数学人教A版选修2-2自我小测：1.2 导数的计算（第2课时） Word版含解析.doc
浮生若梦|
2023-03-16|
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数学人教A版选修2-2自我小测：1.2 导数的计算（第2课时） Word版含解析.doc
自我小测
1．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值为( )
A．eq \f(19,3) B．eq \f(10,3) C．eq \f(13,3) D．eq \f(16,3)
2．若曲线y＝eq \f(x＋1,x－1)在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于( )
A．2 B．eq \f(1,2) C．－eq \f(1,2) D．－2
3．函数y＝eq \f(1,2)(ex＋e－x)的导数是( )
A．eq \f(1,2)(ex－e－x) B．eq \f(1,2)(ex＋e－x)
C．ex－e－x D．ex＋e－x
4．函数f(x)＝xcos x－sin x的导函数是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数，又不是偶函数
5．曲线y＝ EMBED Equation.DSMT4 在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )
A．4e2 B．2e2 C．e2 D．eq \f(1,2)e2
6．已知函数f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)，则f′(1)＝__________.
7．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为__________．
8．已知y＝eq \f(sin x,1＋cos x)，x∈(－π，π)，当y′＝2时，x＝________.
9．已知函数f(x)＝ln(ax＋1)＋eq \f(1－x,1＋x)，x≥0，其中a＞0，若f′(1)＝0，求a的值．
10．若函数f(x)＝eq \f(ex,x)在x＝c处的导数值与函数值互为相反数，求c的值．
参考答案
1．解析：∵f′(x)＝3ax2＋6x，∴f′(－1)＝3a－6＝4.
∴a＝eq \f(10,3).
答案：B
2．解析：∵y＝eq \f(x＋1,x－1)＝1＋eq \f(2,x－1)，∴y′＝－eq \f(2,(x－1)2)，
∴y′|x＝3＝－eq \f(1,2)，
∴－a＝2，∴a＝－2.
答案：D
3．解析：设u＝e－x，v＝－x，则u′x＝(ev)′v′＝ev·(－1)＝－e－x，即y′＝eq \f(1,2)(ex－e－x)．
答案：A
4．解析：∵f′(x)＝x′cos x＋x(cos x)′－cos x＝－xsin x，
∴f′(－x)＝xsin(－x)＝－xsin x＝f′(x)．
∴f′(x)为偶函数．
答案：B
5．解析：由导数的几何意义，切线的斜率
k＝y′|x＝4＝eq \f(1,2) EMBED Equation.DSMT4 |x＝4＝eq \f(1,2)e2，
所以切线方程为y－e2＝eq \f(1,2)e2(x－4)，
令x＝0，得y＝－e2；令y＝0，得x＝2.
所以切线与坐标轴所围三角形的面积为
S＝eq \f(1,2)×2e2＝e2.
答案：C
6．解析：方法一：∵f(x)＝(x2－3x＋2)(x－3)＝x3－6x2＋11x－6，
∴f′(x)＝3x2－12x＋11，故f′(1)＝3－12＋11＝2.
方法二：∵f′(x)＝(x－1)′·(x－2)(x－3)＋(x－1)·[(x－2)(x－3)]′，
∴f′(1)＝(1－2)(1－3)＝2.
答案：2
7．解析：设切点为(x0，y0)，则y0＝x0＋1，y0＝ln(x0＋a)，即x0＋1＝ln(x0＋a)．
∵y′＝eq \f(1,x＋a)，∴eq \f(1,x0＋a)＝1，即x0＋a＝1.
∴x0＋1＝ln 1＝0，∴x0＝－1，∴a＝2.
答案：2
8．解析：y′＝eq \f((sin x)′(1＋cos x)－sin x(1＋cos x)′,(1＋cos x)2)
＝eq \f(cos x(1＋cos x)－sin x(－sin x),(1＋cos x)2)
＝eq \f(cos x＋cos2x＋sin2x,(1＋cos x)2)＝eq \f(cos x＋1,(1＋cos x)2)
＝eq \f(1,1＋cos x).
令eq \f(1,1＋cos x)＝2，则cos x＝－eq \f(1,2).
又x∈(－π，π)，故x＝±eq \f(2π,3).
答案：±eq \f(2π,3)
9．解：f′(x)＝[ln(ax＋1)]′＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－x,1＋x)))′
＝eq \f(a,ax＋1)＋eq \f(－2,(1＋x)2)，
∴f′(1)＝eq \f(a,a＋1)－eq \f(1,2)＝0.∴a＝1.
因此a的值为1.
10．解：∵f(x)＝eq \f(ex,x)，∴f(c)＝eq \f(ec,c).
又∵f′(x)＝eq \f(ex·x－ex,x2)＝eq \f(ex(x－1),x2)，
∴f′(c)＝eq \f(ec(c－1),c2).
依题意知f(c)＋f′(c)＝0，∴eq \f(ec,c)＋eq \f(ec(c－1),c2)＝0.
∴2c－1＝0，得c＝eq \f(1,2).
自我小测
1．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值为( )
A．eq \f(19,3) B．eq \f(10,3) C．eq \f(13,3) D．eq \f(16,3)
2．若曲线y＝eq \f(x＋1,x－1)在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于( )
A．2 B．eq \f(1,2) C．－eq \f(1,2) D．－2
3．函数y＝eq \f(1,2)(ex＋e－x)的导数是( )
A．eq \f(1,2)(ex－e－x) B．eq \f(1,2)(ex＋e－x)
C．ex－e－x D．ex＋e－x
4．函数f(x)＝xcos x－sin x的导函数是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数，又不是偶函数
5．曲线y＝ EMBED Equation.DSMT4 在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )
A．4e2 B．2e2 C．e2 D．eq \f(1,2)e2
6．已知函数f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)，则f′(1)＝__________.
7．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为__________．
8．已知y＝eq \f(sin x,1＋cos x)，x∈(－π，π)，当y′＝2时，x＝________.
9．已知函数f(x)＝ln(ax＋1)＋eq \f(1－x,1＋x)，x≥0，其中a＞0，若f′(1)＝0，求a的值．
10．若函数f(x)＝eq \f(ex,x)在x＝c处的导数值与函数值互为相反数，求c的值．
参考答案
1．解析：∵f′(x)＝3ax2＋6x，∴f′(－1)＝3a－6＝4.
∴a＝eq \f(10,3).
答案：B
2．解析：∵y＝eq \f(x＋1,x－1)＝1＋eq \f(2,x－1)，∴y′＝－eq \f(2,(x－1)2)，
∴y′|x＝3＝－eq \f(1,2)，
∴－a＝2，∴a＝－2.
答案：D
3．解析：设u＝e－x，v＝－x，则u′x＝(ev)′v′＝ev·(－1)＝－e－x，即y′＝eq \f(1,2)(ex－e－x)．
答案：A
4．解析：∵f′(x)＝x′cos x＋x(cos x)′－cos x＝－xsin x，
∴f′(－x)＝xsin(－x)＝－xsin x＝f′(x)．
∴f′(x)为偶函数．
答案：B
5．解析：由导数的几何意义，切线的斜率
k＝y′|x＝4＝eq \f(1,2) EMBED Equation.DSMT4 |x＝4＝eq \f(1,2)e2，
所以切线方程为y－e2＝eq \f(1,2)e2(x－4)，
令x＝0，得y＝－e2；令y＝0，得x＝2.
所以切线与坐标轴所围三角形的面积为
S＝eq \f(1,2)×2e2＝e2.
答案：C
6．解析：方法一：∵f(x)＝(x2－3x＋2)(x－3)＝x3－6x2＋11x－6，
∴f′(x)＝3x2－12x＋11，故f′(1)＝3－12＋11＝2.
方法二：∵f′(x)＝(x－1)′·(x－2)(x－3)＋(x－1)·[(x－2)(x－3)]′，
∴f′(1)＝(1－2)(1－3)＝2.
答案：2
7．解析：设切点为(x0，y0)，则y0＝x0＋1，y0＝ln(x0＋a)，即x0＋1＝ln(x0＋a)．
∵y′＝eq \f(1,x＋a)，∴eq \f(1,x0＋a)＝1，即x0＋a＝1.
∴x0＋1＝ln 1＝0，∴x0＝－1，∴a＝2.
答案：2
8．解析：y′＝eq \f((sin x)′(1＋cos x)－sin x(1＋cos x)′,(1＋cos x)2)
＝eq \f(cos x(1＋cos x)－sin x(－sin x),(1＋cos x)2)
＝eq \f(cos x＋cos2x＋sin2x,(1＋cos x)2)＝eq \f(cos x＋1,(1＋cos x)2)
＝eq \f(1,1＋cos x).
令eq \f(1,1＋cos x)＝2，则cos x＝－eq \f(1,2).
又x∈(－π，π)，故x＝±eq \f(2π,3).
答案：±eq \f(2π,3)
9．解：f′(x)＝[ln(ax＋1)]′＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－x,1＋x)))′
＝eq \f(a,ax＋1)＋eq \f(－2,(1＋x)2)，
∴f′(1)＝eq \f(a,a＋1)－eq \f(1,2)＝0.∴a＝1.
因此a的值为1.
10．解：∵f(x)＝eq \f(ex,x)，∴f(c)＝eq \f(ec,c).
又∵f′(x)＝eq \f(ex·x－ex,x2)＝eq \f(ex(x－1),x2)，
∴f′(c)＝eq \f(ec(c－1),c2).
依题意知f(c)＋f′(c)＝0，∴eq \f(ec,c)＋eq \f(ec(c－1),c2)＝0.
∴2c－1＝0，得c＝eq \f(1,2).