高中数学人教A版必修4课时达标检测（二十三）平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 Word版含解析.doc
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2023-03-01|
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高中数学人教A版必修4课时达标检测（二十三）平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 Word版含解析.doc
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课时达标检测（二十三）平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
一、选择题
1．(山东高考)已知向量a＝(1，eq \r(3))，b＝(3，m)，若向量a，b 的夹角为eq \f(π,6)，则实数m＝( )
A．2eq \r(3) B.eq \r( 3)
C．0D．－eq \r(3)
答案：B
2．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|等于( )
A．4eq \r(2) B．2eq \r(5)
C．8 D．8eq \r(2)
答案：D
3．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,9)，\f(7,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,3)，－\f(7,9)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，\f(7,9))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,9)，－\f(7,3)))
答案：D
4．(湖北高考)已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量 EMBED Equation.DSMT4 在 EMBED Equation.DSMT4 方向上的投影为( )
A.eq \f(3\r(2),2) B.eq \f(3 \r(15),2)
C．－eq \f(3\r(2),2) D．－eq \f(3 \r(15),2)
答案：A
5．已知i与j为互相垂直的单位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj，且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是( )
A．(－∞，－2)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2)))
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(2,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞))
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))
答案：A
二、填空题
6．已知A(1,2)，B(3,4)，|n|＝eq \r(2)，则| EMBED Equation.DSMT4 ·n|的最大值为________．
答案：4
7.如图，已知点A(1,1)和单位圆上半部分上的动点B，若 EMBED Equation.DSMT4 ⊥ EMBED Equation.DSMT4 ，则向量 EMBED Equation.DSMT4 的坐标为________．
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))
8．已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，若a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(4,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞))
三、解答题
9．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．
(1)若|c|＝2eq \r(5)，且c∥a，求c的坐标；
(2)若|b|＝eq \f(\r(5),2)，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
解：(1)设c＝(x，y)，∵|c|＝2eq \r(5)，∴eq \r(x2＋y2)＝2eq \r(5)，
∴x2＋y2＝20.
由c∥a和|c|＝2eq \r(5)，
可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1·y－2·x＝0，,x2＋y2＝20，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝－4.))
故c＝(2,4)或c＝(－2，－4)．
(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，
即2a2＋3a·b－2b2＝0，
∴2×5＋3a·b－2×eq \f(5,4)＝0，整理得a·b＝－eq \f(5,2)，
∴cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝－1.
又θ∈[0，π]，∴θ＝π.
10．平面内有向量 EMBED Equation.DSMT4 ＝(1,7)， EMBED Equation.DSMT4 ＝(5,1)， EMBED Equation.DSMT4 ＝(2,1)，点M为直线OP上的一动点．
(1)当 EMBED Equation.DSMT4 · EMBED Equation.DSMT4 取最小值时，求 EMBED Equation.DSMT4 的坐标；
(2)在(1)的条件下，求cos∠AMB的值．
解：(1)设 EMBED Equation.DSMT4 ＝(x，y)，∵点M在直线OP上，
∴向量 EMBED Equation.DSMT4 与 EMBED Equation.DSMT4 共线，又 EMBED Equation.DSMT4 ＝(2,1)．
∴x×1－y×2＝0，即x＝2y.
∴ EMBED Equation.DSMT4 ＝(2y，y)．又 EMBED Equation.DSMT4 ＝ EMBED Equation.DSMT4 － EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ＝(1,7)，
∴ EMBED Equation.DSMT4 ＝(1－2y,7－y)．
同理 EMBED Equation.DSMT4 ＝ EMBED Equation.DSMT4 － EMBED Equation.DSMT4 ＝(5－2y,1－y)．
于是 EMBED Equation.DSMT4 · EMBED Equation.DSMT4 ＝(1－2y)(5－2y)＋(7－y)(1－y)＝5y2－20y＋12.
可知当y＝eq \f(20,2×5)＝2时， EMBED Equation.DSMT4 · EMBED Equation.DSMT4 有最小值－8，此时 EMBED Equation.DSMT4 ＝(4,2)．
(2)当 EMBED Equation.DSMT4 ＝(4,2)，即y＝2时，
有 EMBED Equation.DSMT4 ＝(－3,5)， EMBED Equation.DSMT4 ＝(1，－1)，
| EMBED Equation.DSMT4 |＝eq \r(34)，| EMBED Equation.DSMT4 |＝eq \r(2)，
EMBED Equation.DSMT4 · EMBED Equation.DSMT4 ＝(－3)×1＋5×(－1)＝－8.
cos∠AMB＝eq \f( EMBED Equation.DSMT4 · EMBED Equation.DSMT4 ,| EMBED Equation.DSMT4 || EMBED Equation.DSMT4 |)＝eq \f(－8,\r(34)×\r(2))＝－eq \f(4\r(17),17).
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11．设平面向量a＝(cos α，sin α)(0≤α<2π)，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，且a与b不共线．
(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；
(2)若两个向量eq \r(3)a＋b与a－eq \r(3)b的模相等，求角α.
解：(1)证明：由题意知，
a＋b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos α－\f(1,2)，sin α＋\f(\r(3),2)))，
a－b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos α＋\f(1,2)，sin α－\f(\r(3),2)))，
∵(a＋b)·(a－b)＝cos2α－eq \f(1,4)＋sin2α－eq \f(3,4)＝0，
∴(a＋b)⊥(a－b)．
(2)|a|＝1，|b|＝1，由题意知(eq \r(3)a＋b)2＝(a－eq \r(3)b)2，化简得a·b＝0，∴－eq \f(1,2)cos α＋eq \f(\r(3),2)sin α＝0，
∴tan α＝eq \f(\r(3),3)，
又0≤α<2π，∴α＝eq \f(π,6)或α＝eq \f(7π,6).
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课时达标检测（二十三）平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
一、选择题
1．(山东高考)已知向量a＝(1，eq \r(3))，b＝(3，m)，若向量a，b 的夹角为eq \f(π,6)，则实数m＝( )
A．2eq \r(3) B.eq \r( 3)
C．0D．－eq \r(3)
答案：B
2．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|等于( )
A．4eq \r(2) B．2eq \r(5)
C．8 D．8eq \r(2)
答案：D
3．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,9)，\f(7,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,3)，－\f(7,9)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，\f(7,9))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,9)，－\f(7,3)))
答案：D
4．(湖北高考)已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量 EMBED Equation.DSMT4 在 EMBED Equation.DSMT4 方向上的投影为( )
A.eq \f(3\r(2),2) B.eq \f(3 \r(15),2)
C．－eq \f(3\r(2),2) D．－eq \f(3 \r(15),2)
答案：A
5．已知i与j为互相垂直的单位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj，且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是( )
A．(－∞，－2)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2)))
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(2,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞))
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))
答案：A
二、填空题
6．已知A(1,2)，B(3,4)，|n|＝eq \r(2)，则| EMBED Equation.DSMT4 ·n|的最大值为________．
答案：4
7.如图，已知点A(1,1)和单位圆上半部分上的动点B，若 EMBED Equation.DSMT4 ⊥ EMBED Equation.DSMT4 ，则向量 EMBED Equation.DSMT4 的坐标为________．
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))
8．已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，若a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(4,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞))
三、解答题
9．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．
(1)若|c|＝2eq \r(5)，且c∥a，求c的坐标；
(2)若|b|＝eq \f(\r(5),2)，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
解：(1)设c＝(x，y)，∵|c|＝2eq \r(5)，∴eq \r(x2＋y2)＝2eq \r(5)，
∴x2＋y2＝20.
由c∥a和|c|＝2eq \r(5)，
可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1·y－2·x＝0，,x2＋y2＝20，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝－4.))
故c＝(2,4)或c＝(－2，－4)．
(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，
即2a2＋3a·b－2b2＝0，
∴2×5＋3a·b－2×eq \f(5,4)＝0，整理得a·b＝－eq \f(5,2)，
∴cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝－1.
又θ∈[0，π]，∴θ＝π.
10．平面内有向量 EMBED Equation.DSMT4 ＝(1,7)， EMBED Equation.DSMT4 ＝(5,1)， EMBED Equation.DSMT4 ＝(2,1)，点M为直线OP上的一动点．
(1)当 EMBED Equation.DSMT4 · EMBED Equation.DSMT4 取最小值时，求 EMBED Equation.DSMT4 的坐标；
(2)在(1)的条件下，求cos∠AMB的值．
解：(1)设 EMBED Equation.DSMT4 ＝(x，y)，∵点M在直线OP上，
∴向量 EMBED Equation.DSMT4 与 EMBED Equation.DSMT4 共线，又 EMBED Equation.DSMT4 ＝(2,1)．
∴x×1－y×2＝0，即x＝2y.
∴ EMBED Equation.DSMT4 ＝(2y，y)．又 EMBED Equation.DSMT4 ＝ EMBED Equation.DSMT4 － EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ＝(1,7)，
∴ EMBED Equation.DSMT4 ＝(1－2y,7－y)．
同理 EMBED Equation.DSMT4 ＝ EMBED Equation.DSMT4 － EMBED Equation.DSMT4 ＝(5－2y,1－y)．
于是 EMBED Equation.DSMT4 · EMBED Equation.DSMT4 ＝(1－2y)(5－2y)＋(7－y)(1－y)＝5y2－20y＋12.
可知当y＝eq \f(20,2×5)＝2时， EMBED Equation.DSMT4 · EMBED Equation.DSMT4 有最小值－8，此时 EMBED Equation.DSMT4 ＝(4,2)．
(2)当 EMBED Equation.DSMT4 ＝(4,2)，即y＝2时，
有 EMBED Equation.DSMT4 ＝(－3,5)， EMBED Equation.DSMT4 ＝(1，－1)，
| EMBED Equation.DSMT4 |＝eq \r(34)，| EMBED Equation.DSMT4 |＝eq \r(2)，
EMBED Equation.DSMT4 · EMBED Equation.DSMT4 ＝(－3)×1＋5×(－1)＝－8.
cos∠AMB＝eq \f( EMBED Equation.DSMT4 · EMBED Equation.DSMT4 ,| EMBED Equation.DSMT4 || EMBED Equation.DSMT4 |)＝eq \f(－8,\r(34)×\r(2))＝－eq \f(4\r(17),17).
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11．设平面向量a＝(cos α，sin α)(0≤α<2π)，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，且a与b不共线．
(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；
(2)若两个向量eq \r(3)a＋b与a－eq \r(3)b的模相等，求角α.
解：(1)证明：由题意知，
a＋b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos α－\f(1,2)，sin α＋\f(\r(3),2)))，
a－b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos α＋\f(1,2)，sin α－\f(\r(3),2)))，
∵(a＋b)·(a－b)＝cos2α－eq \f(1,4)＋sin2α－eq \f(3,4)＝0，
∴(a＋b)⊥(a－b)．
(2)|a|＝1，|b|＝1，由题意知(eq \r(3)a＋b)2＝(a－eq \r(3)b)2，化简得a·b＝0，∴－eq \f(1,2)cos α＋eq \f(\r(3),2)sin α＝0，
∴tan α＝eq \f(\r(3),3)，
又0≤α<2π，∴α＝eq \f(π,6)或α＝eq \f(7π,6).