高中数学人教版选修1-2课时提升作业六 2.2.1.2 分析法 精讲优练课型 Word版含答案.doc
浅笑小倔强|
2023-03-16|
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高中数学人教版选修1-2课时提升作业六 2.2.1.2 分析法 精讲优练课型 Word版含答案.doc
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课时提升作业 六
分 析 法
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.用分析法证明:欲证①A>B,只需证②CA.充分条件 B.必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.要证①A>B,只需证②C所以②⇒①.
即②是①的充分条件.
2.在不等边三角形中,a为最大边,要想得到角A为钝角的结论,三边a,b,c应满足什么条件 ( )
A.a2C.a2>b2+c2D.a2≤b2+c2
【解析】选C.若角A为钝角,由余弦定理知cosA= QUOTE <0,所以b2+c2-a2<0,即b2+c23.(2016·潍坊高二检测)若P= QUOTE + QUOTE ,Q= QUOTE + QUOTE (a≥0).则P与Q的大小关系为 ( )
A.P>QB.P=Q
C.P【解析】选C.因为a≥0,所以P>0,Q>0,且当a=0时,P= QUOTE ,Q= QUOTE +2,
有P要证 QUOTE + QUOTE < QUOTE + QUOTE .
只需证明2a+7+2 QUOTE <2a+7+2 QUOTE ,
即只需证明 QUOTE < QUOTE ,
只需证明a2+7a只需证0<12,显然成立,故P4.下列不等式不成立的是 ( )
A.a2+b2+c2≥ab+bc+ca
B. QUOTE + QUOTE > QUOTE (a>0,b>0)
C. QUOTE - QUOTE < QUOTE - QUOTE (a≥3)
D. QUOTE + QUOTE >2 QUOTE
【解析】选D.对于A,因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ac,所以a2+b2+c2≥ab+bc+ca;
对于B,因为( QUOTE + QUOTE )2=a+b+2 QUOTE ,( QUOTE )2=a+b,所以 QUOTE + QUOTE > QUOTE ;
对于C,要证 QUOTE - QUOTE < QUOTE - QUOTE (a≥3)成立,
只需证明 QUOTE + QUOTE < QUOTE + QUOTE ,两边平方得2a-3+2 QUOTE <2a-3+2 QUOTE ,
即 QUOTE < QUOTE ,
两边平方得a2-3a因为0<2显然成立,所以原不等式成立;
对于D,( QUOTE + QUOTE )2-(2 QUOTE )2
=14+2 QUOTE -28
=2( QUOTE -7)<0,所以 QUOTE + QUOTE <2 QUOTE ,即D错误.
5.若x>0,y>0,且 QUOTE + QUOTE ≤a QUOTE 恒成立,则a的最小值是 ( )
A.2 QUOTE B. QUOTE C.2 D.1
【解析】选B.原不等式可化为
a≥ QUOTE = QUOTE = QUOTE
要使不等式恒成立,只需a不小于 QUOTE 的最大值即可.
因为 QUOTE ≤ QUOTE ,当且仅当x=y时取等号,所以a≥ QUOTE ,所以a的最小值为 QUOTE .
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.要证 QUOTE - QUOTE < QUOTE 成立,则a,b应满足的条件是__________________.
【解析】要证 QUOTE - QUOTE < QUOTE ,
只需证( QUOTE - QUOTE )3<( QUOTE )3,
即a-b-3 QUOTE +3 QUOTE即3 QUOTE -3 QUOTE >0,即 QUOTE ( QUOTE - QUOTE )>0.
故所需条件为 QUOTE 或 QUOTE
即ab>0且a>b或ab<0且a答案:ab>0且a>b或ab<0且a【误区警示】本题在寻找条件时常常因书写条件不全导致失分.
7.(2016·烟台高二检测)如图所示,在直四棱柱A1B1C1D1-ABCD中,当底面四边形ABCD满足条件________时,有A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一个条件即可,不必考虑所有可能的情形).
【解析】要证A1C⊥B1D1,只需证B1D1垂直于A1C所在的平面A1CC1,因为该四棱柱为直四棱柱,所以B1D1⊥CC1,故只需证B1D1⊥A1C1即可.
答案:对角线互相垂直(本题答案不唯一)
8.在△ABC中,∠C=60°,a,b, c分别为∠A,∠B,∠C的对边,则 QUOTE + QUOTE = ________.
【解析】因为∠C=60°,所以a2+b2=c2+ab.
所以(a2+ac)+(b2+bc)
=c2+ab+ac+bc=(a+c)(b+c),
所以 QUOTE + QUOTE = QUOTE =1.
答案:1
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2016·聊城高二检测)已知a>0,b>0且a+b=1,求证: QUOTE + QUOTE ≤2.
【证明】要证 QUOTE + QUOTE ≤2.
只需证a+ QUOTE +b+ QUOTE +2 QUOTE ≤4,
又a+b=1,
即只需证明 QUOTE ≤1,
而 QUOTE ≤ QUOTE
= QUOTE =1成立.
所以 QUOTE + QUOTE ≤2成立.
10.设x≥1,y≥1,证明:x+y+ QUOTE ≤ QUOTE + QUOTE +xy.
【证明】由于x≥1,y≥1,要证x+y+ QUOTE ≤ QUOTE + QUOTE +xy,只需证xy(x+y)+1≤y+x+(xy)2.
将上式中的右式减左式,得
-
=-
=(xy+1)(xy-1)-(x+y)(xy-1)
=(xy-1)(xy-x-y+1)
=(xy-1)(x-1)(y-1).
因为x≥1,y≥1,
所以(xy-1)(x-1)(y-1)≥0,
从而所要证明的不等式成立.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2016·海口高二检测)对于不重合的直线m,l和平面α,β,要证α⊥β需具备的条件是 ( )
A.m⊥l,m∥α,l∥β B.m⊥l,α∩β=m,l⊂α
C.m∥l,m⊥α,l⊥βD.m∥l,l⊥β,m⊂α
【解析】选D.本题是寻找α⊥β的充分条件.A:与两条互相垂直的直线分别平行的两平面的位置关系不确定;B:平面内的一条直线与另一平面的交线垂直,这两个平面的位置关系不确定;C:这两个平面平行;D能够推得α⊥β,故选D.
2.(2016·揭阳高二检测)已知a,b为非零实数,则使不等式 QUOTE + QUOTE ≤-2成立的一个充分不必要条件是 ( )
A.ab>0B.ab<0
C.a>0,b<0D.a>0,b>0
【解析】选C.要使 QUOTE + QUOTE ≤-2,
只需 QUOTE <0, QUOTE <0即可.
即a,b异号.
故C是使 QUOTE + QUOTE ≤-2成立的一个充分不必要条件,故选C.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.已知a,b,μ∈(0,+∞)且 QUOTE + QUOTE =1,则使得a+b≥μ恒成立的μ的取值范围是________.
【解析】由题意得a+b=(a+b) QUOTE
=10+ QUOTE
≥10+2 QUOTE =16,
当且仅当 QUOTE = QUOTE 且 QUOTE + QUOTE =1,
即a=4,b=12时,等号成立.
所以a+b的最小值为16,
所以要使a+b≥μ恒成立,只需μ≤16.
又因为μ∈(0,+∞),所以0<μ≤16.
答案:0<μ≤16
4.已知a>0,b>0,m=lg QUOTE ,n=lg QUOTE ,则m与n的大小关系为________.
【解析】因为( QUOTE + QUOTE )2=a+b+2 QUOTE >a+b>0,所以 QUOTE > QUOTE ,所以m>n.
答案:m>n
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.(2016·海口高二检测)已知a>0,求证: QUOTE - QUOTE ≥a+ QUOTE -2.
【证明】要证 QUOTE - QUOTE ≥a+ QUOTE -2,
只要证 QUOTE +2≥a+ QUOTE + QUOTE ,
因为a>0,只需证 QUOTE ≥ QUOTE ,
即a2+ QUOTE +4 QUOTE +4≥
a2+ QUOTE +2+2 QUOTE +2,
从而只需证2 QUOTE ≥ QUOTE ,
只需证4 QUOTE ≥2 QUOTE ,
即a2+ QUOTE ≥2,
上述不等式显然成立.故原不等式成立.
6.(2016·吉安高二检测)是否存在常数c,使得不等式 QUOTE + QUOTE ≤c≤ QUOTE + QUOTE 对任意正数x,y恒成立?试证明你的结论.
【解析】存在常数c= QUOTE .
令x=y=1,得 QUOTE ≤c≤ QUOTE ,
所以c= QUOTE .
先证明 QUOTE + QUOTE ≤ QUOTE ,
因为x>0,y>0,
要证 QUOTE + QUOTE ≤ QUOTE ,
只需证3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2(2x+y)(x+2y),
即x2+y2≥2xy,这显然成立,
所以 QUOTE + QUOTE ≤ QUOTE .
再证 QUOTE + QUOTE ≥ QUOTE ,
只需证3x(2x+y)+3y(x+2y)≥2(x+2y)(2x+y),
即2xy≤x2+y2,这显然成立.
所以 QUOTE + QUOTE ≥ QUOTE .
所以存在常数c= QUOTE ,使对任何正数x,y都有 QUOTE + QUOTE ≤ QUOTE ≤ QUOTE + QUOTE 成立.
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课时提升作业 六
分 析 法
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.用分析法证明:欲证①A>B,只需证②C
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.要证①A>B,只需证②C
即②是①的充分条件.
2.在不等边三角形中,a为最大边,要想得到角A为钝角的结论,三边a,b,c应满足什么条件 ( )
A.a2
【解析】选C.若角A为钝角,由余弦定理知cosA= QUOTE <0,所以b2+c2-a2<0,即b2+c2
A.P>QB.P=Q
C.P
有P
只需证明2a+7+2 QUOTE <2a+7+2 QUOTE ,
即只需证明 QUOTE < QUOTE ,
只需证明a2+7a
A.a2+b2+c2≥ab+bc+ca
B. QUOTE + QUOTE > QUOTE (a>0,b>0)
C. QUOTE - QUOTE < QUOTE - QUOTE (a≥3)
D. QUOTE + QUOTE >2 QUOTE
【解析】选D.对于A,因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ac,所以a2+b2+c2≥ab+bc+ca;
对于B,因为( QUOTE + QUOTE )2=a+b+2 QUOTE ,( QUOTE )2=a+b,所以 QUOTE + QUOTE > QUOTE ;
对于C,要证 QUOTE - QUOTE < QUOTE - QUOTE (a≥3)成立,
只需证明 QUOTE + QUOTE < QUOTE + QUOTE ,两边平方得2a-3+2 QUOTE <2a-3+2 QUOTE ,
即 QUOTE < QUOTE ,
两边平方得a2-3a
对于D,( QUOTE + QUOTE )2-(2 QUOTE )2
=14+2 QUOTE -28
=2( QUOTE -7)<0,所以 QUOTE + QUOTE <2 QUOTE ,即D错误.
5.若x>0,y>0,且 QUOTE + QUOTE ≤a QUOTE 恒成立,则a的最小值是 ( )
A.2 QUOTE B. QUOTE C.2 D.1
【解析】选B.原不等式可化为
a≥ QUOTE = QUOTE = QUOTE
要使不等式恒成立,只需a不小于 QUOTE 的最大值即可.
因为 QUOTE ≤ QUOTE ,当且仅当x=y时取等号,所以a≥ QUOTE ,所以a的最小值为 QUOTE .
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.要证 QUOTE - QUOTE < QUOTE 成立,则a,b应满足的条件是__________________.
【解析】要证 QUOTE - QUOTE < QUOTE ,
只需证( QUOTE - QUOTE )3<( QUOTE )3,
即a-b-3 QUOTE +3 QUOTE
故所需条件为 QUOTE 或 QUOTE
即ab>0且a>b或ab<0且a
7.(2016·烟台高二检测)如图所示,在直四棱柱A1B1C1D1-ABCD中,当底面四边形ABCD满足条件________时,有A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一个条件即可,不必考虑所有可能的情形).
【解析】要证A1C⊥B1D1,只需证B1D1垂直于A1C所在的平面A1CC1,因为该四棱柱为直四棱柱,所以B1D1⊥CC1,故只需证B1D1⊥A1C1即可.
答案:对角线互相垂直(本题答案不唯一)
8.在△ABC中,∠C=60°,a,b, c分别为∠A,∠B,∠C的对边,则 QUOTE + QUOTE = ________.
【解析】因为∠C=60°,所以a2+b2=c2+ab.
所以(a2+ac)+(b2+bc)
=c2+ab+ac+bc=(a+c)(b+c),
所以 QUOTE + QUOTE = QUOTE =1.
答案:1
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2016·聊城高二检测)已知a>0,b>0且a+b=1,求证: QUOTE + QUOTE ≤2.
【证明】要证 QUOTE + QUOTE ≤2.
只需证a+ QUOTE +b+ QUOTE +2 QUOTE ≤4,
又a+b=1,
即只需证明 QUOTE ≤1,
而 QUOTE ≤ QUOTE
= QUOTE =1成立.
所以 QUOTE + QUOTE ≤2成立.
10.设x≥1,y≥1,证明:x+y+ QUOTE ≤ QUOTE + QUOTE +xy.
【证明】由于x≥1,y≥1,要证x+y+ QUOTE ≤ QUOTE + QUOTE +xy,只需证xy(x+y)+1≤y+x+(xy)2.
将上式中的右式减左式,得
-
=-
=(xy+1)(xy-1)-(x+y)(xy-1)
=(xy-1)(xy-x-y+1)
=(xy-1)(x-1)(y-1).
因为x≥1,y≥1,
所以(xy-1)(x-1)(y-1)≥0,
从而所要证明的不等式成立.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2016·海口高二检测)对于不重合的直线m,l和平面α,β,要证α⊥β需具备的条件是 ( )
A.m⊥l,m∥α,l∥β B.m⊥l,α∩β=m,l⊂α
C.m∥l,m⊥α,l⊥βD.m∥l,l⊥β,m⊂α
【解析】选D.本题是寻找α⊥β的充分条件.A:与两条互相垂直的直线分别平行的两平面的位置关系不确定;B:平面内的一条直线与另一平面的交线垂直,这两个平面的位置关系不确定;C:这两个平面平行;D能够推得α⊥β,故选D.
2.(2016·揭阳高二检测)已知a,b为非零实数,则使不等式 QUOTE + QUOTE ≤-2成立的一个充分不必要条件是 ( )
A.ab>0B.ab<0
C.a>0,b<0D.a>0,b>0
【解析】选C.要使 QUOTE + QUOTE ≤-2,
只需 QUOTE <0, QUOTE <0即可.
即a,b异号.
故C是使 QUOTE + QUOTE ≤-2成立的一个充分不必要条件,故选C.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.已知a,b,μ∈(0,+∞)且 QUOTE + QUOTE =1,则使得a+b≥μ恒成立的μ的取值范围是________.
【解析】由题意得a+b=(a+b) QUOTE
=10+ QUOTE
≥10+2 QUOTE =16,
当且仅当 QUOTE = QUOTE 且 QUOTE + QUOTE =1,
即a=4,b=12时,等号成立.
所以a+b的最小值为16,
所以要使a+b≥μ恒成立,只需μ≤16.
又因为μ∈(0,+∞),所以0<μ≤16.
答案:0<μ≤16
4.已知a>0,b>0,m=lg QUOTE ,n=lg QUOTE ,则m与n的大小关系为________.
【解析】因为( QUOTE + QUOTE )2=a+b+2 QUOTE >a+b>0,所以 QUOTE > QUOTE ,所以m>n.
答案:m>n
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.(2016·海口高二检测)已知a>0,求证: QUOTE - QUOTE ≥a+ QUOTE -2.
【证明】要证 QUOTE - QUOTE ≥a+ QUOTE -2,
只要证 QUOTE +2≥a+ QUOTE + QUOTE ,
因为a>0,只需证 QUOTE ≥ QUOTE ,
即a2+ QUOTE +4 QUOTE +4≥
a2+ QUOTE +2+2 QUOTE +2,
从而只需证2 QUOTE ≥ QUOTE ,
只需证4 QUOTE ≥2 QUOTE ,
即a2+ QUOTE ≥2,
上述不等式显然成立.故原不等式成立.
6.(2016·吉安高二检测)是否存在常数c,使得不等式 QUOTE + QUOTE ≤c≤ QUOTE + QUOTE 对任意正数x,y恒成立?试证明你的结论.
【解析】存在常数c= QUOTE .
令x=y=1,得 QUOTE ≤c≤ QUOTE ,
所以c= QUOTE .
先证明 QUOTE + QUOTE ≤ QUOTE ,
因为x>0,y>0,
要证 QUOTE + QUOTE ≤ QUOTE ,
只需证3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2(2x+y)(x+2y),
即x2+y2≥2xy,这显然成立,
所以 QUOTE + QUOTE ≤ QUOTE .
再证 QUOTE + QUOTE ≥ QUOTE ,
只需证3x(2x+y)+3y(x+2y)≥2(x+2y)(2x+y),
即2xy≤x2+y2,这显然成立.
所以 QUOTE + QUOTE ≥ QUOTE .
所以存在常数c= QUOTE ,使对任何正数x,y都有 QUOTE + QUOTE ≤ QUOTE ≤ QUOTE + QUOTE 成立.
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