九年级数学下册：28.1 锐角三角函数.doc
浮生若梦|
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九年级数学下册：28.1 锐角三角函数.doc
28.1 锐角三角函数
专题一 锐角与其他知识的综合运用
如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于（ ）
A.OM的长 B.2OM的长 C.CD的长 D.2CD的长
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，E为AB上一点，且AE:EB＝4:1，
EF⊥AC于F，连接FB，则tan∠CFB的值等于（ ）
A. EMBED Equation.3 B. EMBED Equation.3 C. EMBED Equation.3 D. EMBED Equation.3
QUOTE QUOTE 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。
专题二 探究题
3．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点B为y轴正半轴上的一点，点C为第一象限内一点，且AC＝2，设tan∠BOC＝m，则m的取值范围是 .
如图（1），由直角三角形边角关系，可将三角形面积公式变形，
得S△ABC＝ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT bc·sinA． ①
即三角形的面积等于两边之长与夹角正弦之积的一半．
如图（2），在△ABC中，CD⊥AB于D，∠ACD=α，∠DCB=β．
∵S△ABC＝S△ADC＋S△BDC，由公式①，得 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT AC·BC·sin（α＋β）＝ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT AC·CD·sinα＋ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT BC·CD·sinβ，
即AC·BC·sin(α＋β）＝AC·CD·sinα＋BC·CD·sinβ． ②
你能利用直角三角形的边角关系，消去②中的AC、BC、CD吗？若不能，请说明理由；若能，请写出解决过程．
[来源:Z.xx.k.Com]
专题三 新定义问题
5．在平面直角坐标系中，设点P到原点O的距离为r，α看作是OP以x轴正半轴方向为起始位置绕点O逆时针旋转的角度，则用[r，α]表示点P的极坐标，显然，点P的极坐标与它的坐标存在一一对应关系．例如：点P的坐标为（1，1），则其极坐标为[ QUOTE 错误！未找到引用源。 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ，45°]．若点Q的极坐标为[4，60°]，则点Q的坐标为（ ）
A.（2，2 QUOTE 错误！未找到引用源。） B.（2，－2 QUOTE 错误！未找到引用源。） C.（2 QUOTE 错误！未找到引用源。，2） D.（2，2）[来源:Z_xx_k.Com]
6．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系.我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）.如图①，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA EMBED Equation.DSMT4 .容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义，解下列问题：
（1）sad60°＝ ；
（2）对于0°＜∠A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是 ；[来源:Zxxk.Com]
（3）如图②，已知sinA＝ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ，其中∠A为锐角，试求sadA的值.
专题四 方案设计问题
7．如图，由于水资源缺乏，B、C两地不得不从黄河上的扬水站A处引水，这就需要在A、B、C之间铺设地下输水管道．有人设计了三种铺设方案：如图(1)、(2)、(3)，图中实线表示管道铺设线路，在图（2）中，AD⊥BC于D；在图（3）中，OA＝OB＝OC．为减少渗漏，节约水资源，并降低工程造价，铺设线路应尽量缩短．已知△ABC恰好是一个边长为a的等边三角形，请你通过计算，判断哪个铺设方案最好．
[来源:学|科|网Z|X|X|K]
【知识要点】
１．在Rt△ABC中，若∠C＝90º，
则 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ，cosA＝ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ，tanA＝ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ．[来源:Zxxk.Com]
特殊角的三角函数值：
30º45º60ºsinα EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT cosα EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT tanα EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 1 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT
【温馨提示】
1．研究锐角三角函数通常将锐角放在直角三角形中解决.
2．锐角的正弦函数值随着角的增大而增大；锐角的余弦函数值随着角的增大而减小；锐角的正切函数值随着角的增大而增大.
3．圆中的切线、圆中的直径常常是构造直角的工具.
4．如果直接求一个角的三角函数值不容易时，还可以通过求其等角或余角的三角函数值来解决.
【方法技巧】
1．在Rt△ABC中，sinA＋sinB＞1，sin2A＋cos2A＝1，tanA＝ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT .
2．若∠A＋∠B＝90°，则sinA＝cosB，cosA＝sinB，tanA·tanB＝1.
3．在网格中计算角的三角函数值时，常利用勾股定理求锐角所在直角三角形的边长.
参考答案
1．A 【解析】连接AO并延长交圆于点E，连接BE．
由题意得∠C＝∠E，且△ABE和△BCD都是直角三角形，
∴∠CBD＝∠EAB．
∵△OAM是直角三角形，
∴sin∠CBD＝sin∠EAB＝ EMBED Equation.3 \* MERGEFORMAT ＝OM.
2．C 【解析】根据题意：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，设AB＝2x，则BC＝x，AC＝ EMBED Equation.3 x．
∴在Rt△CFB中有CF＝ EMBED Equation.DSMT4 QUOTE QUOTE 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。x，BC＝x．则tan∠CFB＝ EMBED Equation.3 QUOTE QUOTE 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。．
3．m≥ EMBED Equation.3 【解析】当OC与圆A相切（即到C'点）时，∠BOC最小，此时AC'＝2，OA＝3，由勾股定理得OC'＝ EMBED Equation.3 .
∵∠BOA＝∠AC'O＝90°，
∴∠BOC'＋∠AOC'＝90°，∠C'AO＋∠AOC'＝90°.
∴∠BOC'＝∠OAC'.
∴tan∠BOC＝ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ＝ EMBED Equation.3 .
随着C的移动，∠BOC越来越大，但不到E点，即∠BOC＜90°.
∴tan∠BOC≥ EMBED Equation.3 .
4．解：能消去AC、BC、CD，得到sin(α＋β)＝sinα·cosβ＋cosα·sinβ．过程如下：
AC·BC·sin(α＋β)＝AC·CD·sinα＋BC·CD·sinβ两边同除以AC·BC，
得sin(α＋β)＝EMBED Equation.DSMT4·sinα＋EMBED Equation.DSMT4·sinβ.
∵EMBED Equation.DSMT4＝cosβ，EMBED Equation.DSMT4＝cosα．
∴sin(α＋β)＝sinα·cosβ＋cosα·sinβ．
5．A 【解析】作QA⊥x轴于点A，则OQ＝4，∠QOA＝60°，故OA＝OQ·cos60°＝2，
AQ＝OQ·sin60°＝2 QUOTE 错误！未找到引用源。，
∴点Q的坐标为（2，2 QUOTE 错误！未找到引用源。）．
故答案选A．
6．解：（1）根据正对定义，当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°，
则三角形为等边三角形，则sad60°＝ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT QUOTE 错误！未找到引用源。＝1．故答案为1．
（2）当∠A接近0°时，sadA接近0；
当∠A接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的2倍，故sadA接近2．
于是sadA的取值范围是0＜sadA＜2．
（3）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，sinA＝ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT QUOTE 错误！未找到引用源。．
在AB上取点D，使AD＝AC.
过点D作DH⊥AC，H为垂足，令BC＝3k，AB＝5k，则AD＝AC＝ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ＝4k.
又在△ADH中，∠AHD＝90°，sinA＝ EMBED Equation.DSMT4 ,∴DH＝ADsinA＝ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT QUOTE 错误！未找到引用源。k.
∴AH＝ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ＝ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT QUOTE 错误！未找到引用源。k．
在△CDH中，CH＝AC－AH＝ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT QUOTE 错误！未找到引用源。k，CD＝ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ＝ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT QUOTE 错误！未找到引用源。k．
由正对的定义可得sadA＝ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ＝ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT QUOTE 错误！未找到引用源。，即sadA＝ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT QUOTE 错误！未找到引用源。．
解：图（1）所示方案的线路总长为AB＋BC＝2a；
题图（2）中，在Rt△ABD中，AD=ABsin60°＝ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ，
∴图（2）所示方案的线路总长为AD＋BC＝（ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ＋1）a；
如图，延长AO交BC于E，∵AB＝AC，OB＝OC，∴OE⊥BC，
BE＝EC＝ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ．
在Rt△OBE中，∠OBE＝30°，OB＝ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ＝ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT a．
∴图（3）所示方案的线路总长为OA+OB+OC=3OB＝ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT a．
比较可知， EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT a＜（ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ＋1）a＜2a，∴图（3）所示方案最好．
附件1：律师事务所反盗版维权声明
附件2：独家资源交换签约学校名录（放大查看）
学校名录参见：http://www.zxxk.com/wxt/list.aspx?ClassID=3060
28.1 锐角三角函数
专题一 锐角与其他知识的综合运用
如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于（ ）
A.OM的长 B.2OM的长 C.CD的长 D.2CD的长
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，E为AB上一点，且AE:EB＝4:1，
EF⊥AC于F，连接FB，则tan∠CFB的值等于（ ）
A. EMBED Equation.3 B. EMBED Equation.3 C. EMBED Equation.3 D. EMBED Equation.3
QUOTE QUOTE 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。
专题二 探究题
3．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点B为y轴正半轴上的一点，点C为第一象限内一点，且AC＝2，设tan∠BOC＝m，则m的取值范围是 .
如图（1），由直角三角形边角关系，可将三角形面积公式变形，
得S△ABC＝ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT bc·sinA． ①
即三角形的面积等于两边之长与夹角正弦之积的一半．
如图（2），在△ABC中，CD⊥AB于D，∠ACD=α，∠DCB=β．
∵S△ABC＝S△ADC＋S△BDC，由公式①，得 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT AC·BC·sin（α＋β）＝ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT AC·CD·sinα＋ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT BC·CD·sinβ，
即AC·BC·sin(α＋β）＝AC·CD·sinα＋BC·CD·sinβ． ②
你能利用直角三角形的边角关系，消去②中的AC、BC、CD吗？若不能，请说明理由；若能，请写出解决过程．
[来源:Z.xx.k.Com]
专题三 新定义问题
5．在平面直角坐标系中，设点P到原点O的距离为r，α看作是OP以x轴正半轴方向为起始位置绕点O逆时针旋转的角度，则用[r，α]表示点P的极坐标，显然，点P的极坐标与它的坐标存在一一对应关系．例如：点P的坐标为（1，1），则其极坐标为[ QUOTE 错误！未找到引用源。 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ，45°]．若点Q的极坐标为[4，60°]，则点Q的坐标为（ ）
A.（2，2 QUOTE 错误！未找到引用源。） B.（2，－2 QUOTE 错误！未找到引用源。） C.（2 QUOTE 错误！未找到引用源。，2） D.（2，2）[来源:Z_xx_k.Com]
6．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系.我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）.如图①，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA EMBED Equation.DSMT4 .容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义，解下列问题：
（1）sad60°＝ ；
（2）对于0°＜∠A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是 ；[来源:Zxxk.Com]
（3）如图②，已知sinA＝ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ，其中∠A为锐角，试求sadA的值.
专题四 方案设计问题
7．如图，由于水资源缺乏，B、C两地不得不从黄河上的扬水站A处引水，这就需要在A、B、C之间铺设地下输水管道．有人设计了三种铺设方案：如图(1)、(2)、(3)，图中实线表示管道铺设线路，在图（2）中，AD⊥BC于D；在图（3）中，OA＝OB＝OC．为减少渗漏，节约水资源，并降低工程造价，铺设线路应尽量缩短．已知△ABC恰好是一个边长为a的等边三角形，请你通过计算，判断哪个铺设方案最好．
[来源:学|科|网Z|X|X|K]
【知识要点】
１．在Rt△ABC中，若∠C＝90º，
则 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ，cosA＝ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ，tanA＝ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ．[来源:Zxxk.Com]
特殊角的三角函数值：
30º45º60ºsinα EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT cosα EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT tanα EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 1 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT
【温馨提示】
1．研究锐角三角函数通常将锐角放在直角三角形中解决.
2．锐角的正弦函数值随着角的增大而增大；锐角的余弦函数值随着角的增大而减小；锐角的正切函数值随着角的增大而增大.
3．圆中的切线、圆中的直径常常是构造直角的工具.
4．如果直接求一个角的三角函数值不容易时，还可以通过求其等角或余角的三角函数值来解决.
【方法技巧】
1．在Rt△ABC中，sinA＋sinB＞1，sin2A＋cos2A＝1，tanA＝ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT .
2．若∠A＋∠B＝90°，则sinA＝cosB，cosA＝sinB，tanA·tanB＝1.
3．在网格中计算角的三角函数值时，常利用勾股定理求锐角所在直角三角形的边长.
参考答案
1．A 【解析】连接AO并延长交圆于点E，连接BE．
由题意得∠C＝∠E，且△ABE和△BCD都是直角三角形，
∴∠CBD＝∠EAB．
∵△OAM是直角三角形，
∴sin∠CBD＝sin∠EAB＝ EMBED Equation.3 \* MERGEFORMAT ＝OM.
2．C 【解析】根据题意：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，设AB＝2x，则BC＝x，AC＝ EMBED Equation.3 x．
∴在Rt△CFB中有CF＝ EMBED Equation.DSMT4 QUOTE QUOTE 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。x，BC＝x．则tan∠CFB＝ EMBED Equation.3 QUOTE QUOTE 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。．
3．m≥ EMBED Equation.3 【解析】当OC与圆A相切（即到C'点）时，∠BOC最小，此时AC'＝2，OA＝3，由勾股定理得OC'＝ EMBED Equation.3 .
∵∠BOA＝∠AC'O＝90°，
∴∠BOC'＋∠AOC'＝90°，∠C'AO＋∠AOC'＝90°.
∴∠BOC'＝∠OAC'.
∴tan∠BOC＝ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ＝ EMBED Equation.3 .
随着C的移动，∠BOC越来越大，但不到E点，即∠BOC＜90°.
∴tan∠BOC≥ EMBED Equation.3 .
4．解：能消去AC、BC、CD，得到sin(α＋β)＝sinα·cosβ＋cosα·sinβ．过程如下：
AC·BC·sin(α＋β)＝AC·CD·sinα＋BC·CD·sinβ两边同除以AC·BC，
得sin(α＋β)＝EMBED Equation.DSMT4·sinα＋EMBED Equation.DSMT4·sinβ.
∵EMBED Equation.DSMT4＝cosβ，EMBED Equation.DSMT4＝cosα．
∴sin(α＋β)＝sinα·cosβ＋cosα·sinβ．
5．A 【解析】作QA⊥x轴于点A，则OQ＝4，∠QOA＝60°，故OA＝OQ·cos60°＝2，
AQ＝OQ·sin60°＝2 QUOTE 错误！未找到引用源。，
∴点Q的坐标为（2，2 QUOTE 错误！未找到引用源。）．
故答案选A．
6．解：（1）根据正对定义，当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°，
则三角形为等边三角形，则sad60°＝ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT QUOTE 错误！未找到引用源。＝1．故答案为1．
（2）当∠A接近0°时，sadA接近0；
当∠A接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的2倍，故sadA接近2．
于是sadA的取值范围是0＜sadA＜2．
（3）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，sinA＝ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT QUOTE 错误！未找到引用源。．
在AB上取点D，使AD＝AC.
过点D作DH⊥AC，H为垂足，令BC＝3k，AB＝5k，则AD＝AC＝ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ＝4k.
又在△ADH中，∠AHD＝90°，sinA＝ EMBED Equation.DSMT4 ,∴DH＝ADsinA＝ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT QUOTE 错误！未找到引用源。k.
∴AH＝ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ＝ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT QUOTE 错误！未找到引用源。k．
在△CDH中，CH＝AC－AH＝ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT QUOTE 错误！未找到引用源。k，CD＝ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ＝ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT QUOTE 错误！未找到引用源。k．
由正对的定义可得sadA＝ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ＝ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT QUOTE 错误！未找到引用源。，即sadA＝ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT QUOTE 错误！未找到引用源。．
解：图（1）所示方案的线路总长为AB＋BC＝2a；
题图（2）中，在Rt△ABD中，AD=ABsin60°＝ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ，
∴图（2）所示方案的线路总长为AD＋BC＝（ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ＋1）a；
如图，延长AO交BC于E，∵AB＝AC，OB＝OC，∴OE⊥BC，
BE＝EC＝ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ．
在Rt△OBE中，∠OBE＝30°，OB＝ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ＝ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT a．
∴图（3）所示方案的线路总长为OA+OB+OC=3OB＝ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT a．
比较可知， EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT a＜（ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ＋1）a＜2a，∴图（3）所示方案最好．
附件1：律师事务所反盗版维权声明
附件2：独家资源交换签约学校名录（放大查看）
学校名录参见：http://www.zxxk.com/wxt/list.aspx?ClassID=3060