人教版八年级上册同步练习#12.3 第2课时 角的平分线的判定.doc
乱了夏末蓝了海|
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人教版八年级上册同步练习#12.3 第2课时 角的平分线的判定.doc
12.3 第2课时 角的平分线的判定
一、选择题
1．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A. 三条中线的交点 B. 三条高的交点
C. 三条边的垂直平分线的交点 D.三条角平分线的交点
2．如图，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D、C，AD与BC相交于点P，若PA=PB，则∠1与∠2的大小是（ ）21教育网
A．∠1=∠2B．∠1＞∠2C．∠1＜∠2D．无法确定
HYPERLINK HYPERLINK HYPERLINK
第2题图 第3题图 第4题图
3. 如图，在Rt△ABC的斜边BC上截取CD=CA，过点D作DE⊥BC，交AB于E，则下列结论一定正确的是（ ）21cnjy.com
A．AE=BEB．DB=DEC．AE=BDD．∠BCE=∠ACE
4. 如图，△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等；
∠A=40°，则∠BOC=（ ）
A．110°B．120°C．130°D．140°
5．如图，,△ABC的两个外角平分线交于点P，则下列结论正确的是（ ）
①PA=PC ②BP平分∠ABC ③P到AB，BC的距离相等 ④BP平分∠APC．
A．①②B．①④C．②③D．③④
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第5题图 第6题图 第7题图
6．如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A、1处 B、2处 C、3处 D、4处
7．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，M为AD上任意一点，则下列结论错误的是（ ）21世纪教育网版权所有
（A）DE＝DF． （B）ME＝MF． （C）AE＝AF． （D）BD＝DC．
8. 如图，△ABC，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，有下列四个结论：21·cn·jy·com
①DA平分∠EDF； ②AE=AF； ③AD上的点到B、C两点的距离相等；
④到AE，AF距离相等的点到DE、DF的距离也相等．
其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个 HYPERLINK HYPERLINK HYPERLINK
第8题图 第10题图 第11题图
二、填空题
9. 在角的内部到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的 ．
10.如图，∠AOB=70°，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC=QD，则∠AOQ= °．
11.如图，AB∥CD，点P到AB、BC、CD距离都相等，则∠P= °．
12.如图，已知PA⊥ON于A，PB⊥OM于B，且PA=PB，∠MON=50°，
∠OPC=30°，则∠PCA= °．
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第12题图 第13题图
13.如图，△ABC的∠A HYPERLINK BC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE相交于点P，若点P到AC的距离为4，则点P到AB的距离为 .
14.如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=36°，DE⊥AB于D，且EC=ED，
∠EBC= °
15.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，连接BD，BD⊥CD，
∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为
HYPERLINK HYPERLINK HYPERLINK 第14题图 第15题图 第16题图
16.如图，点M在∠ABC内，ME⊥AB于E点，MF⊥BC于F点，且ME=MF，∠ABC=70°，则∠BME= °．www.21-cn-jy.com
三、解答题
17. 如图， EMBED Equation.DSMT4 表示两条相交的公路，现要在 EMBED Equation.DSMT4 的内部建一个物流中心．设计时要求该物流中心到两条公路的距离相等，且到公路交叉处 EMBED Equation.DSMT4 点的距离为1 000米．2·1·c·n·j·y
（1）若要以 EMBED Equation.DSMT4 的比例尺画设计图，求物流中心到公路交叉处 EMBED Equation.DSMT4 点的
图上距离；
（2）在图中画出物流中心的位置 EMBED Equation.DSMT4 ．
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18． 如图，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE=AF．求证：
（1）PE=PF；
（2）点P在∠BAC的角平分线上．
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19. PB，PC分别是△ABC的外角平分线且相交于P．
求证：P在∠A的平分线上（如图）．
HYPERLINK
20．已知：如图，EMBED Equation.DSMT4，EMBED Equation.DSMT4是EMBED Equation.DSMT4的中点，EMBED Equation.DSMT4平分EMBED Equation.DSMT4．
（1）若连接EMBED Equation.DSMT4，则EMBED Equation.DSMT4是否平分EMBED Equation.DSMT4？请你证明你的结论．
（2）线段EMBED Equation.DSMT4与EMBED Equation.DSMT4有怎样的位置关系？请说明理由．
21.（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图所示）．设计了如下方案：
（Ⅰ）∠AOB是一个任意角， HYPERLINK 将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．【来源：21·世纪·教育·网】
（Ⅱ）∠AOB是一个任意角，在边 HYPERLINK OA、OB上分别取OM=ON，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．21·世纪*教育网
（1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由；
（2）在方案（Ⅰ）PM=PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA，PN⊥OB．此方案是否可行？请说明理由．www-2-1-cnjy-com
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第2课时 角的平分线的判定
一、选择题
1.D 2.A 3.D 4.A 5.C 6.D 7.D 8.D
二、填空题
9.平分线 10. 35 11. 90 12. 55 13. 4 14. 27 15. 3 16. 55
三、解答题
17.解:（1）1 000米=100 000厘米，
100 000÷50 000=2（厘米）；
(2)
HYPERLINK
18. 证明：（1）如图，连接AP并延长，
∵PE⊥AB，PF⊥AC
∴∠AEP=∠AFP=90°
又AE=AF，AP=AP，
∵在Rt△AFP和Rt△AEP中
∴Rt△AEP≌Rt△AFP（HL），
∴PE=PF．
（2）∵Rt△AEP≌Rt△AFP，
∴∠EAP=∠FAP，
∴AP是∠BAC的角平分线，
故点P在∠BAC的角平分线上．
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19.证明：过P点作PE，PH，PG分别垂直AB，BC，AC．
∵PB，PC分别是△ABC的外角平分线，
∴PE=PH，PH=PG，
∴PE=PG．
∴P点在∠A的平分线上．
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20．（1）EMBED Equation.DSMT4平分EMBED Equation.DSMT4．
证明：过点EMBED Equation.DSMT4作EMBED Equation.DSMT4，垂足为EMBED Equation.DSMT4．
EMBED Equation.DSMT4，EMBED Equation.DSMT4，EMBED Equation.DSMT4，
EMBED Equation.DSMT4（角平分线上的点到角两边的距离相等）．
又EMBED Equation.DSMT4，EMBED Equation.DSMT4．
EMBED Equation.DSMT4，EMBED Equation.DSMT4，
EMBED Equation.DSMT4EMBED Equation.DSMT4平分EMBED Equation.DSMT4（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．
（2）EMBED Equation.DSMT4，理由如下：
EMBED Equation.DSMT4，
EMBED Equation.DSMT4（垂直于同一条直线的两条直线平行）．
EMBED Equation.DSMT4（两直线平行，同旁内角互补）
又EMBED Equation.DSMT4，EMBED Equation.DSMT4（角平分线定义）
EMBED Equation.DSMT4，EMBED Equation.DSMT4，
EMBED Equation.DSMT4．即EMBED Equation.DSMT4．
21.解：（1）方案（Ⅰ）不可行．缺少证明三角形全等的条件，
∵只有OP=OP，PM=PN不能判断△OPM≌△OPN；
∴就不能判定OP就是∠AOB的平分线；
方案（Ⅱ）可行．
证明：在△OPM和△OPN中，
，
∴△OPM≌△OPN（SSS），
∴∠AOP=∠BOP（全等三角形对应角相等）；
∴OP就是∠AOB的平分线．
（2）当∠AOB是直角时，此方案可行；
∵四边形内角和为360°，∠OMP=∠ONP=90°，∠MPN=90°，
∴∠AOB=90°，
∵PM=PN，
∴OP为∠AOB的平分线．（到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上），
当∠AOB不为直角时，此方案不可行；
因为∠AOB必为90°，如果不是90°，则不能找到同时使PM⊥OA，PN⊥OB的点P的位置．
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12.3 第2课时 角的平分线的判定
一、选择题
1．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A. 三条中线的交点 B. 三条高的交点
C. 三条边的垂直平分线的交点 D.三条角平分线的交点
2．如图，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D、C，AD与BC相交于点P，若PA=PB，则∠1与∠2的大小是（ ）21教育网
A．∠1=∠2B．∠1＞∠2C．∠1＜∠2D．无法确定
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第2题图 第3题图 第4题图
3. 如图，在Rt△ABC的斜边BC上截取CD=CA，过点D作DE⊥BC，交AB于E，则下列结论一定正确的是（ ）21cnjy.com
A．AE=BEB．DB=DEC．AE=BDD．∠BCE=∠ACE
4. 如图，△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等；
∠A=40°，则∠BOC=（ ）
A．110°B．120°C．130°D．140°
5．如图，,△ABC的两个外角平分线交于点P，则下列结论正确的是（ ）
①PA=PC ②BP平分∠ABC ③P到AB，BC的距离相等 ④BP平分∠APC．
A．①②B．①④C．②③D．③④
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第5题图 第6题图 第7题图
6．如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A、1处 B、2处 C、3处 D、4处
7．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，M为AD上任意一点，则下列结论错误的是（ ）21世纪教育网版权所有
（A）DE＝DF． （B）ME＝MF． （C）AE＝AF． （D）BD＝DC．
8. 如图，△ABC，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，有下列四个结论：21·cn·jy·com
①DA平分∠EDF； ②AE=AF； ③AD上的点到B、C两点的距离相等；
④到AE，AF距离相等的点到DE、DF的距离也相等．
其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个 HYPERLINK HYPERLINK HYPERLINK
第8题图 第10题图 第11题图
二、填空题
9. 在角的内部到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的 ．
10.如图，∠AOB=70°，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC=QD，则∠AOQ= °．
11.如图，AB∥CD，点P到AB、BC、CD距离都相等，则∠P= °．
12.如图，已知PA⊥ON于A，PB⊥OM于B，且PA=PB，∠MON=50°，
∠OPC=30°，则∠PCA= °．
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第12题图 第13题图
13.如图，△ABC的∠A HYPERLINK BC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE相交于点P，若点P到AC的距离为4，则点P到AB的距离为 .
14.如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=36°，DE⊥AB于D，且EC=ED，
∠EBC= °
15.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，连接BD，BD⊥CD，
∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为
HYPERLINK HYPERLINK HYPERLINK 第14题图 第15题图 第16题图
16.如图，点M在∠ABC内，ME⊥AB于E点，MF⊥BC于F点，且ME=MF，∠ABC=70°，则∠BME= °．www.21-cn-jy.com
三、解答题
17. 如图， EMBED Equation.DSMT4 表示两条相交的公路，现要在 EMBED Equation.DSMT4 的内部建一个物流中心．设计时要求该物流中心到两条公路的距离相等，且到公路交叉处 EMBED Equation.DSMT4 点的距离为1 000米．2·1·c·n·j·y
（1）若要以 EMBED Equation.DSMT4 的比例尺画设计图，求物流中心到公路交叉处 EMBED Equation.DSMT4 点的
图上距离；
（2）在图中画出物流中心的位置 EMBED Equation.DSMT4 ．
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18． 如图，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE=AF．求证：
（1）PE=PF；
（2）点P在∠BAC的角平分线上．
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19. PB，PC分别是△ABC的外角平分线且相交于P．
求证：P在∠A的平分线上（如图）．
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20．已知：如图，EMBED Equation.DSMT4，EMBED Equation.DSMT4是EMBED Equation.DSMT4的中点，EMBED Equation.DSMT4平分EMBED Equation.DSMT4．
（1）若连接EMBED Equation.DSMT4，则EMBED Equation.DSMT4是否平分EMBED Equation.DSMT4？请你证明你的结论．
（2）线段EMBED Equation.DSMT4与EMBED Equation.DSMT4有怎样的位置关系？请说明理由．
21.（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图所示）．设计了如下方案：
（Ⅰ）∠AOB是一个任意角， HYPERLINK 将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．【来源：21·世纪·教育·网】
（Ⅱ）∠AOB是一个任意角，在边 HYPERLINK OA、OB上分别取OM=ON，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．21·世纪*教育网
（1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由；
（2）在方案（Ⅰ）PM=PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA，PN⊥OB．此方案是否可行？请说明理由．www-2-1-cnjy-com
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第2课时 角的平分线的判定
一、选择题
1.D 2.A 3.D 4.A 5.C 6.D 7.D 8.D
二、填空题
9.平分线 10. 35 11. 90 12. 55 13. 4 14. 27 15. 3 16. 55
三、解答题
17.解:（1）1 000米=100 000厘米，
100 000÷50 000=2（厘米）；
(2)
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18. 证明：（1）如图，连接AP并延长，
∵PE⊥AB，PF⊥AC
∴∠AEP=∠AFP=90°
又AE=AF，AP=AP，
∵在Rt△AFP和Rt△AEP中
∴Rt△AEP≌Rt△AFP（HL），
∴PE=PF．
（2）∵Rt△AEP≌Rt△AFP，
∴∠EAP=∠FAP，
∴AP是∠BAC的角平分线，
故点P在∠BAC的角平分线上．
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19.证明：过P点作PE，PH，PG分别垂直AB，BC，AC．
∵PB，PC分别是△ABC的外角平分线，
∴PE=PH，PH=PG，
∴PE=PG．
∴P点在∠A的平分线上．
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20．（1）EMBED Equation.DSMT4平分EMBED Equation.DSMT4．
证明：过点EMBED Equation.DSMT4作EMBED Equation.DSMT4，垂足为EMBED Equation.DSMT4．
EMBED Equation.DSMT4，EMBED Equation.DSMT4，EMBED Equation.DSMT4，
EMBED Equation.DSMT4（角平分线上的点到角两边的距离相等）．
又EMBED Equation.DSMT4，EMBED Equation.DSMT4．
EMBED Equation.DSMT4，EMBED Equation.DSMT4，
EMBED Equation.DSMT4EMBED Equation.DSMT4平分EMBED Equation.DSMT4（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．
（2）EMBED Equation.DSMT4，理由如下：
EMBED Equation.DSMT4，
EMBED Equation.DSMT4（垂直于同一条直线的两条直线平行）．
EMBED Equation.DSMT4（两直线平行，同旁内角互补）
又EMBED Equation.DSMT4，EMBED Equation.DSMT4（角平分线定义）
EMBED Equation.DSMT4，EMBED Equation.DSMT4，
EMBED Equation.DSMT4．即EMBED Equation.DSMT4．
21.解：（1）方案（Ⅰ）不可行．缺少证明三角形全等的条件，
∵只有OP=OP，PM=PN不能判断△OPM≌△OPN；
∴就不能判定OP就是∠AOB的平分线；
方案（Ⅱ）可行．
证明：在△OPM和△OPN中，
，
∴△OPM≌△OPN（SSS），
∴∠AOP=∠BOP（全等三角形对应角相等）；
∴OP就是∠AOB的平分线．
（2）当∠AOB是直角时，此方案可行；
∵四边形内角和为360°，∠OMP=∠ONP=90°，∠MPN=90°，
∴∠AOB=90°，
∵PM=PN，
∴OP为∠AOB的平分线．（到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上），
当∠AOB不为直角时，此方案不可行；
因为∠AOB必为90°，如果不是90°，则不能找到同时使PM⊥OA，PN⊥OB的点P的位置．
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