人教版高中数学选修4-4练习：第一讲四柱坐标系与球坐标系简介 Word版含解析.doc
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人教版高中数学选修4-4练习：第一讲四柱坐标系与球坐标系简介 Word版含解析.doc
第一讲 坐标系
四、柱坐标系与球坐标系简介
INCLUDEPICTURE"课后作业.tif"
A级 基础巩固
一、选择题
1．点M的直角坐标为(eq \r(3)，1，－2)，则它的柱坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)，2)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)，2))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)，－2)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(π,6)，－2))
解析：ρ＝eq \r(（\r(3)）2＋12)＝2，tan θ＝eq \f(1,\r(3))＝eq \f(\r(3),3)，θ＝eq \f(π,6)，所以点M的柱坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)，－2)).
答案：C
2．已知点M的球坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,3)，\f(π,6)))，则它的直角坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,3)，\f(π,6))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(\r(3),4)，\f(1,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(3,4)，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)，\f(3,4)，\f(\r(3),2)))
解析：设点M的直角坐标为(x，y，z)，
因为点M的球坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,3)，\f(π,6)))，
所以x＝1·sin eq \f(π,3)cos eq \f(π,6)＝eq \f(3,4)，
y＝1·sin eq \f(π,3)sin eq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),4)，
z＝1·cos eq \f(π,3)＝eq \f(1,2).
所以M的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(\r(3),4)，\f(1,2))).
答案：B
3．已知点P的柱坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(π,4)，5))，点Q的球坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(6)，\f(π,3)，\f(π,6)))，则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为( )
A．点P(5，1，1)，点Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(6),4)，\f(3\r(2),4)，\f(\r(6),2)))
B．点P(1，1，5)，点Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(6),4)，\f(3\r(2),4)，\f(\r(6),2)))
C．点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(6),4)，\f(3\r(2),4)，\f(\r(6),2)))，点Q(1，1，5)
D．点P(1，1，5)，点Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，\f(3\r(6),4)，\f(3\r(2),4)))
答案：B
4．在空间直角坐标系中的点M(x，y，z)，若它的柱坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,3)，3))，则它的球坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,3)，\f(π,4))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(2)，\f(π,3)，\f(π,4)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,4)，\f(π,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(2)，\f(π,4)，\f(π,3)))
解析：因为M点的柱坐标为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,3)，3))，设点M的直角坐标为(x，y，z)．
所以x＝3cos eq \f(π,3)＝eq \f(3,2)，y＝3sin eq \f(π,3)＝eq \f(3\r(3),2)，z＝3，
所以M点的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(3\r(3),2)，3)).
设点M的球坐标为(γ，φ，θ)．
γ是球面的半径，φ为向量OM在xOy面上投影到x正方向夹角，θ为向量OM与z轴正方向夹角．
所以r＝ eq \r(\f(9,4)＋\f(27,4)＋9)＝3eq \r(2)，容易知道φ＝eq \f(π,3)，同时结合点M的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(3\r(3),2)，3))，
可知cos θ＝eq \f(z,γ)＝eq \f(3,3\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，
所以θ＝eq \f(π,4)，
所以M点的球坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(2)，\f(π,3)，\f(π,4))).
答案：B
5．在直角坐标系中，点(2，2，2)关于z轴的对称点的柱坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(3π,4)，2)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(π,4)，2))[来源:Zxxk.Com]
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(5π,4)，2)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(7π,4)，2))
解析：(2，2，2)关于z轴的对称点为(－2，－2，2)，[来源:学科网]
则ρ＝eq \r(（－2）2＋（－2）2)＝2eq \r(2)，tan θ＝eq \f(y,x)＝eq \f(－2,－2)＝1，
因为点(－2，－2)在平面Oxy的第三象限内，
所以θ＝eq \f(5π,4)，
所以所求柱坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(5π,4)，2)).
答案：C
二、填空题
6．已知点M的球坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(π,4)，\f(3π,4)))，则它的直角坐标为_______，它的柱坐标是________．
答案：(－2，2，2eq \r(2)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(3π,4)，2\r(2)))
7．已知在柱坐标系中，点M的柱坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(2π,3)，\r(5)))，且点M在数轴Oy上的射影为N，则|OM|＝________，|MN|＝________．
解析：设点M在平面xOy上的射影为P，连接PN，则PN为线段MN在平面xOy上的射影．
因为MN⊥直线Oy，MP⊥平面xOy，
所以PN⊥直线Oy.
所以|OP|＝ρ＝2，|PN|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ρcos \f(2π,3)))＝1，
所以|OM|＝eq \r(ρ2＋z2)＝eq \r(22＋（\r(5)）2)＝3.
在Rt△MNP中，∠MPN＝90°，
所以|MN|＝eq \r(|PM|2＋|PN|2)＝eq \r(（\r(5)）2＋12)＝eq \r(6).
答案：3 eq \r(6)
8．若点P的柱坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,3)，3))，则点P的球坐标为___________．
解析：点P的柱坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,3)，3))，
则点P的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(3\r(3),2)，3))，
故r＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2)))\s\up12(2)＋32)＝3eq \r(2).
由3＝3eq \r(2)cos φ，cos φ＝eq \f(\r(2),2)，得φ＝eq \f(π,4)，
又tan θ＝eq \f(\f(3\r(3),2),\f(3,2))＝eq \r(3)，又θ的终边过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(3\r(3),2)，0))，
故θ为eq \f(π,3)，
故点P的球坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(2)，\f(π,4)，\f(π,3))).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(2)，\f(π,4)，\f(π,3)))
三、解答题
9．设点M的直角坐标为(1，1，eq \r(2))，求点M的柱坐标与球坐标．
解：由坐标变换公式，可得ρ＝eq \r(x2＋y2)＝eq \r(2)，
tan θ＝eq \f(y,x)＝1，
θ＝eq \f(π,4)(点1，1)在平面xOy的第一象限．
r＝eq \r(x2＋y2＋z2)＝eq \r(12＋12＋（\r(2)）2)＝2.
由rcos φ＝z＝eq \r(2)(0≤φ≤π)，得cos φ＝eq \f(\r(2),r)＝eq \f(\r(2),2)，φ＝eq \f(π,4).
所以点M的柱坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(π,4)， \r(2)))，球坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,4)，\f(π,4))).
10．在球坐标系中，求两点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,6)，\f(π,4)))、Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,6)，\f(3π,4)))的距离．
解：将P，Q两点的球坐标转化为直角坐标：
P：x＝3sin eq \f(π,6)cos eq \f(π,4)＝eq \f(3\r(2),4)，
y＝3sin eq \f(π,6)sin eq \f(π,4)＝eq \f(3\r(2),4)，
z＝3cos eq \f(π,6)＝eq \f(3\r(3),2)，
所以点P的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),4)，\f(3\r(2),4)，\f(3\r(3),2))).
Q：x＝3sin eq \f(π,6)cos eq \f(3π,4)＝－eq \f(3\r(2),4)，
y＝3sin eq \f(π,6)sin eq \f(3π,4)＝eq \f(3\r(2),4)，
z＝3cos eq \f(π,6)＝eq \f(3\r(3),2)，
所以点Q的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(2),4)，\f(3\r(2),4)，\f(3\r(3),2))).[来源:学科网]
所以|PQ|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),4)＋\f(3\r(2),4)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),4)－\f(3\r(2),4)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2)－\f(3\r(3),2)))\s\up12(2))＝eq \f(3\r(2),2)，故P、Q两点间的距离为eq \f(3\r(2),2).
B级 能力提升
1．已知点P1的球坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(π,2)，\f(5π,3)))，P2的柱坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)，1))，则|P1P2|＝( )
A.eq \r(21) B.eq \r(29)
C.eq \r(30) D．4eq \r(2)
解析：设点P1的直角坐标为(x1，y1，z1)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝4sin \f(π,2)cos \f(5π,3)，,y1＝4sin \f(π,2)sin \f(5π,3)，,z1＝4cos \f(π,2)，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝2，,y1＝－2\r(3)，,z1＝0.))
故P1(2，－2eq \r(3)，0)，
设点P2的直角坐标为P2(x2，y2，z2)，
故eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝2cos \f(π,6)，,y2＝2sin \f(π,6)，,z2＝1，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝\r(3)，,y2＝1，,z2＝1.))
故P2(eq \r(3)，1，1)．
则|P1P2|＝ eq \r(（2－\r(3)）2＋（－2\r(3)－1）2＋（0－1）2)＝eq \r(21).
答案：A
2．在柱坐标系中，长方体ABCD-A1B1C1D1的一个顶点在原点，另两个顶点坐标分别为A1(8，0，10)，C1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(π,2)，10))，则此长方体外接球的体积为________．
答案：eq \f(1 000\r(2),3)π
3．设地球的半径为R，在球坐标系中，点A的坐标为(R，45°，70°)，点B的坐标为(R，45°，160°)，求A，B两点间的球面距离．
解：设纬度圈的圆心为O′，地球球心为O，
如图所示，OA＝OB＝R，由点A，B的球坐标可知，[来源:学科网ZXXK]
INCLUDEPICTURE"33.tif"
∠BOO′＝45°，∠AOO′＝45°，
这两个点都在北纬90°－45°＝45°圈上．
则∠xOQ＝70°，∠xOH＝160°，
所以∠AO′B＝160°－70°＝90°.[来源:学科网ZXXK]
因为OB＝R，O′B＝O′A＝eq \f(\r(2),2)R，
所以AB＝R.则AO＝BO＝AB＝R.
所以∠AOB＝60°，eq \o(AB,\s\up11(︵))＝eq \f(1,6)×2πR＝eq \f(1,3)πR.
即A，B两点间的球面距离为eq \f(1,3)πR.
第一讲 坐标系
四、柱坐标系与球坐标系简介
INCLUDEPICTURE"课后作业.tif"
A级 基础巩固
一、选择题
1．点M的直角坐标为(eq \r(3)，1，－2)，则它的柱坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)，2)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)，2))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)，－2)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(π,6)，－2))
解析：ρ＝eq \r(（\r(3)）2＋12)＝2，tan θ＝eq \f(1,\r(3))＝eq \f(\r(3),3)，θ＝eq \f(π,6)，所以点M的柱坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)，－2)).
答案：C
2．已知点M的球坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,3)，\f(π,6)))，则它的直角坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,3)，\f(π,6))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(\r(3),4)，\f(1,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(3,4)，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)，\f(3,4)，\f(\r(3),2)))
解析：设点M的直角坐标为(x，y，z)，
因为点M的球坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,3)，\f(π,6)))，
所以x＝1·sin eq \f(π,3)cos eq \f(π,6)＝eq \f(3,4)，
y＝1·sin eq \f(π,3)sin eq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),4)，
z＝1·cos eq \f(π,3)＝eq \f(1,2).
所以M的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(\r(3),4)，\f(1,2))).
答案：B
3．已知点P的柱坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(π,4)，5))，点Q的球坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(6)，\f(π,3)，\f(π,6)))，则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为( )
A．点P(5，1，1)，点Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(6),4)，\f(3\r(2),4)，\f(\r(6),2)))
B．点P(1，1，5)，点Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(6),4)，\f(3\r(2),4)，\f(\r(6),2)))
C．点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(6),4)，\f(3\r(2),4)，\f(\r(6),2)))，点Q(1，1，5)
D．点P(1，1，5)，点Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，\f(3\r(6),4)，\f(3\r(2),4)))
答案：B
4．在空间直角坐标系中的点M(x，y，z)，若它的柱坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,3)，3))，则它的球坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,3)，\f(π,4))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(2)，\f(π,3)，\f(π,4)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,4)，\f(π,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(2)，\f(π,4)，\f(π,3)))
解析：因为M点的柱坐标为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,3)，3))，设点M的直角坐标为(x，y，z)．
所以x＝3cos eq \f(π,3)＝eq \f(3,2)，y＝3sin eq \f(π,3)＝eq \f(3\r(3),2)，z＝3，
所以M点的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(3\r(3),2)，3)).
设点M的球坐标为(γ，φ，θ)．
γ是球面的半径，φ为向量OM在xOy面上投影到x正方向夹角，θ为向量OM与z轴正方向夹角．
所以r＝ eq \r(\f(9,4)＋\f(27,4)＋9)＝3eq \r(2)，容易知道φ＝eq \f(π,3)，同时结合点M的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(3\r(3),2)，3))，
可知cos θ＝eq \f(z,γ)＝eq \f(3,3\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，
所以θ＝eq \f(π,4)，
所以M点的球坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(2)，\f(π,3)，\f(π,4))).
答案：B
5．在直角坐标系中，点(2，2，2)关于z轴的对称点的柱坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(3π,4)，2)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(π,4)，2))[来源:Zxxk.Com]
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(5π,4)，2)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(7π,4)，2))
解析：(2，2，2)关于z轴的对称点为(－2，－2，2)，[来源:学科网]
则ρ＝eq \r(（－2）2＋（－2）2)＝2eq \r(2)，tan θ＝eq \f(y,x)＝eq \f(－2,－2)＝1，
因为点(－2，－2)在平面Oxy的第三象限内，
所以θ＝eq \f(5π,4)，
所以所求柱坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(5π,4)，2)).
答案：C
二、填空题
6．已知点M的球坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(π,4)，\f(3π,4)))，则它的直角坐标为_______，它的柱坐标是________．
答案：(－2，2，2eq \r(2)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(3π,4)，2\r(2)))
7．已知在柱坐标系中，点M的柱坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(2π,3)，\r(5)))，且点M在数轴Oy上的射影为N，则|OM|＝________，|MN|＝________．
解析：设点M在平面xOy上的射影为P，连接PN，则PN为线段MN在平面xOy上的射影．
因为MN⊥直线Oy，MP⊥平面xOy，
所以PN⊥直线Oy.
所以|OP|＝ρ＝2，|PN|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ρcos \f(2π,3)))＝1，
所以|OM|＝eq \r(ρ2＋z2)＝eq \r(22＋（\r(5)）2)＝3.
在Rt△MNP中，∠MPN＝90°，
所以|MN|＝eq \r(|PM|2＋|PN|2)＝eq \r(（\r(5)）2＋12)＝eq \r(6).
答案：3 eq \r(6)
8．若点P的柱坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,3)，3))，则点P的球坐标为___________．
解析：点P的柱坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,3)，3))，
则点P的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(3\r(3),2)，3))，
故r＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2)))\s\up12(2)＋32)＝3eq \r(2).
由3＝3eq \r(2)cos φ，cos φ＝eq \f(\r(2),2)，得φ＝eq \f(π,4)，
又tan θ＝eq \f(\f(3\r(3),2),\f(3,2))＝eq \r(3)，又θ的终边过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(3\r(3),2)，0))，
故θ为eq \f(π,3)，
故点P的球坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(2)，\f(π,4)，\f(π,3))).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(2)，\f(π,4)，\f(π,3)))
三、解答题
9．设点M的直角坐标为(1，1，eq \r(2))，求点M的柱坐标与球坐标．
解：由坐标变换公式，可得ρ＝eq \r(x2＋y2)＝eq \r(2)，
tan θ＝eq \f(y,x)＝1，
θ＝eq \f(π,4)(点1，1)在平面xOy的第一象限．
r＝eq \r(x2＋y2＋z2)＝eq \r(12＋12＋（\r(2)）2)＝2.
由rcos φ＝z＝eq \r(2)(0≤φ≤π)，得cos φ＝eq \f(\r(2),r)＝eq \f(\r(2),2)，φ＝eq \f(π,4).
所以点M的柱坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(π,4)， \r(2)))，球坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,4)，\f(π,4))).
10．在球坐标系中，求两点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,6)，\f(π,4)))、Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,6)，\f(3π,4)))的距离．
解：将P，Q两点的球坐标转化为直角坐标：
P：x＝3sin eq \f(π,6)cos eq \f(π,4)＝eq \f(3\r(2),4)，
y＝3sin eq \f(π,6)sin eq \f(π,4)＝eq \f(3\r(2),4)，
z＝3cos eq \f(π,6)＝eq \f(3\r(3),2)，
所以点P的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),4)，\f(3\r(2),4)，\f(3\r(3),2))).
Q：x＝3sin eq \f(π,6)cos eq \f(3π,4)＝－eq \f(3\r(2),4)，
y＝3sin eq \f(π,6)sin eq \f(3π,4)＝eq \f(3\r(2),4)，
z＝3cos eq \f(π,6)＝eq \f(3\r(3),2)，
所以点Q的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(2),4)，\f(3\r(2),4)，\f(3\r(3),2))).[来源:学科网]
所以|PQ|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),4)＋\f(3\r(2),4)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),4)－\f(3\r(2),4)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2)－\f(3\r(3),2)))\s\up12(2))＝eq \f(3\r(2),2)，故P、Q两点间的距离为eq \f(3\r(2),2).
B级 能力提升
1．已知点P1的球坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(π,2)，\f(5π,3)))，P2的柱坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)，1))，则|P1P2|＝( )
A.eq \r(21) B.eq \r(29)
C.eq \r(30) D．4eq \r(2)
解析：设点P1的直角坐标为(x1，y1，z1)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝4sin \f(π,2)cos \f(5π,3)，,y1＝4sin \f(π,2)sin \f(5π,3)，,z1＝4cos \f(π,2)，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝2，,y1＝－2\r(3)，,z1＝0.))
故P1(2，－2eq \r(3)，0)，
设点P2的直角坐标为P2(x2，y2，z2)，
故eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝2cos \f(π,6)，,y2＝2sin \f(π,6)，,z2＝1，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝\r(3)，,y2＝1，,z2＝1.))
故P2(eq \r(3)，1，1)．
则|P1P2|＝ eq \r(（2－\r(3)）2＋（－2\r(3)－1）2＋（0－1）2)＝eq \r(21).
答案：A
2．在柱坐标系中，长方体ABCD-A1B1C1D1的一个顶点在原点，另两个顶点坐标分别为A1(8，0，10)，C1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(π,2)，10))，则此长方体外接球的体积为________．
答案：eq \f(1 000\r(2),3)π
3．设地球的半径为R，在球坐标系中，点A的坐标为(R，45°，70°)，点B的坐标为(R，45°，160°)，求A，B两点间的球面距离．
解：设纬度圈的圆心为O′，地球球心为O，
如图所示，OA＝OB＝R，由点A，B的球坐标可知，[来源:学科网ZXXK]
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∠BOO′＝45°，∠AOO′＝45°，
这两个点都在北纬90°－45°＝45°圈上．
则∠xOQ＝70°，∠xOH＝160°，
所以∠AO′B＝160°－70°＝90°.[来源:学科网ZXXK]
因为OB＝R，O′B＝O′A＝eq \f(\r(2),2)R，
所以AB＝R.则AO＝BO＝AB＝R.
所以∠AOB＝60°，eq \o(AB,\s\up11(︵))＝eq \f(1,6)×2πR＝eq \f(1,3)πR.
即A，B两点间的球面距离为eq \f(1,3)πR.