πx＋\f(π,4))).将x＝－eq \f(1,8)代入得函数值为0.
7．tan20°＋tan40°＋eq \r(3)(tan20°＋tan40°)等于(　　)
A.eq \f(\r(3),3) B．1
C.eq \r(3) D.eq \r(6)
答案：C
解析：tan60°＝eq \f(tan20°＋tan40°,1－tan20°·tan40°)，
∴eq \r(3)－eq \r(3)tan20°tan40°＝tan20°＋tan40°，
∴tan20°＋tan40°＋eq \r(3)tan20°tan40°＝eq \r(3).
8．关于x的方程sinx＋eq \r(3)cosx－a＝0有实数解，则实数a的范围是(　　)
A．[－2,2] B．(－2,2)
C．(－2,0) D．(0,2)
答案：A
解析：sinx＋eq \r(3)cosx－a＝0，∴a＝sinx＋eq \r(3)cosx
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sinx＋\f(\r(3),2)cosx))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))，－1≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))≤1，∴－2≤a≤2.
9．若α，β为锐角，sinα＝eq \f(2 \r(5),5)，sin(α＋β)＝eq \f(3,5)，则cosβ等于(　　)
A.eq \f(2 \r(5),5) B.eq \f(2 \r(5),25)
C.eq \f(2 \r(5),5)或eq \f(2 \r(5),25) D．－eq \f(2 \r(5),25)
答案：B
解析：cosβ＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα，
∵α为锐角cosα＝ eq \r(1－\f(20,25))＝eq \f(\r(5),5)，
∴sin(α＋β)＝eq \f(3,5)＜sinα，∴α＋β＞eq \f(π,2).
∴cos(α＋β)＝－ eq \r(1－\f(9,25))＝－eq \f(4,5)，
∴cosβ＝－eq \f(4,5)×eq \f(\r(5),5)＋eq \f(2 \r(5),5)×eq \f(3,5)＝eq \f(2 \r(5),25).
10．函数y＝sineq \f(x,2)＋eq \r(3)coseq \f(x,2)的图象的一条对称轴方程为(　　)
A．x＝eq \f(11,3)π B．x＝eq \f(5,3)π
C．x＝－eq \f(5,3)π D．x＝－eq \f(π,3)
答案：C
解析：y＝sineq \f(x,2)＋eq \r(3)coseq \f(x,2)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,3)))，
又feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)π))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)π＋\f(π,3)))
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＝－2，
∴x＝－eq \f(5,3)π为函数的一条对称轴．
11．已知θ为第三象限角，若sin4θ＋cos4θ＝eq \f(5,9)，则sin2θ等于(　　)
A.eq \f(2 \r(2),3) B．－eq \f(2 \r(2),3)
C.eq \f(2,3) D．－eq \f(2,3)
答案：A
解析：由sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝eq \f(5,9)，知sin2θcos2θ＝eq \f(2,9)，又θ为第三象限角，
∴sinθ·cosθ＝eq \f(\r(2),3)，sin2θ＝eq \f(2 \r(2),3).
12．设动直线x＝a与函数f(x)＝2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))和g(x)＝eq \r(3)cos2x的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为(　　)
A.eq \r(2) B.eq \r(3)
C．2 D．3
答案：D
解析：f(x)＝1－coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2x))＝1＋sin2x.
|MN|＝|f(a)－g(a)|＝|1＋sin2a－eq \r(3)cos2a|＝|2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a－\f(π,3)))＋1|≤3.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．coseq \f(π,5)coseq \f(2,5)π的值是________．
答案：eq \f(1,4)
解析：原式＝eq \f(1,2sin\f(π,5))·2sineq \f(π,5)coseq \f(π,5)·coseq \f(2π,5)＝eq \f(1,4sin\f(π,5))·2sineq \f(2π,5)coseq \f(2,5)π＝eq \f(1,4sin\f(π,5))sineq \f(4,5)π＝eq \f(1,4).
14．已知sinα＝eq \f(1,2)＋cosα，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则eq \f(cos2α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4))))的值为________．
答案：－eq \f(\r(14),2)
解析：∵sin2α＋cos2α＝1，sinα＝eq \f(1,2)＋cosα，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋cosα))2＋cos2α＝1，∴2cos2α＋cosα－eq \f(3,4)＝0，
∴cosα＝eq \f(－1±\r(7),4)，
∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴cosα>0，
∴cosα＝eq \f(\r(7)－1,4)，∴sinα＝eq \f(1,2)＋cosα＝eq \f(\r(7)＋1,4)，
∴eq \f(cos2α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4))))＝eq \f(cos2α－sin2α,\f(\r(2),2)sinα－cosα)＝－eq \r(2)(sinα＋cosα)＝－eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(7)＋1,4)＋\f(\r(7)－1,4)))＝－eq \f(\r(14),2).
15．已知cosα＝eq \f(1,3)，cos(α＋β)＝－eq \f(1,3)，且α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则cos(α－β)的值为________．
答案：eq \f(23,27)
解析：∵cosα＝eq \f(1,3)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，
∴sinα＝eq \f(2 \r(2),3)，∴sin2α＝eq \f(4 \r(2),9)，cos2α＝－eq \f(7,9).
又cos(α＋β)＝－eq \f(1,3)，α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝eq \f(2 \r(2),3).
∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]
＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,9)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＋eq \f(4 \r(2),9)×eq \f(2 \r(2),3)＝eq \f(23,27).
16．函数f(x)＝eq \r(3)cos(3x－θ)－sin(3x－θ)是奇函数，则tanθ等于________．
答案：－eq \r(3)
解析：∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，∴eq \r(3)cos(－θ)－sin(－θ)＝0，∴eq \r(3)cosθ＋sinθ＝0，∴tanθ＝－eq \r(3).
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)已知eq \f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝3，tan(α－β)＝2，求tan(β－2α)的值．
解：∵eq \f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq \f(tanα＋1,tanα－1)＝3，∴tanα＝2，
∵tan(α－β)＝2，∴tan(β－α)＝－2，
∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝eq \f(tanβ－α－tanα,1＋tanβ－αtanα)＝eq \f(－2－2,1＋－2×2)＝eq \f(4,3).
18．(12分)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|＝eq \f(2 \r(5),5)，求cos(α－β)的值．
解：∵a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，
∴a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)，
∴|a－b|＝eq \r(cosα－cosβ2＋sinα－sinβ2)
＝eq \r(2－2cosα－β)＝eq \f(2 \r(5),5)，
∴cos(α－β)＝eq \f(3,5).
19．(12分)已知函数f(x)＝－2 eq \r(3)sin2x＋sin2x＋eq \r(3).
INCLUDEPICTURE"境3.tif"
(1)求函数f(x)的最小正周期和最小值；
(2)在给出的直角坐标系中，画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象．
解：(1)f(x)＝eq \r(3)(1－2sin2x)＋sin2x
＝sin2x＋eq \r(3)cos2x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，
所以f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π，最小值为－2.
(2)列表：
x0eq \f(π,12)eq \f(π,3)eq \f(7π,12)eq \f(5π,6)π2x＋eq \f(π,3)eq \f(π,3)eq \f(π,2)πeq \f(3π,2)2πeq \f(7π,3)f(x)eq \r(3)20－20eq \r(3)描点连线得图象，如图所示．
INCLUDEPICTURE"境4.tif"
20．(12分)已知向量a＝(sinθ，－2)与b＝(1，cosθ)互相垂直，其中θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).
(1)求sinθ和cosθ的值；
(2)若sin(θ－φ)＝eq \f(\r(10),10)，0<φ解：(1)∵a⊥b，∴sinθ×1＋(－2)×cosθ＝0⇒sinθ＝2cosθ.
∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴4cos2θ＋cos2θ＝1⇒cos2θ＝eq \f(1,5).
∵θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴cosθ＝eq \f(\r(5),5)，sinθ＝eq \f(2 \r(5),5).
(2)解法一：由sin(θ－φ)＝eq \f(\r(10),10)得，
sinθcosφ－cosθsinφ＝eq \f(\r(10),10)⇒sinφ＝2cosφ－eq \f(\r(2),2)，
∴sin2φ＋cos2φ＝5cos2φ－2 eq \r(2)cosφ＋eq \f(1,2)＝1⇒5cos2φ－2 eq \r(2)cosφ－eq \f(1,2)＝0.
解得cosφ＝eq \f(\r(2),2)或cosφ＝－eq \f(\r(2),10)，
∵0<φ解法二：∵0<θ，φ所以cos(θ－φ)＝eq \r(1－sin2θ－φ)＝eq \f(3\r(10),10).
故cosφ＝cos[(θ－(θ－φ)]＝cosθcos(θ－φ)＋sinθsin(θ－φ)
＝eq \f(\r(5),5)×eq \f(3 \r(10),10)＋eq \f(2 \r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＝eq \f(\r(2),2).
21．(12分)已知函数f(x)＝eq \r(2)sinx＋eq \r(2)cos(x－π)．
(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；
(2)若函数f(x)的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α，\f(6,5)))，eq \f(π,4)<α解：(1)由题意得，f(x)＝eq \r(2)sinx＋eq \r(2)cos(x－π)＝eq \r(2)sinx－eq \r(2)cosx＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))，因为－1≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))≤1，所以函数f(x)的值域为[－2,2]，函数f(x)的周期为2π.
(2)因为函数f(x)过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α，\f(6,5)))，
所以f(α)＝eq \f(6,5)⇒2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq \f(6,5)⇒
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq \f(3,5)，因为eq \f(π,4)<α所以0<α－eq \f(π,4)0⇒coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4))))＝eq \f(4,5)，
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝2sinα＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＋\f(π,4)))
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))coseq \f(π,4)＋2coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))sineq \f(π,4)⇒feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(7\r(2),5).
22．(12分)在△ABC中，f(B)＝4cosB·sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(B,2)))＋eq \r(3)cos2B－2cosB.
(1)若f(B)＝2，求角B；
(2)若f(B)－m>2恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)f(B)＝4cosB·eq \f(1－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋B)),2)＋eq \r(3)cos2B－2cosB＝2cosB(1＋sinB)＋eq \r(3)cos2B－2cosB
＝sin2B＋eq \r(3)cos2B＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2B＋\f(π,3))).
∵f(B)＝2，∴2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2B＋\f(π,3)))＝2.
∵B是△ABC的内角，
∴2B＋eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)，则B＝eq \f(π,12).
(2)若f(B)－m>2恒成立，
即2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2B＋\f(π,3)))>2＋m恒成立．
∵0∴2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2B＋\f(π,3)))∈[－2,2]，
∴2＋m<－2，即m<－4.