高二数学人教A版选修4-5学业分层测评1 Word版含答案.doc
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高二数学人教A版选修4-5学业分层测评1 Word版含答案.doc
学业分层测评(一)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．设a，b，c，d∈R，且a>b，c>d，则下列结论正确的是( )
A．a＋c>b＋dB．a－c>b－d
C．ac>bd D.eq \f(a,d)>eq \f(b,c)
【解析】 ∵a>b，c>d，∴a＋c>b＋d.
【答案】 A
2．设a，b∈R，若a－|b|>0，则下列不等式中正确的是( )
A．b－a>0 B．a3＋b3<0
C．b＋a>0D.a2－b2<0
【解析】 a－|b|>0⇒|b|0.故选C.
【答案】 C
3．若aA.eq \f(1,a)>eq \f(1,b) B．2a>2b
C．|a|>|b|>0 D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up21(a)>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up21(b)
【解析】 考查不等式的基本性质及其应用．取a＝－2，b＝－1验证即可求解．
【答案】 B
4．已知a＜0，－1＜b＜0，那么( )
A．a＞ab＞ab2 B．ab2＞ab＞a
C．ab＞a＞ab2D.ab＞ab2＞a
【解析】 ab2－ab＝ab(b－1)，
∵a＜0，－1＜b＜0，
∴b－1＜0，ab＞0，∴ab2－ab＜0，即ab2＜ab；
又ab2－a＝a(b2－1)，
∵－1＜b＜0，∴b2＜1，
即b2－1＜0.又a＜0，
∴ab2－a＞0，即ab2＞a.
故ab＞ab2＞a.
【答案】 D
5．设a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“b＜eq \f(1,a)”的( )
【导学号：32750004】
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 ∵0＜ab＜1，
当a＜0且b＜0时可推得b＞eq \f(1,a)，
所以“0＜ab＜1”不是“b＜eq \f(1,a)”的充分条件，①
反过来，若b＜eq \f(1,a)，
当b＜0且a＞0时，有ab＜0，推不出“0＜ab＜1”，
所以“0＜ab＜1”也不是“b＜eq \f(1,a)”的必要条件，②
由①②知，应选D.
【答案】 D
二、填空题
6．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是f(x)________g(x)．
【解析】 f(x)－g(x)＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥1＞0，
∴f(x)＞g(x)．
【答案】 ＞
7．给出四个条件：
①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0.
能得出eq \f(1,a)【解析】 eq \f(1,a)∴①②④可推出eq \f(1,a)【答案】 ①②④
8．已知α，β满足－1≤α＋β≤1,1≤α＋2β≤3，则α＋3β的取值范围是________．
【解析】 设α＋3β＝λ(α＋β)＋μ(α＋2β)，
可解得λ＝－1，μ＝2，∴α＋3β＝－(α＋β)＋2(α＋2β)．
又－1≤α＋β≤1,1≤α＋2β≤3，∴1≤α＋3β≤7.
【答案】 [1,7]
三、解答题
9．(1)已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证：eq \r(3,\f(a,d))＜eq \r(3,\f(b,c))；
(2)若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，
求证：eq \f(e,a－c2)＞eq \f(e,b－d2).
【证明】 (1)∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
∴0＜－eq \f(1,c)＜－eq \f(1,d).又a＞b＞0，
∴－eq \f(a,d)＞－eq \f(b,c)＞0，
∴ eq \r(3,\f(－a,d))＞eq \r(3,\f(－b,c))，即－eq \r(3,\f(a,d))＞－eq \r(3,\f(b,c)).
两边同乘以－1，得eq \r(3,\f(a,d))＜eq \r(3,\f(b,c)).
(2)∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0，
∴(a－c)2＞(b－d)2＞0，∴eq \f(1,a－c2)＜eq \f(1,b－d2).
又∵e＜0，
∴eq \f(e,a－c2)＞eq \f(e,b－d2).
10．设x，y为实数，且3≤xy2≤8,4≤eq \f(x2,y)≤9，求eq \f(x3,y4)的取值范围．
【解】 由4≤eq \f(x2,y)≤9，得16≤eq \f(x4,y2)≤81.①
又3≤xy2≤8，∴eq \f(1,8)≤eq \f(1,xy2)≤eq \f(1,3).②
由①×②得eq \f(1,8)×16≤eq \f(x4,y2)·eq \f(1,xy2)≤81×eq \f(1,3)，
即2≤eq \f(x3,y4)≤27，因此eq \f(x3,y4)的取值范围是[2,27]．
[能力提升]
1．若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜eq \f(1,b)或b＞eq \f(1,a)”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 对于0＜ab＜1，如果a＞0，则b＞0，a＜eq \f(1,b)成立，如果a＜0，则b＜0，b＞eq \f(1,a)成立，因此“0＜ab＜1”是“a＜eq \f(1,b)或b＞eq \f(1,a)”的充分条件；反之，若a＝－1，b＝2，结论“a＜eq \f(1,b)或b＞eq \f(1,a)”成立，但条件0＜ab＜1不成立，因此“0＜ab＜1”不是“a＜eq \f(1,b)或b＞eq \f(1,a)”的必要条件，即“0＜ab＜1”是“a＜eq \f(1,b)或b＞eq \f(1,a)”的充分而不必要条件．
【答案】 A
2．设a＞b＞1，c＜0，给出下列三个结论：
①eq \f(c,a)＞eq \f(c,b)；②ac＜bc；③logb(a－c)＞loga(b－c)．
其中所有的正确结论的序号是( )
A．① B．①②
C．②③D.①②③
【解析】 由a＞b＞1，c＜0，得eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)，eq \f(c,a)＞eq \f(c,b)；幂函数y＝xc(c＜0)是减函数，所以ac＜bc；因为a－c＞b－c，所以logb(a－c)＞loga(a－c)＞loga(b－c)，①②③均正确．
【答案】 D
3．给出下列条件：①1＜a＜b；②0＜a＜b＜1；③0＜a＜1＜b.其中能推出logbeq \f(1,b)＜logaeq \f(1,b)＜logab成立的条件的序号是________．(填所有可能的条件的序号)
【解析】 ∵logbeq \f(1,b)＝－1，
若1＜a＜b，则eq \f(1,b)＜eq \f(1,a)＜1＜b，
∴logaeq \f(1,b)＜logaeq \f(1,a)＝－1，故条件①不可以；
若0＜a＜b＜1，则b＜1＜eq \f(1,b)＜eq \f(1,a)，
∴logab＞logaeq \f(1,b)＞logaeq \f(1,a)＝－1＝logbeq \f(1,b)，
故条件②可以；
若0＜a＜1＜b，则0＜eq \f(1,b)＜1，
∴logaeq \f(1,b)＞0，
logab＜0，条件③不可以．故应填②.
【答案】 ②
4．已知f(x)＝ax2＋c，且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围.
【导学号：32750005】
【解】 由－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－4≤a＋c≤－1，,－1≤4a＋c≤5.))
设u＝a＋c，v＝4a＋c，则有a＝eq \f(v－u,3)，c＝eq \f(4u－v,3)，
∴f(3)＝9a＋c＝－eq \f(5,3)u＋eq \f(8,3)v.
又eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－4≤u≤－1，,－1≤v≤5，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(5,3)≤－\f(5,3)u≤\f(20,3)，,－\f(8,3)≤\f(8,3)v≤\f(40,3)，))
∴－1≤－eq \f(5,3)u＋eq \f(8,3)v≤20，
即－1≤f(3)≤20.
∴f(3)的取值范围为[－1,20].
学业分层测评(一)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．设a，b，c，d∈R，且a>b，c>d，则下列结论正确的是( )
A．a＋c>b＋dB．a－c>b－d
C．ac>bd D.eq \f(a,d)>eq \f(b,c)
【解析】 ∵a>b，c>d，∴a＋c>b＋d.
【答案】 A
2．设a，b∈R，若a－|b|>0，则下列不等式中正确的是( )
A．b－a>0 B．a3＋b3<0
C．b＋a>0D.a2－b2<0
【解析】 a－|b|>0⇒|b|
【答案】 C
3．若a
C．|a|>|b|>0 D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up21(a)>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up21(b)
【解析】 考查不等式的基本性质及其应用．取a＝－2，b＝－1验证即可求解．
【答案】 B
4．已知a＜0，－1＜b＜0，那么( )
A．a＞ab＞ab2 B．ab2＞ab＞a
C．ab＞a＞ab2D.ab＞ab2＞a
【解析】 ab2－ab＝ab(b－1)，
∵a＜0，－1＜b＜0，
∴b－1＜0，ab＞0，∴ab2－ab＜0，即ab2＜ab；
又ab2－a＝a(b2－1)，
∵－1＜b＜0，∴b2＜1，
即b2－1＜0.又a＜0，
∴ab2－a＞0，即ab2＞a.
故ab＞ab2＞a.
【答案】 D
5．设a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“b＜eq \f(1,a)”的( )
【导学号：32750004】
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 ∵0＜ab＜1，
当a＜0且b＜0时可推得b＞eq \f(1,a)，
所以“0＜ab＜1”不是“b＜eq \f(1,a)”的充分条件，①
反过来，若b＜eq \f(1,a)，
当b＜0且a＞0时，有ab＜0，推不出“0＜ab＜1”，
所以“0＜ab＜1”也不是“b＜eq \f(1,a)”的必要条件，②
由①②知，应选D.
【答案】 D
二、填空题
6．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是f(x)________g(x)．
【解析】 f(x)－g(x)＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥1＞0，
∴f(x)＞g(x)．
【答案】 ＞
7．给出四个条件：
①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0.
能得出eq \f(1,a)
8．已知α，β满足－1≤α＋β≤1,1≤α＋2β≤3，则α＋3β的取值范围是________．
【解析】 设α＋3β＝λ(α＋β)＋μ(α＋2β)，
可解得λ＝－1，μ＝2，∴α＋3β＝－(α＋β)＋2(α＋2β)．
又－1≤α＋β≤1,1≤α＋2β≤3，∴1≤α＋3β≤7.
【答案】 [1,7]
三、解答题
9．(1)已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证：eq \r(3,\f(a,d))＜eq \r(3,\f(b,c))；
(2)若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，
求证：eq \f(e,a－c2)＞eq \f(e,b－d2).
【证明】 (1)∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
∴0＜－eq \f(1,c)＜－eq \f(1,d).又a＞b＞0，
∴－eq \f(a,d)＞－eq \f(b,c)＞0，
∴ eq \r(3,\f(－a,d))＞eq \r(3,\f(－b,c))，即－eq \r(3,\f(a,d))＞－eq \r(3,\f(b,c)).
两边同乘以－1，得eq \r(3,\f(a,d))＜eq \r(3,\f(b,c)).
(2)∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0，
∴(a－c)2＞(b－d)2＞0，∴eq \f(1,a－c2)＜eq \f(1,b－d2).
又∵e＜0，
∴eq \f(e,a－c2)＞eq \f(e,b－d2).
10．设x，y为实数，且3≤xy2≤8,4≤eq \f(x2,y)≤9，求eq \f(x3,y4)的取值范围．
【解】 由4≤eq \f(x2,y)≤9，得16≤eq \f(x4,y2)≤81.①
又3≤xy2≤8，∴eq \f(1,8)≤eq \f(1,xy2)≤eq \f(1,3).②
由①×②得eq \f(1,8)×16≤eq \f(x4,y2)·eq \f(1,xy2)≤81×eq \f(1,3)，
即2≤eq \f(x3,y4)≤27，因此eq \f(x3,y4)的取值范围是[2,27]．
[能力提升]
1．若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜eq \f(1,b)或b＞eq \f(1,a)”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 对于0＜ab＜1，如果a＞0，则b＞0，a＜eq \f(1,b)成立，如果a＜0，则b＜0，b＞eq \f(1,a)成立，因此“0＜ab＜1”是“a＜eq \f(1,b)或b＞eq \f(1,a)”的充分条件；反之，若a＝－1，b＝2，结论“a＜eq \f(1,b)或b＞eq \f(1,a)”成立，但条件0＜ab＜1不成立，因此“0＜ab＜1”不是“a＜eq \f(1,b)或b＞eq \f(1,a)”的必要条件，即“0＜ab＜1”是“a＜eq \f(1,b)或b＞eq \f(1,a)”的充分而不必要条件．
【答案】 A
2．设a＞b＞1，c＜0，给出下列三个结论：
①eq \f(c,a)＞eq \f(c,b)；②ac＜bc；③logb(a－c)＞loga(b－c)．
其中所有的正确结论的序号是( )
A．① B．①②
C．②③D.①②③
【解析】 由a＞b＞1，c＜0，得eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)，eq \f(c,a)＞eq \f(c,b)；幂函数y＝xc(c＜0)是减函数，所以ac＜bc；因为a－c＞b－c，所以logb(a－c)＞loga(a－c)＞loga(b－c)，①②③均正确．
【答案】 D
3．给出下列条件：①1＜a＜b；②0＜a＜b＜1；③0＜a＜1＜b.其中能推出logbeq \f(1,b)＜logaeq \f(1,b)＜logab成立的条件的序号是________．(填所有可能的条件的序号)
【解析】 ∵logbeq \f(1,b)＝－1，
若1＜a＜b，则eq \f(1,b)＜eq \f(1,a)＜1＜b，
∴logaeq \f(1,b)＜logaeq \f(1,a)＝－1，故条件①不可以；
若0＜a＜b＜1，则b＜1＜eq \f(1,b)＜eq \f(1,a)，
∴logab＞logaeq \f(1,b)＞logaeq \f(1,a)＝－1＝logbeq \f(1,b)，
故条件②可以；
若0＜a＜1＜b，则0＜eq \f(1,b)＜1，
∴logaeq \f(1,b)＞0，
logab＜0，条件③不可以．故应填②.
【答案】 ②
4．已知f(x)＝ax2＋c，且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围.
【导学号：32750005】
【解】 由－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－4≤a＋c≤－1，,－1≤4a＋c≤5.))
设u＝a＋c，v＝4a＋c，则有a＝eq \f(v－u,3)，c＝eq \f(4u－v,3)，
∴f(3)＝9a＋c＝－eq \f(5,3)u＋eq \f(8,3)v.
又eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－4≤u≤－1，,－1≤v≤5，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(5,3)≤－\f(5,3)u≤\f(20,3)，,－\f(8,3)≤\f(8,3)v≤\f(40,3)，))
∴－1≤－eq \f(5,3)u＋eq \f(8,3)v≤20，
即－1≤f(3)≤20.
∴f(3)的取值范围为[－1,20].