高中人教A版数学必修4：第8课时 诱导公式五、六 Word版含解析.doc

高中人教A版数学必修4：第8课时 诱导公式五、六 Word版含解析.doc
第8课时　诱导公式五、六
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　　　　　　课时目标1.理解公式五、六的推导．
2．运用所学的四组公式正确进行求值化简、证明．
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　　识记强化　公式五：sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝cosα，coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝sinα；
公式六：sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝cosα，coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－sinα.
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　　课时作业
一、选择题
1．已知cosx＝eq \f(1,5)，且x是第四象限角，那么coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－x))＝(　　)
A.eq \f(\r(5),5)　　B．－eq \f(1,5)
C．－eq \f(4,5) D.eq \f(2 \r(6),5)
答案：D
解析：∵x是第四象限角，cosx＝eq \f(1,5)，∴sinx＝－eq \r(1－cos2x)＝－eq \f(2 \r(6),5).∴coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－x))＝－sinx＝eq \f(2 \r(6),5).
2．已知sin40°＝a，则cos50°等于(　　)
A．±a B．－a
C．a D.eq \r(1－a2)
答案：C
3．下面诱导公式使用正确的是(　　)
A．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,2)))＝cosθ
B．coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋θ))＝－sinθ
C．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－θ))＝－cosθ
D．coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,2)))＝－sinθ
答案：C
4．若sin(eq \f(π,2)＋α)＋coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2)))＝eq \f(7,5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＋coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,2)))等于(　　)
A．－eq \f(3,5) B.eq \f(4,5)
C．－eq \f(7,5) D.eq \f(7,5)
答案：C
解析：由已知得cosα＋sinα＝eq \f(7,5)，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＋coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,2)))＝－cosα－sinα＝－eq \f(7,5).
5．若eq \f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)＝2，则sin(θ－5π)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－θ))等于(　　)
A.eq \f(4,3) B．±eq \f(3,10)
C.eq \f(3,10) D．－eq \f(3,10)
答案：C
解析：由eq \f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)＝2，可得tanθ＝3，∴sin(θ－5π)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－θ))＝(－sinθ)(－cosθ)
＝eq \f(sinθcosθ,sin2θ＋cos2θ)
＝eq \f(tanθ,tan2θ＋1)
＝eq \f(3,10).
6．已知coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋φ))＝eq \f(\r(3),2)，且|φ|A．－eq \f(\r(3),3) B.eq \f(\r(3),3)
C．－eq \r(3) D.eq \r(3)
答案：C
解析：由coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋φ))＝－sinφ＝eq \f(\r(3),2)，得sinφ＝－eq \f(\r(3),2).又|φ|二、填空题
7．sin(－1200°)cos1290°＋cos(－1020°)sin(－1050°)＋tan945°＝________.
答案：2
解析：原式＝－sin1200°cos(210°＋3×360°)－cos1020°sin1050°＋tan(225°＋2×360°)
＝－sin(120°＋3×360°)cos210°－cos(－60°＋3×360°)
sin(－30°＋3×360°)＋tan225°
＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(－60°)
sin(－30°)＋tan(180°＋45°)
＝－eq \f(\r(3),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))－eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋1＝2.
8．已知tan(3π＋α)＝2，则
eq \f(sinα－3π＋cosπ－α＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))－2cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)),－sin－α＋cosπ＋α)＝________.
答案：2
解析：由tan(3π＋α)＝2，得tanα＝2，所以原式＝eq \f(－sinα＋－cosα＋cosα－2－sinα,sinα－cosα)＝eq \f(sinα,sinα－cosα)＝eq \f(tanα,tanα－1)＝eq \f(2,2－1)＝2.
9．已知函数f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2－2asineq \f(πx,2)，若f(3)＝6，则a＝________.
答案：eq \f(15,2)
解析：f(x)为奇函数，所以f(－3)＝－6，即f(－3)＝9－2asineq \f(－3π,2)＝9＋2asineq \f(3π,2)＝9－2a＝－6，∴a＝eq \f(15,2).
三、解答题
10．已知f(α)＝eq \f(sinπ－αcos2π－αtan－α＋π,－tan－α－πsin－π－α).
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限角，且coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,2)))＝eq \f(1,5)，求f(α)的值．
解：(1)f(α)＝eq \f(sinαcosα－tanα,tanαsinα)＝－cosα.
(2)∵coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,2)))＝－sinα，∴sinα＝－eq \f(1,5).
又α是第三象限角，∴cosα＝－eq \f(\r(52－12),5)＝－eq \f(2\r(6),5)，
∴f(α)＝eq \f(2\r(6),5).
11．(1)设f(α)
＝eq \f(2sinπ＋αcosπ－α－cosπ＋α,1＋sin2α＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))，
求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6)))的值．
(2)化简：sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(nπ＋\f(2,3)π))·coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(nπ＋\f(4,3)π))(n∈Z)．
解：(1)∵f(α)＝eq \f(－2sinα－cosα＋cosα,1＋sin2α＋sinα－cos2α)
＝eq \f(2sinαcosα＋cosα,2sin2α＋sinα)
＝eq \f(cosα1＋2sinα,sinα1＋2sinα)
＝eq \f(1,tanα)，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6)))＝eq \f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6))))＝eq \f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,6))))＝eq \f(1,tan\f(π,6))＝eq \r(3).
(2)当n＝2k(k∈Z)时，
原式＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(2,3)π))·coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(4,3)π))
＝sineq \f(2,3)π·coseq \f(4,3)π
＝sineq \f(π,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－cos\f(π,3)))
＝eq \f(\r(3),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))
＝－eq \f(\r(3),4).
当n＝2k＋1(k∈Z)时，
原式＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2k＋1π＋\f(2,3)π))·
coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2k＋1π＋\f(4,3)π))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(2,3)π))·coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(4,3)π))
＝－sineq \f(2,3)π·coseq \f(π,3)
＝－sineq \f(π,3)·coseq \f(π,3)
＝－eq \f(\r(3),2)×eq \f(1,2)
＝－eq \f(\r(3),4).
综上，原式＝－eq \f(\r(3),4).
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　　能力提升
12．若f(sinx)＝3－cos2x，则f(cosx)等于(　　)
A．3－cos2x B．3－sin2x
C．3＋cos2x D．3＋sin2x
答案：C
解析：f(cosx)＝feq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))))
＝3－cos2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝3－cos(π－2x)＝3＋cos2x.
13．已知A、B、C为△ABC的三个内角，求证：coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(A,2)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(A,2)))＝coseq \f(π,4)－eq \f(B＋C,2).
证明：coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(A,2)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(A,2)))))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(A,2))).
又因为在△ABC中，A＋B＋C＝π，
所以eq \f(A,2)＝eq \f(π,2)－eq \f(B＋C,2)，所以eq \f(B＋C,2)＝eq \f(π,2)－eq \f(A,2).
所以coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(B＋C,2)))＝coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(A,2)))))
＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)＋\f(A,2)))＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(A,2))).
所以coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(A,2)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(A,2)))＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(B＋C,2))).