河北衡水中学2018届高三数学理科三轮复习系列七-（周二测）出神入化3 (PDF)
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出神入化（三）答案.pdf
17-18 衡水中学高三数学三轮复习（理科）周二测 组题人：关勇 校对： 审核： 姓名： 学号： 日期：
理科数学参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D B B D B A C A A B C A
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分，满分 20 分．
13．0.79（或79%） 14. 1 15. 100 16.
1
2
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．【解析】（Ⅰ）由 3 4 5
52 , , 2
2
a a a 成等差数列得： 4 3 55 2 2a a a ，
设 na 的公比为 q，则
22 5 2 0q q ，解得 2q 或
1
2
q （舍去）， 3 分
所以
5
1
5
(1 2 ) 31
1 2
aS
，解得 1 1a ，
所以数列{ }na 的通项公式为 12nna
. 6 分
（Ⅱ）由
21 3 5 (2 1) 100n n 得 10n ，
所以所求数列的前100项和 100 1 2 3 103 5 19T a a a a ， 8 分
即 2 9
100 1 3 2 5 2 19 2T ，
所以 2 3 9 10
1002 1 2 3 2 5 2 17 2 19 2T ，
两式相减得： 2 3 9 10
100 1 2 2 2 2 2 2 2 2 19 2T
所以
10
2 3 4 10 10 10
100
1 2(2 2 2 2 2 ) 19 2 1 2 19 2 1,
1 2
T
所以 10
100 17 2 3( 17411).T 12 分
18．【解析】（Ⅰ）因为平面 //CEF 平面 PAD，平面CEF 平面 ABCD CE ，
平面 PAD平面 ABCD AD ，
所以 //CE AD，又因为 //AB DC，所以四边形 AECD是平行四边形，
所以
1
2
DC AE AB ，即点 E是 AB的中点， 3 分
因为平面 //CEF 平面 PAD，平面CEF 平面 PAB EF ，平面 PAD平面 PAB PA ，
所以 //EF PA，点 E是 AB的中点，所以点 F 是 PB的中点，
综上， ,E F分别是 ,AB PB的中点. 6 分
（Ⅱ）因为 ,PA PB AE EB ，所以 PE AB，
又因为平面 PAB 平面 ABCD，所以 PE 平面 ABCD，
又 AB AD ，所以CE AB .
如图以点 E为坐标原点， , ,EC EB EP所在直线分别为 x轴， y轴，
z 轴建立空间直角坐标系，
则 (0,2,0), (2,0,0), (2, 2,0), (0,0,0)B C D E ，由中点公式得到 (0,1,1)F ，
设平面CEF，平面DEF 的法向量分别为 1 1 1 2 2 2( , , ), ( , , )m x y z n x y z
，
由 ,m EC m EF
得：
1 1 1
1 1 1
2 0 0 0,
0 0
x y z
x y z
，令 1 1y ，得 (0,1, 1)m
， 8 分
由 ,n ED n EF
得：
2 2 2
2 2 2
2 2 0 0,
0 0
x y z
x y z
，令 2 1y ，得 (1,1, 1)n
10 分
所以
2 6cos ,
32 3
m n
综上，二面角D EF C 的余弦值是
6
3
． 12 分
17-18 衡水中学高三数学三轮复习（理科）周二测 组题人：关勇 校对： 审核： 姓名： 学号： 日期：
19．【解析】（Ⅰ）依据评分规则：
86 84 86 85 84 85
5Ax
，
92 94 94 93 92 93
5Jx
. 2 分
所以选手的均分及最终排名表如下：
4 分
（Ⅱ）对 4 号评委分析：
排名偏差平方和为： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 0 2 1 1 2 2 1 0 1 17. 6 分
对 5 号评委分析：
排名偏差平方和为： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 1 5 1 1 1 3 0 1 0 43 ， 8 分
由于17 43 ，所以评委 4更准确.
（Ⅲ）10 位选手中，评委 4比评委5评分偏差小的有5位， X 可能取值有0,1,2,3.
所以
3
5
3
10
1( 0)
12
CP X
C
，
1 2
5 5
3
10
5( 1)
12
C CP X
C
，
2 1
5 5
3
10
5( 2)
12
C CP X
C
，
3
5
3
6
1( 3)
12
CP X
C
， 10 分
所以 X 的分布列为：
X 0 1 2 3
P
1
12
5
12
5
12
1
12
所以数学期望
1 5 5 1 30 1 2 3
12 12 12 12 2
EX ． 12 分
20．【解析】（Ⅰ）由已知
3
4AC BCk k ，即
3
42 2 2 2
y y
x x
，
所以
2 23 4 24x y ，又三点构成三角形，得 0y
所以点C的轨迹E的方程为
2 2
1( 0)
8 6
x y y . （缺定义扣 1 分）5 分
（Ⅱ）设点P的坐标为 (0, )t ，
当直线MN斜 率不存在时，可得 ,M N 分别是短轴的两端点，得到
6
3
t ，6 分
当直线MN斜率不存在时，设直线MN的方程为 y kx t ， 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y ，
则由 2MP PN
得 1 22x x ①，
联立 2 2
1
8 6
y kx t
x y
，得
2 2 2(3 4 ) 8 4 24 0k x ktx t ，
由 0 得 2 2 2 264 4(3 4 )(4 24) 0k t k t ，整理得
2 28 6t k .
由韦达定理得
2
1 2 1 22 2
8 4 24,
3 4 3 4
kt tx x x x
k k
，② 9 分
由①②，消去 1 2,x x 得
2
2
2
6
12 8
tk
t
，
17-18 衡水中学高三数学三轮复习（理科）周二测 组题人：关勇 校对： 审核： 姓名： 学号： 日期：
由
2
2
2
2
2
6 0
12 8
68 6
12 8
t
t
tt
t
，解得 22 6
3
t ， 10 分
又因为M 为长轴端点 ( 2 2,0) 时，可求得 N 点
3( 2, 2)
2
，此时 2t ，
综上，
22 2
3
t 或
22 6t ，又因为以 AP为直径的圆面积
28
4
tS
，
所以 S 的取值范围是
13 5 5 7[ , ) ( , )
6 2 2 2
． （缺区间断点扣 1 分）12 分
21．【解析】（Ⅰ）解法 1：记 ( )F x ( ) ( ) 2 ln (2 )f x g x x x a x a ，则 ( ) 2 ln 4F x x a ，
当 4a 时，因为 1x ， ( ) 0F x ，函数 ( )F x 单调递增， ( ) (1) 2F x F ，
函数 ( )y F x 无零点，即函数 ( )f x 与 ( )g x 的图像无交点； 3 分
当 4a 时，
2
2( ) 0 e ( 1)
a
F x x
，且
2
21 e
a
x
时， ( ) 0F x ，
2
2e
a
x
时， ( ) 0F x ，
所以，
2
2
min( ) (e )
a
F x F
，函数 ( )f x 与 ( )g x 的图像有且只有一个交点，得
2
2(e ) 0
a
F
，
化简得：
2
22e 0
a
a
， 4 分
记
2
2( ) 2e
a
h a a
，
2
2( ) 1 e 0
a
h a
，所以 ( )h a 在 (4, )a 上单调递减，
又 (6) 6 2e>0h ，
3
2(7) 7 2e 7 2e e 7 2 4.48 0h ，
所以 (6,7)a ，即 6n . 6 分
解法 2：因为 ( ) 2 ln 2f x x x x ，所以 ( ) 2 ln 4f x x ，
当 1x 时， ( ) 0f x 恒成立，所以 ( )f x 在 (1, ) 上单调递增.
由图像可知，若函数 ( )f x 与 ( )g x 的图像有且只有一个交点，则 ( )f x 在点 0 0( , ( ))x f x 处的切
线即为 ( )g x 的图像. 所以 0 0( ) 2 ln 4a f x x . 2
分
因为 ( )f x 在点 0 0( , ( ))x f x 处的切线方程为 0 0 0 0 02 ln 2 (2ln 4)( )y x x x x x x ，
且切线过点 (1,0)，所以 0 0 0 0 02 ln 2 (2 ln 4)(1 )x x x x x ，即 0 0ln 2x x ，4 分
令 ( ) ln 2, 1h x x x x ，则
1 1( ) 1 0xh x
x x
，
所以 ( )h x 在 (1, ) 上单调递减，因为 (3) ln 3 1 0h ， (4) ln 4 2 0h ，
所以 0 (3, 4)x ，所以 02ln 4 (6,7).a x 所以 6n . 6 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：当 3x 时， ( ) ( ) ( 1) 6( 1) f x g x a x x ，只要证明：
3x 时，
4( 3)6( 1)
eln( 2)
xx
x
即 e 2( 3)ln( 2) 0
3( 1)
xx
x
， 8 分
记
2( 3)( ) eln( 2)
3( 1)
xG x x
x
，则
2
2 2
e 4 3e (6e+4) 3e 8( )
2 3( 1) 3( 2)( 1)
x xG x
x x x x
，
10分
记 2( ) 3e (6e+4) 3e 8x x x ，图像为开口向上的抛物线，对称轴为
21 ( 3)
3e
x ，
且 (3) 12e 4>0 ，所以当 3x 时， ( ) 0x ，即 ( ) 0G x ，
所以 ( )G x 在区间 (3, ) 上单调递增，从而 ( ) (3) 0G x G ，
即 e 2( 3)ln( 2) 0
3( 1)
xx
x
成立，所以
4( 3)( )
eln( 2)
xf x
x
成立． 12 分
22．【解析】（Ⅰ）曲线 1C 的极坐标方程可以化为： 2 4 sin 0 ，
17-18 衡水中学高三数学三轮复习（理科）周二测 组题人：关勇 校对： 审核： 姓名： 学号： 日期：
所以曲线 1C 的直角坐标方程为：
2 2 4 0x y y ， 2 分
曲线 2C 的极坐标方程可以化为：
3 1sin cos 2
2 2
，
所以曲线 2C 的直角坐标方程为： 3 4 0x y ； 5 分
（Ⅱ）因为点 E的坐标为 (4,0)， 2C 的倾斜角为
6
，
所以 2C 的参数方程为：
34
2
1
2
x
y t
（ t为参数），
将 2C 的参数方程代入曲线 1C 的直角坐标方程得到：
2
23(4 ) 2 0
2 4
tt t ，
整理得： 2 (4 3 2) 16 0t t ，判别式 0△ ，
中点对应的参数为 2 3 1 ，所以线段 AB中点到 E点距离为 2 3 1 ． 10 分
23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数 ( ) | |f x x a a ， ( ) | 2 1| | 2 4 |g x x x ．
（Ⅰ）解不等式 ( ) 6g x ；
（Ⅱ）若对任意的 1 Rx ，存在 2 Rx ,使得 1 2( ) ( )g x f x 成立, 求实数 a的取值范围．
【解析】（Ⅰ）由 | 2 1| | 2 4 | 6x x
①当 2x 时， 2 1 2 4 6x x ，得
9
4
x ,即
9 2
4
x ；
②当
12
2
x 时， 2 1 2 4 6x x ，得5 6 ,即
12
2
x ；
③当
1
2
x 时， 2 1 2 4 6x x ，得
3
4
x ,即
1 3
2 4
x ；
综上，不等式 ( ) 6g x 解集是
9 3( )
4 4
， . 5 分
（Ⅱ）对任意的 1 Rx ，存在 2 Rx ,使得 1 2( ) ( )g x f x 成立，
即 ( )f x 的值域包含 ( )g x 的值域，由 ( ) | |f x x a a ，知 ( ) ( , ]f x a ，
由 ( ) | 2 1| | 2 4 | | (2 1) (2 4) | 5g x x x x x ，且等号能成立，
所以 ( ) ( , 5]g x 所以 5a ，即 a的取值范围为 [ 5, ) ． 10
分
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17-18 衡水中学高三数学三轮复习（理科）周二测 组题人：关勇 校对： 审核： 姓名： 学号： 日期：
理科数学参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D B B D B A C A A B C A
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分，满分 20 分．
13．0.79（或79%） 14. 1 15. 100 16.
1
2
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．【解析】（Ⅰ）由 3 4 5
52 , , 2
2
a a a 成等差数列得： 4 3 55 2 2a a a ，
设 na 的公比为 q，则
22 5 2 0q q ，解得 2q 或
1
2
q （舍去）， 3 分
所以
5
1
5
(1 2 ) 31
1 2
aS
，解得 1 1a ，
所以数列{ }na 的通项公式为 12nna
. 6 分
（Ⅱ）由
21 3 5 (2 1) 100n n 得 10n ，
所以所求数列的前100项和 100 1 2 3 103 5 19T a a a a ， 8 分
即 2 9
100 1 3 2 5 2 19 2T ，
所以 2 3 9 10
1002 1 2 3 2 5 2 17 2 19 2T ，
两式相减得： 2 3 9 10
100 1 2 2 2 2 2 2 2 2 19 2T
所以
10
2 3 4 10 10 10
100
1 2(2 2 2 2 2 ) 19 2 1 2 19 2 1,
1 2
T
所以 10
100 17 2 3( 17411).T 12 分
18．【解析】（Ⅰ）因为平面 //CEF 平面 PAD，平面CEF 平面 ABCD CE ，
平面 PAD平面 ABCD AD ，
所以 //CE AD，又因为 //AB DC，所以四边形 AECD是平行四边形，
所以
1
2
DC AE AB ，即点 E是 AB的中点， 3 分
因为平面 //CEF 平面 PAD，平面CEF 平面 PAB EF ，平面 PAD平面 PAB PA ，
所以 //EF PA，点 E是 AB的中点，所以点 F 是 PB的中点，
综上， ,E F分别是 ,AB PB的中点. 6 分
（Ⅱ）因为 ,PA PB AE EB ，所以 PE AB，
又因为平面 PAB 平面 ABCD，所以 PE 平面 ABCD，
又 AB AD ，所以CE AB .
如图以点 E为坐标原点， , ,EC EB EP所在直线分别为 x轴， y轴，
z 轴建立空间直角坐标系，
则 (0,2,0), (2,0,0), (2, 2,0), (0,0,0)B C D E ，由中点公式得到 (0,1,1)F ，
设平面CEF，平面DEF 的法向量分别为 1 1 1 2 2 2( , , ), ( , , )m x y z n x y z
，
由 ,m EC m EF
得：
1 1 1
1 1 1
2 0 0 0,
0 0
x y z
x y z
，令 1 1y ，得 (0,1, 1)m
， 8 分
由 ,n ED n EF
得：
2 2 2
2 2 2
2 2 0 0,
0 0
x y z
x y z
，令 2 1y ，得 (1,1, 1)n
10 分
所以
2 6cos ,
32 3
m n
综上，二面角D EF C 的余弦值是
6
3
． 12 分
17-18 衡水中学高三数学三轮复习（理科）周二测 组题人：关勇 校对： 审核： 姓名： 学号： 日期：
19．【解析】（Ⅰ）依据评分规则：
86 84 86 85 84 85
5Ax
，
92 94 94 93 92 93
5Jx
. 2 分
所以选手的均分及最终排名表如下：
4 分
（Ⅱ）对 4 号评委分析：
排名偏差平方和为： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 0 2 1 1 2 2 1 0 1 17. 6 分
对 5 号评委分析：
排名偏差平方和为： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 1 5 1 1 1 3 0 1 0 43 ， 8 分
由于17 43 ，所以评委 4更准确.
（Ⅲ）10 位选手中，评委 4比评委5评分偏差小的有5位， X 可能取值有0,1,2,3.
所以
3
5
3
10
1( 0)
12
CP X
C
，
1 2
5 5
3
10
5( 1)
12
C CP X
C
，
2 1
5 5
3
10
5( 2)
12
C CP X
C
，
3
5
3
6
1( 3)
12
CP X
C
， 10 分
所以 X 的分布列为：
X 0 1 2 3
P
1
12
5
12
5
12
1
12
所以数学期望
1 5 5 1 30 1 2 3
12 12 12 12 2
EX ． 12 分
20．【解析】（Ⅰ）由已知
3
4AC BCk k ，即
3
42 2 2 2
y y
x x
，
所以
2 23 4 24x y ，又三点构成三角形，得 0y
所以点C的轨迹E的方程为
2 2
1( 0)
8 6
x y y . （缺定义扣 1 分）5 分
（Ⅱ）设点P的坐标为 (0, )t ，
当直线MN斜 率不存在时，可得 ,M N 分别是短轴的两端点，得到
6
3
t ，6 分
当直线MN斜率不存在时，设直线MN的方程为 y kx t ， 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y ，
则由 2MP PN
得 1 22x x ①，
联立 2 2
1
8 6
y kx t
x y
，得
2 2 2(3 4 ) 8 4 24 0k x ktx t ，
由 0 得 2 2 2 264 4(3 4 )(4 24) 0k t k t ，整理得
2 28 6t k .
由韦达定理得
2
1 2 1 22 2
8 4 24,
3 4 3 4
kt tx x x x
k k
，② 9 分
由①②，消去 1 2,x x 得
2
2
2
6
12 8
tk
t
，
17-18 衡水中学高三数学三轮复习（理科）周二测 组题人：关勇 校对： 审核： 姓名： 学号： 日期：
由
2
2
2
2
2
6 0
12 8
68 6
12 8
t
t
tt
t
，解得 22 6
3
t ， 10 分
又因为M 为长轴端点 ( 2 2,0) 时，可求得 N 点
3( 2, 2)
2
，此时 2t ，
综上，
22 2
3
t 或
22 6t ，又因为以 AP为直径的圆面积
28
4
tS
，
所以 S 的取值范围是
13 5 5 7[ , ) ( , )
6 2 2 2
． （缺区间断点扣 1 分）12 分
21．【解析】（Ⅰ）解法 1：记 ( )F x ( ) ( ) 2 ln (2 )f x g x x x a x a ，则 ( ) 2 ln 4F x x a ，
当 4a 时，因为 1x ， ( ) 0F x ，函数 ( )F x 单调递增， ( ) (1) 2F x F ，
函数 ( )y F x 无零点，即函数 ( )f x 与 ( )g x 的图像无交点； 3 分
当 4a 时，
2
2( ) 0 e ( 1)
a
F x x
，且
2
21 e
a
x
时， ( ) 0F x ，
2
2e
a
x
时， ( ) 0F x ，
所以，
2
2
min( ) (e )
a
F x F
，函数 ( )f x 与 ( )g x 的图像有且只有一个交点，得
2
2(e ) 0
a
F
，
化简得：
2
22e 0
a
a
， 4 分
记
2
2( ) 2e
a
h a a
，
2
2( ) 1 e 0
a
h a
，所以 ( )h a 在 (4, )a 上单调递减，
又 (6) 6 2e>0h ，
3
2(7) 7 2e 7 2e e 7 2 4.48 0h ，
所以 (6,7)a ，即 6n . 6 分
解法 2：因为 ( ) 2 ln 2f x x x x ，所以 ( ) 2 ln 4f x x ，
当 1x 时， ( ) 0f x 恒成立，所以 ( )f x 在 (1, ) 上单调递增.
由图像可知，若函数 ( )f x 与 ( )g x 的图像有且只有一个交点，则 ( )f x 在点 0 0( , ( ))x f x 处的切
线即为 ( )g x 的图像. 所以 0 0( ) 2 ln 4a f x x . 2
分
因为 ( )f x 在点 0 0( , ( ))x f x 处的切线方程为 0 0 0 0 02 ln 2 (2ln 4)( )y x x x x x x ，
且切线过点 (1,0)，所以 0 0 0 0 02 ln 2 (2 ln 4)(1 )x x x x x ，即 0 0ln 2x x ，4 分
令 ( ) ln 2, 1h x x x x ，则
1 1( ) 1 0xh x
x x
，
所以 ( )h x 在 (1, ) 上单调递减，因为 (3) ln 3 1 0h ， (4) ln 4 2 0h ，
所以 0 (3, 4)x ，所以 02ln 4 (6,7).a x 所以 6n . 6 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：当 3x 时， ( ) ( ) ( 1) 6( 1) f x g x a x x ，只要证明：
3x 时，
4( 3)6( 1)
eln( 2)
xx
x
即 e 2( 3)ln( 2) 0
3( 1)
xx
x
， 8 分
记
2( 3)( ) eln( 2)
3( 1)
xG x x
x
，则
2
2 2
e 4 3e (6e+4) 3e 8( )
2 3( 1) 3( 2)( 1)
x xG x
x x x x
，
10分
记 2( ) 3e (6e+4) 3e 8x x x ，图像为开口向上的抛物线，对称轴为
21 ( 3)
3e
x ，
且 (3) 12e 4>0 ，所以当 3x 时， ( ) 0x ，即 ( ) 0G x ，
所以 ( )G x 在区间 (3, ) 上单调递增，从而 ( ) (3) 0G x G ，
即 e 2( 3)ln( 2) 0
3( 1)
xx
x
成立，所以
4( 3)( )
eln( 2)
xf x
x
成立． 12 分
22．【解析】（Ⅰ）曲线 1C 的极坐标方程可以化为： 2 4 sin 0 ，
17-18 衡水中学高三数学三轮复习（理科）周二测 组题人：关勇 校对： 审核： 姓名： 学号： 日期：
所以曲线 1C 的直角坐标方程为：
2 2 4 0x y y ， 2 分
曲线 2C 的极坐标方程可以化为：
3 1sin cos 2
2 2
，
所以曲线 2C 的直角坐标方程为： 3 4 0x y ； 5 分
（Ⅱ）因为点 E的坐标为 (4,0)， 2C 的倾斜角为
6
，
所以 2C 的参数方程为：
34
2
1
2
x
y t
（ t为参数），
将 2C 的参数方程代入曲线 1C 的直角坐标方程得到：
2
23(4 ) 2 0
2 4
tt t ，
整理得： 2 (4 3 2) 16 0t t ，判别式 0△ ，
中点对应的参数为 2 3 1 ，所以线段 AB中点到 E点距离为 2 3 1 ． 10 分
23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数 ( ) | |f x x a a ， ( ) | 2 1| | 2 4 |g x x x ．
（Ⅰ）解不等式 ( ) 6g x ；
（Ⅱ）若对任意的 1 Rx ，存在 2 Rx ,使得 1 2( ) ( )g x f x 成立, 求实数 a的取值范围．
【解析】（Ⅰ）由 | 2 1| | 2 4 | 6x x
①当 2x 时， 2 1 2 4 6x x ，得
9
4
x ,即
9 2
4
x ；
②当
12
2
x 时， 2 1 2 4 6x x ，得5 6 ,即
12
2
x ；
③当
1
2
x 时， 2 1 2 4 6x x ，得
3
4
x ,即
1 3
2 4
x ；
综上，不等式 ( ) 6g x 解集是
9 3( )
4 4
， . 5 分
（Ⅱ）对任意的 1 Rx ，存在 2 Rx ,使得 1 2( ) ( )g x f x 成立，
即 ( )f x 的值域包含 ( )g x 的值域，由 ( ) | |f x x a a ，知 ( ) ( , ]f x a ，
由 ( ) | 2 1| | 2 4 | | (2 1) (2 4) | 5g x x x x x ，且等号能成立，
所以 ( ) ( , 5]g x 所以 5a ，即 a的取值范围为 [ 5, ) ． 10
分
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17-18 衡水中学高三数学三轮复习（理科）周二测 组题人：关勇 校对： 审核： 姓名： 学号： 日期：
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